2020版高中数学 第一章 解三角形 1.2.1 解三角形求距离课件 新人教A版必修5

课标要求1．掌握利用正、余弦定理解决测量问题的方法．2．体会利用正、余弦定理和三角形面积公式解决与三角形有关的几何问题．3．了解正、余弦定理在生活中的应用．知识导图学法指导教材通过6个例题展现正、余弦定理在实际测量中的应用，体现了数学建模核心素养的形成过程．学习时注意积累用数学知识解决实际问题的经验，提升应用能力．第一课时解三角形求距离知识点一基线的概念与选择原则1．基线的定义：在测量上，根据测量需要适当确定的____．2．选择基线的原则：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的________，使测量具有较高的精确度，一般来说，基线____，测量的精确度____．状元随笔测量一定要选基线，因为无论用正弦定理还是余弦定理，解三角形时至少要已知一边的长度．线段基线长度越长越高知识点二测量距离的类型及解法类型图形解法A，B两点间不可达又不可视测出两边及其夹角：BC＝a，AC＝b，角C，运用________得AB＝a2＋b2－2abcosC余弦定理A、B两点间可视但不可达(如人与点B在河的同侧，点A在另一侧)测出两角及其夹边：BC＝a，角B，角C，用三角形______定理求出第三角A＝π－(B＋C)，根据正弦定理得ABsinC＝BCsinA＝BCsin[π－B＋C]＝BCsinB＋C＝asinB＋C，则AB＝________内角和asinCsinB＋CA、B两点都不可达(如点A与B在河的同侧，人在另一侧)先在△ADC和△BDC中分别求出AC，BC(或AD，BD)，再在△ABC(或△ABD)中运用余弦定理求解．在△ADC中，由正弦定理可得AD＝________________.在△BDC中，由正弦定理可得BD＝________________.在△ABD中，由余弦定理可得AB＝________________asin∠ACDsin∠ADC＋∠ACDasin∠BCDsin∠BDC＋∠BCDAD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB状元随笔有关测量距离问题，常涉及到以下两个角：(1)从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角叫做方位角．(2)正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角称为方向角，通常表达为北偏东(西)、南偏东(西)××度．[小试身手]1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一般来说，在测量过程中基线越长，测量精确度越低．()×解析：在测量过程中基线越长，测量的精确度越高．(2)已知三角形的三个角，能够求其三条边．()×解析：因为要解三角形，至少要知道这个三角形的一条边．(3)两个不可到达的点之间的距离无法求得．()×解析：两个不可到达的点之间的距离我们可以借助第三个点和第四个点量出角度、距离求得．(4)如图所示，为了测量隧道AB的长度，可测量数据a，b，γ进行计算．()√解析：由余弦定理可求出AB.2．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为()A．20(6＋2)海里每小时B．20(6－2)海里每小时C．20(6＋3)海里每小时D．20(6－3)海里每小时答案：B类型一利用正(余)弦定理求距离例1(1)为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°.可以计算出A，B两点的距离为()A．502mB．503mC．252mD.2522m【解析】(1)在△ABC中，∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝30°，又BC＝50m，∴由正弦定理得AB＝BC·sin∠ACBsin∠BAC＝50×2212＝502(米)【答案】(1)A(1)中已知两角和一边可用正弦定理．(2)某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A，B间的距离为()A．500米B．600米C．700米D．800米【解析】(2)在△ABC中，AC＝300，BC＝500，∠ACB＝30°＋90°＝120°∴由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2＋AC·BC＝490000，∴AB＝700(米)【答案】(2)C(2)中已知两边且可得夹角，故用余弦定理.方法归纳(1)解决距离问题方法是选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．构建数学模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中．(2)当角边对应且角的条件较多时，一般用正弦定理，当角的条件较少，且角边不对应时，用余弦定理较多．跟踪训练1一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货轮的东北方向，半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方向．若货轮的速度为30nmile/h，当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的西北方向时，求A，D两处的距离．解析：如图所示，在△ABC中，∠CAB＝45°，∠ABC＝90°＋30°＝120°，所以∠ACB＝180°－45°－120°＝15°，AB＝30×0.5＝15(nmile)，则由正弦定理得ACsin∠ABC＝ABsin∠ACB，即ACsin120°＝15sin15°，又因为sin15°＝6－24，sin120°＝32，所以AC＝15sin120°sin15°＝32＋62×15(nmile)．在△ACD中，因为∠A＝∠D＝45°，所以△ACD是等腰直角三角形，所以AD＝2AC＝15(3＋3)(nmile)．答案：A，D两处的距离为15(3＋3)nmile类型二综合利用正(余)弦定理求距离例2在“联合行动­2019E”演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距32a的军事基地C处和D处，测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离．【解析】解法一：∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AD＝CD＝32a.在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－60°－45°＝45°，由正弦定理得，BD＝CD×sin∠BCDsin∠DBC＝32a×6＋2422＝3＋34a.在△ABD中，AB2＝AD2＋BD2－2×AD×BD×cos∠ADB＝34a2＋3＋34a2－2×32a×3＋34a×32＝38a2，∴AB＝64a，∴蓝方这两支精锐部队的距离为64a.解法二：∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝CD＝32a.在△BCD中，易得∠DBC＝45°，由BCsin30°＝CDsin45°，得BC＝64a.在△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos45°＝34a2＋38a2－2×32a×64a×22＝38a2，∴AB＝64a，∴蓝方这两支精锐部队的距离为64a.先在△ADC中求∠DAC，从而求得AD，再在△BCD中求得BD.则△ADB可解；也可以先在△ADC中求∠DAC后得AC，再在△BCD中求出BC，从而解△ACB及AB.方法归纳当问题涉及不止一个三角形时，应抓好两点：(1)画示意图，弄清题目条件根据题意画图研究问题中所涉及的三角形，它的哪些元素是已知的，哪些元素是未知的．(2)选准入手点找出已知边长的三角形，结合已知条件选准“可解三角形”，并判断是选用正弦定理，还是选用余弦定理求解．跟踪训练2一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号．正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A处获悉后，即测出该商船在方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为45°距离10海里的C处，并沿方位角为105°的方向，以9海里/时的速度航行，“黄山”舰立即以21海里/时的速度前去营救并在B处追上商船．求“黄山”舰追上商船所需要的最短时间及所经过的路程．解析：如图所示，A，B，C构成一个三角形．设所需时间为t小时，则AB＝21t，BC＝9t.又已知AC＝10，依题意知，∠ACB＝120°，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos∠ACB.所以(21t)2＝102＋(9t)2－2×10×9tcos120°，所以(21t)2＝100＋81t2＋90t，即360t2－90t－100＝0.所以t＝23或t＝－512(舍去)．所以AB＝21×23＝14(海里)．即“黄山”舰需要用23小时追上商船，共航行14海里．类型三测量方案的设计问题例3(1)在一次运动会垒球比赛前，某国教练布置战术时，要求击球手沿着与连接本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出，如图，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？【解析】(1)如图，设游击手能接着球，接球点为B.而游击手从A点跑出，本垒为O点．设从击出球到接着球的时间为t，球速为v.则∠AOB＝15°，OB＝vt，AB＝v4·t在△AOB中，由正弦定理得sin∠OAB＝OBsin15°AB＝6－2.而(6－2)2＝8－438－4×1.741，即sin∠OAB1.所以这样的∠OAB不存在．因此游击手不能接着球．(2)为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如示意图)，飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．(2)方案一：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B的距离d(如图所示)．②第一步：计算AM.由正弦定理AM＝dsinα2sinα1＋α2；第二步：计算AN.由正弦定理AN＝dsinβ2sinβ2－β1；第三步：计算MN.由余弦定理MN＝AM2＋AN2－2AM×ANcosα1－β1.方案二：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B的距离d(如图所示)．②第一步：计算BM.由正弦定理BM＝dsinα1sinα1＋α2；第二步：计算BN.由正弦定理BN＝dsinβ1sinβ2－β1；第三步：计算MN.由余弦定理MN＝BM2＋BN2＋2BM×BNcosβ2＋α2.(1)可以先假设能接到球，构造三角形，利用正弦定理进行计算后，对结果进行考实．(2)则应先确定测量数据，再确定求解步骤.方法归纳测量方案设计型问题的解决方法测量方案设计题是通过设置一个实际问题情境，给出若干信息，提出解决问题的要求，要求学生运用学过的技能和方法，进行计算、论证、选择、判断、设计，寻求恰当的解决方案的一种数学试题．有时也给出几个不同的解决方案，要求判断哪个方案较优．跟踪训练3为了测量B，C之间的距离，在河岸A，C处测量，如图，测得下面四组数据，较合理的是()A．c与αB．c与bC．b，c与βD．b，α与γ解析：c无法测量，而若测得b，α与γ则△ABC可解，故选D.答案：D