2020版高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理课件 新人教A版必修5

课标要求1．掌握余弦定理，并能运用定理解三角形．2．能借助余弦定理判断三角形的形状．知识导图学法指导1.重点掌握余弦定理及其推论，并能通过向量法证明此定理．2．注意弄清楚正、余弦定理的作用，在解三角形中灵活选择，实现边和角的相互转化.知识点一余弦定理及其推论文字语言三角形中任意一边的____等于其他两边的____的____减去这两边与它们的夹角的________的____倍符号语言a2＝____________________，b2＝____________________，c2＝____________________推论cosA＝____________________，cosB＝____________________，cosC＝____________________平方平方和余弦的积两b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosCb2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab状元随笔1.余弦定理指明了任意三角形的三边与其中一角的具体关系，是解三角形的重要工具．2．在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量．3．运用余弦定理时，若已知三边(求角)或已知两边及夹角(求第三边)，则由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是唯一的．知识点二应用余弦定理及其推论解三角形的类型已知条件应用定理一般解法两边和夹角(如a，b，C)余弦定理、正弦定理由余弦定理求________；由________求出一边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出第三个角，在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由________求出_____；再利用A＋B＋C＝180°求出角C，在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理、余弦定理由________求出角B；由________________求出角C；再利用________或________求c，可有两解、一解或无解第三边c正弦定理余弦定理角A，B正弦定理A＋B＋C＝180°正弦定理余弦定理状元随笔利用余弦定理可以解决以下两类解三角形问题：(1)已知两边和一角，求第三边和其他两个角．(2)已知三边，求三角形的三个角．[小试身手]1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)余弦定理只适用于锐角三角形．()(2)由余弦定理可知a2＝b2＋c2＋2bccosA．()(3)在△ABC中，若b2＋c2a2，则此三角形是锐角三角形．()(4)在△ABC中，若C＝120°，则c2＝a2＋b2＋ab.()×××√2．在△ABC中，a＝1，B＝60°，c＝2，则b＝()A．1B.2C.3D．3解析：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝3，所以b＝3.答案：C3．在△ABC中，a＝4，b＝4，C＝30°，则c等于()A．16B．26－22C．32－163D．26＋22解析：由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，即c2＝32－163＝(26－22)2，所以c＝26－22.答案：B4．在△ABC中，若a＝3，b＝7，c＝2，则B＝()A.π3B.π4C.π6D.2π3解析：由已知得cosB＝a2＋c2－b22ac＝12，因为B∈(0，π)，所以B＝π3.答案：A类型一已知两边及一角解三角形例1在△ABC中，(1)若a＝23，c＝6＋2，B＝45°，求b及A.(2)若b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，C和边a.(3)若A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求b，c.【解析】(1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝(23)2＋(6＋2)2－2×(6＋2)×23×cos45°＝8，所以b＝22.由cosA＝b2＋c2－a22bc，得cosA＝222＋6＋22－2322×22×6＋2＝12.因为0°A180°，所以A＝60°.(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得32＝a2＋(33)2－2×33a×cos30°，即a2－9a＋18＝0，所以a＝6或a＝3.当a＝6时，由正弦定理，得sinA＝asinBb＝63×12＝1，所以A＝90°，C＝60°，当a＝3时，同理得A＝30°，C＝120°.(3)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc(1＋cosA)，所以49＝64－2bc1－12，即bc＝15，由b＋c＝8，bc＝15解得b＝3，c＝5或b＝5，c＝3.状元随笔(1)已知两边和夹角可直接用余弦定理求解．(2)已知两边和其中一边的对角，求解时既可以先由正弦定理求另一边对角，也可以由余弦定理得第三边a的方程，先求出a.(3)由余弦定理可建立b＋c与bc的关系，从而求出b、c.方法归纳1．已知两边及其中一边的对角解三角形的方法(1)先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边．要注意判断解的情况．(2)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．2．已知两边及其夹角解三角形的方法方法一：首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．方法二：首先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．特别提醒：解三角形时，若已知两边和一边的对角时，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理．一般地，若只求角，用正弦定理方便，若只求边，用余弦定理方便．跟踪训练1已知在△ABC中，b＝3，c＝3，B＝30°，解此三角形．解析：方法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得(3)2＝a2＋32－2×a×3×cos30°，∴a2－33a＋6＝0，∴a＝3或a＝23.当a＝3时，a＝b，∴A＝30°，C＝120°；当a＝23时，由正弦定理得sinA＝asinBb＝23sin30°3＝1，∴A＝90°，C＝60°.方法二：由bc，B＝30°，bcsin30°知本题有两解．由正弦定理，得sinC＝csinBb＝3×123＝32，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理得a＝b2＋c2＝23；当C＝120°时，A＝30°＝B，∴a＝3.类型二已知三边关系解三角形例2在△ABC中，a2＋c2＝b2＋2ac.(1)求B的大小．(2)求2cosA＋cosC的最大值．【解析】(1)由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB，代入已知得，cosB＝22.因为B∈(0，π)，所以B＝π4.(2)2cosA＋cosC＝2cosA＋cos(π－A－B)＝2cosA＋cos3π4－A＝22cosA＋22sinA＝sinA＋π4，因为B＝π4，所以A∈0，3π4，A＋π4∈π4，π.当A＋π4＝π2时，A＝π4，sinA＋π4取得最大值1.由余弦定理求出B后，A与C关系直接，便可化为只含一个角的函数的最值．方法归纳1．已知三边(关系)解三角形的步骤为：2．利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，结果唯一．3．若已知三边的比例关系，一定能用余弦定理求角．跟踪训练2在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若a＝5，b＝3，cosC是方程5x2＋7x－6＝0的根，求c.(2)若a：b：c＝1：3：2，求A，B，C.解析：(1)5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0.所以x1＝35，x2＝－2.又cosC∈(－1,1)，所以cosC＝35.根据余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝52＋32－2×5×3×35＝16，所以c＝4.(2)因为a：b：c＝1：3：2，可设a＝x，b＝3x，c＝2x，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝3x2＋4x2－x22×3x×2x＝32.因为0Aπ，所以A＝π6.同理可求得B＝π3.所以C＝π－(A＋B)＝π2.类型三判断三角形的形状例3(1)在△ABC中，若sin2A＋sin2Bsin2C，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定(2)在△ABC中，已知cos2A2＝b＋c2c，判断△ABC的形状．【解析】(1)由正弦定理得a2＋b2c2，∴cosC＝a2＋b2－c22ab0.∴C为钝角．(2)在△ABC中，由已知cos2A2＝b＋c2c，得1＋cosA2＝b＋c2c，所以cosA＝bc.根据余弦定理，得b2＋c2－a22bc＝bc，所以b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．【答案】(1)B(2)直角三角形(1)利用正弦定理化边后，可利用余弦定理判断cosC的符号．(2)条件可化为用边表示cosA的形式，再结合余弦定理得到一个三边的等量关系．方法归纳判断三角形形状问题，一般有以下几种情况：1．转化为三角形的边来判断．(1)△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2或c2＝a2＋b2；(2)△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2c2且b2＋c2a2且c2＋a2b2；(3)△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2c2或b2＋c2a2或c2＋a2b2；(4)按等腰或等边三角形的定义判断．2．转化为角的三角函数(值)来判断．(1)cosA＝0或cosB＝0或cosC＝0⇔△ABC为直角三角形；(2)cosA0或cosB0或cosC0⇔△ABC为钝角三角形；(3)cosA0且cosB0且cosC0⇔△ABC为锐角三角形；(4)若sin2A＋sin2B＝sin2C，则C＝90°，△ABC为直角三角形；(5)若sinA＝sinB或sin(A－B)＝0，则A＝B，△ABC为等腰三角形；(6)若sin2A＝sin2B，则A＝B或A＋B＝90°，△ABC为等腰三角形或直角三角形．跟踪训练3在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，确定△ABC的形状．解析：由正弦定理得sinCsinB＝cb，由2cosAsinB＝sinC，有cosA＝sinC2sinB＝c2b.又由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc，所以c2b＝b2＋c2－a22bc，即c2＝b2＋c2－a2，所以a2＝b2，所以a＝b.又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b)2－c2＝3ab，所以4b2－c2＝3b2，即b2＝c2.所以b＝c，所以a＝b＝c.所以△ABC为等边三角形．