2020版高中数学 第三章 不等式 3.4.2 基本不等式的应用习题课课件 新人教A版必修5

类型一利用基本不等式证明不等式例1(1)已知a、b、c0，求证：a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.(2)已知a0，b0，c0，且a＋b＋c＝1.求证：1a＋1b＋1c≥9.【证明】(1)∵a，b，c，a2b，b2c，c2a均大于0，∴a2b＋b≥2a2b·b＝2a.当且仅当a2b＝b时等号成立．b2c＋c≥2b2c·c＝2b.当且仅当b2c＝c时等号成立．c2a＋a≥2c2a·a＝2c，当且仅当c2a＝a时等号成立．相加得a2b＋b＋b2c＋c＋c2a＋a≥2a＋2b＋2c，∴a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.(2)因为a0，b0，c0，且a＋b＋c＝1，所以1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ca＋ab＋cb＋ac＋bc＝3＋ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝13时，取“＝”，所以1a＋1b＋1c≥9.状元随笔(1)中没有附加条件，直接观察不等式两边的关系构造、变形；左边是分式，右边是整式，需利用不等变换去掉分母，由a2b＋b的形式即可；(2)中有附加条件a＋b＋c＝1，先进行1的代换，再用基本不等式．方法归纳(1)利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的条件．还应注意基本不等式的变形形式，以便灵活运用．(2)有附加条件的不等式的证明，应先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换．另外，解题时要时刻注意等号能否取到．跟踪训练1(1)已知a，b，c为不全相等的正实数．求证：a＋b＋cab＋bc＋ca.(2)已知a0，b0，a＋b＝1，求证：1＋1a1＋1b≥9.证明：(1)∵a0，b0，c0，∴a＋b≥2ab0，当且仅当a＝b时等号成立；b＋c≥2bc0，当且仅当b＝c时等号成立；c＋a≥2ca0，当且仅当c＝a时等号成立．∴2(a＋b＋c)≥2(ab＋bc＋ca)，当且仅当a＝b＝c时等号成立，即a＋b＋c≥ab＋bc＋ca，当且仅当a＝b＝c时等号成立．由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．∴a＋b＋cab＋bc＋ca.(2)方法一∵a0，b0，a＋b＝1，∴1＋1a＝1＋a＋ba＝2＋ba，同理，1＋1b＝2＋ab，∴1＋1a1＋1b＝2＋ba2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9.∴1＋1a1＋1b≥9(当且仅当a＝b＝12时等号成立)．方法二1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋1ab＝1＋a＋b＋1ab＝1＋2ab.∵ab≤a＋b22＝14，∴2ab≥8，∴1＋2ab≥9，∴不等式成立．类型二利用基本不等式解决实际问题例2某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)在50≤x≤80时，每天售出的件数为P＝105x－402，每天获得的利润为y(元)．(1)写出y关于x的函数表达式；(2)若想每天获得的利润最多，售价应为每件多少元？【解析】(1)每件售价为x元，则每件利润为(x－50)元．∴y＝(x－50)·105x－402(50≤x≤80)．(2)由(1)得y＝105x－50x－402＝105x－50[x－50＋10]2.当x＝50时，y＝0；当50x≤80时，y＝105x－50＋100x－50＋20≤1052x－50·100x－50＋20＝2500，当且仅当x－50＝100x－50，即x＝60时取得等号．故每件商品售价为60元时，每天获得的利润最多．状元随笔(1)售价减去进价得出每件商品的利润，再乘销售件数可得利润；(2)把分子(x－50)作为一个整体，分母也凑成(x－50)的多项式，分子、分母同除以(x－50)后，可用基本不等式求得利润的最大值.方法归纳1．在日常生产、生活中，处理一些实际问题时，特别是需要求最值时，常用到基本不等式，处理这类问题的一般思路如下：(1)在理解题意的基础上，设变量，弄清思路，列出函数关系式；(2)将实际问题转化为求函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内(使实际问题有意义的变量的取值范围)，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，当不具备用基本不等式求最值的条件时，再考虑利用函数单调性求解；(4)回到实际问题中，正确写出答案．2．对于函数y＝x＋kx(k0)，可以证明x∈(0，k]及[－k，0)上均为减函数，在[k，＋∞]及(－∞，－k]上都是增函数．求此类函数的最值时，若自变量的定义域含±k，可用基本不等式，不包含±k就用函数的单调性．跟踪训练2某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图)．(1)若设休闲区的长和宽的比A1B1B1C1＝x(x1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？解析：(1)设休闲区的宽为a米，则长为ax米．由a2x＝4000，得a＝2010x.所以S(x)＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160＝4000＋(8x＋20)·2010x＋160＝80102x＋5x＋4160(x1)(2)80102x＋5x＋4160≥8010×22x×5x＋4160＝1600＋4160＝5760.当且仅当2x＝5x，即x＝2.5等号成立，此时a＝40，ax＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米．类型三基本不等式的综合应用例3(1)若直线ax－by＋2＝0(a0，b0)被圆x2＋y2＋4x－4y－1＝0所截得的弦长为6，则2a＋3b的最小值为()A．10B．4＋26C．5＋26D．46【解析】(1)圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝9，圆心(－2,2)，半径r＝3，而直线被圆所截得的弦长为6，所以直线ax－by＋2＝0过圆心(－2,2)，即－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1.所以2a＋3b＝2a＋3b(a＋b)＝2ba＋3ab＋5≥22ba×3ab＋5＝5＋26，当且仅当3a＝2b，a＋b＝1即a＝6－2，b＝3－6时等号成立，即2a＋3b的最小值为5＋26.【答案】(1)C(2)等差数列的各项均为正数，其前n项和为Sn，满足2S2＝a2(a2＋1)，且a1＝1，则2Sn＋13n的最小值是________．(2)因为2S2＝a2(a2＋1)，且a1＝1，所以2(a2＋1)＝a2(a2＋1)，即a2＝2(an0)，所以an＝n，Sn＝nn＋12，所以2Sn＋13n＝nn＋1＋13n＝n＋13n＋1≥4＋134＋1＝334(当且仅当n＝4时等号成立)，即2Sn＋13n的最小值是334.【答案】(2)334(3)已知函数f(x)＝x2＋ax＋11x＋1(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．(3)对任意x∈N*，f(x)≥3，即x2＋ax＋11x＋1≥3恒成立，即a≥－x＋8x＋3.设g(x)＝x＋8x，x∈N*，则x＋8x≥42，当且仅当x＝22时取等号．又g(2)＝6，g(3)＝173.g(2)g(3)，所以g(x)min＝173.所以－x＋8x＋3≤－83，所以a≥－83，故a的取值范围是－83，＋∞.【答案】(3)－83，＋∞状元随笔(1)根据已知圆的圆心在已知直线上推出关于a，b的关系⇒用代换法求基本不等式的最值．(2)求等差数列前n项和Sn⇒代入2Sn＋13n⇒用基本不等式求最值．(3)将字母参数a分离出来，转化为最值问题.方法归纳恒成立问题的解决思路将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：(1)f(x)a恒成立⇔af(x)min.(2)f(x)a恒成立⇔af(x)max.跟踪训练3(1)设a0，b0，若3是3a和3b的等比中项，则1a＋1b的最小值为________．(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．(3)设a0，b0，且不等式1a＋1b＋ka＋b≥0恒成立，则实数k的最小值为________．29－4解析：(1)因为3a·3b＝9，所以a＋b＝2，1a＋1b＝12(a＋b)1a＋1b＝1＋12ba＋ab≥1＋12·2ba·ab＝2，当且仅当ba＝ab，即a＝b＝1时“＝”成立．(2)由面积得：12acsin120°＝12asin60°＋12csin60°，化简得a＋c＝ac⇒c＝aa－1(a1)，4a＋c＝4a＋aa－1＝4a＋1a－1＋1＝4(a－1)＋1a－1＋5≥24a－1·1a－1＋5＝9，当且仅当4(a－1)＝1a－1，即a＝32，c＝3时取等号．(3)由a0，b0，1a＋1b＋ka＋b≥0，得k≥－a＋b2ab.又因为a＋b2ab＝ba＋ab＋2≥4(当且仅当a＝b时取等号)，所以－a＋b2ab≤－4.因此要使k≥－a＋b2ab恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值为－4.答案：(1)2(2)9(3)－4