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知识点建立线性规划问题的数学模型建立线性规划问题的数学模型一般按以下步骤：(1)明确问题中所有待确定的未知量，并用数学符号表示；(2)明确问题中所有的限制条件(约束条件)，并用线性方程或线性不等式表示；(3)明确问题的目标，并用线性函数(目标函数)表示，按问题的不同，求其最大值或最小值．状元随笔实际问题中线性规划主要有两种类型：①给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；②给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源最少．[小试身手]1．有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，要运送一批货物，设需载重6吨的汽车x辆，载重4吨的汽车y辆，则完成这项运输任务的线性目标函数为()A．z＝6x＋4yB．z＝5x＋4yC．z＝x＋yD．z＝4x＋5y解析：由题知，x辆载重6吨的汽车可运送货物6x吨，y辆载重4吨的汽车可运送货物4y吨，则总共运送货物z＝(6x＋4y)吨．答案：A2．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品．甲每件4元，乙每件7元．甲商品卖出去后每件可赚1元，乙商品卖出去后每件可赚1.8元．若要使赚的钱最多，那么该商贩购买甲、乙两种商品的件数应分别为()A．甲7件，乙3件B．甲9件，乙2件C．甲4件，乙5件D．甲2件；乙6件解析：设该商贩购买甲、乙两种商品的件数分别为x件和y件，此时该商贩赚的钱为z元，则由题意可得4x＋7y≤50，x≥0，y≥0，x∈N，y∈N，z＝x＋1.8y.如图所示(为整点)，因为x∈N，y∈N，将选项代入分析可知，要使z最大，则只需z＝x＋1.8y通过点(2,6)，所以当x＝2，y＝6时，zmax＝2＋1.8×6＝12.8.故选D.答案：D3．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、质量、可获利润和托运能力限制等数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各被托运的箱数为()货物体积/箱(m3)质量/箱(50kg)利润/箱(百元)甲5220乙4510托运限制2413A.4,1B．3,2C．1,4D．2,4解析：设托运货物甲x箱，托运货物乙y箱，由题意得5x＋4y≤24，2x＋5y≤13，x，y∈N，利润z＝20x＋10y，由线性规划知识可得，当x＝4，y＝1时，利润最大，故选A.答案：A类型一收益最大问题(利润、收入、产量等)例1某工厂计划生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要两种原料．生产甲产品1工时需要A种原料3kg，B种原料1kg；生产乙产品1工时需要A种原料2kg，B种原料2kg.现有A种原料1200kg，B种原料800kg.如果生产甲产品每工时的平均利润是30元，生产乙产品每工时的平均利润是40元，问甲、乙两种产品各生产多少工时能使利润的总额最大？最大利润是多少？【解析】依题意可列表如下：产品原料A数量(kg)原料B数量(kg)利润(元)生产甲种产品1工时3130生产乙种产品1工时2240限额数量1200800设生产甲种产品x工时，乙种产品y工时，利润总额为t元．则t＝30x＋40y.约束条件为3x＋2y≤1200，x＋2y≤800，x≥0，y≥0.画出不等式组表示的平面区域如图．平移直线l0，易知，当直线t＝30x＋40y过点B时，t取得最大值．解方程组3x＋2y＝1200，x＋2y＝800，得点B(200,300)，∴tmax＝30×200＋40×300＝18000.答：生产甲种产品200工时，生产乙种产品300工时，能获得最大利润，最大利润为18000元．状元随笔约束条件是两种原料的限制数量，目标函数为总利润，可以先将已知条件列表表示出来，再转化为线性不等式组，利用线性规划求使目标函数取最大值的最优解.方法归纳对于资源一定，要求收益最大问题，一般要根据题意把资源限制作为约束条件，收益作为目标函数求解．跟踪训练1某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5min，生产一个骑兵需7min，生产一个伞兵需4min，已知总生产时间不超过10h．若生产一个卫兵可获利5元，生产一个骑兵可获利6元，生产一个伞兵可获利3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w.(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大？最大利润是多少？解析：(1)依题意，每天生产的伞兵个数为100－x－y，所以利润w＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300(x，y≥0，x，y∈N)．(2)作出不等式组5x＋7y＋4100－x－y≤600100－x－y≥0x≥0，y≥0，即x＋3y≤200x＋y≤100x≥0，y≥0所表示的平面区域如图中阴影部分所示．平移直线2x＋3y＝0经过图中阴影部分中的点A时，w有最大值．由x＋3y＝200x＋y＝100，得x＝50y＝50，恰为整点，故最优解为A(50,50)，所以wmax＝2×50＋3×50＋300＝550，所以每天生产卫兵50个、骑车50个、伞兵0个时利润最大，最大利润为550元．类型二耗费资源(人力、物力、资金等)最少问题例2某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为()A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元【解析】设旅行社租用A型客车x辆，B型客车y辆，租金为z元，则约束条件为x＋y≤21，y－x≤7，36x＋60y≥900，x∈N，y∈N，目标函数为z＝1600x＋2400y.可行域为如图阴影部分内(包括边界)的整点．当直线z＝1600x＋2400y经过点A(5,12)时，z取得最小值．zmin＝1600×5＋2400×12＝36800.故租金最少为36800元．选C.【答案】C设租用A型客车，B型客车分别为x，y辆，列出约束条件，确定目标函数，作出可行域，找出最优解，可求得租金的最小值．方法归纳1．当任务一定，要求以最少的资源完成任务问题时，常把任务限制作为约束条件，资源作为目标函数求解．2．解答线性规划应用题的一般步骤：(1)审题——仔细阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么；(2)转化——设元，写出约束条件和目标函数；(3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界所在直线斜率间的关系；(4)作答——就应用题提出的问题作出回答．跟踪训练2某公司的仓库A存有货物12t，仓库B存有货物8t．现按7t、8t、5t把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店，从仓库A运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6元、9元、从仓库B运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元．则应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？解析：设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为xt，yt，总运费为z元．则仓库A运给丙商店的货物为(12－x－y)t，仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7－x)t，(8－y)t，[5－(12－x－y)]t.z＝8x＋6y＋9(12－x－y)＋3(7－x)＋4(8－y)＋5(x＋y－7)＝x－2y＋126，约束条件为12－x－y≥0，7－x≥0，8－y≥0，x＋y－7≥0，x≥0，y≥0，即0≤x≤7，0≤y≤8，x＋y≥7，x＋y≤12，作出可行域，如图所示．作直线l：x－2y＝0，把直线l平行移动，当直线过A(0,8)时，z＝x－2y＋126取得最小值，zmin＝0－2×8＋126＝110，即x＝0，y＝8时，总运费最少．即仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别为0t、8t、4t，仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为7t、0t、1t．此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少．类型三线性规划应用中的最优整数解问题例3某人有一幢楼房，室内面积共180m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间每间的面积为18m2，每间可住游客5名，每名游客每天的住宿费为40元；小房间每间的面积为15m2，每间可住游客3名，每名游客每天的住宿费为50元．装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元．如果他只有8000元用于装修，且游客能住满客房，那么他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大收益？【解析】设他应隔出大房间x间，小房间y间，获得收益为z元，由题意可知18x＋15y≤180，1000x＋600y≤8000，x≥0，y≥0，且x，y∈N.即6x＋5y≤60，5x＋3y≤40，x≥0，y≥0，且x，y∈N.目标函数为z＝200x＋150y，可行域为如图阴影部分内(包括边界)的整点．作直线4x＋3y＝0，当直线z＝200x＋150y经过B点时，z取得最大值，但B207，607并非整点，故要进一步搜索，可在B附近找到A(2,9)、C(2,8)、D(3,8)这几个整点．令t＝4x＋3y，则tA＝8＋27＝35，tC＝8＋24＝32，tD＝12＋24＝36.故(3,8)为最优整数解，易知4×3＋3×8＝4×0＋3×12，故(0,12)也为最优整数解．所以他应隔出小房间12间或大房间3间、小房间8间，才能获得最大收益．状元随笔本题中的房间数显然应为整数，但利用线性规划求得的最优解为非整数解，因此要进行调整．其方法应以与线性目标函数表示的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点.方法归纳寻找整点最优解的三种方法(1)平移找解法：先打网格，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解．(2)小范围搜寻法：即在求出的非整点最优解附近的整点都求出来，代入目标函数，直接求出目标函数的最大(小)值．(3)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再调整最优值，最后筛选出整点最优解．跟踪训练3某运输公司有7辆可载6t的A型卡车与4辆可载10t的B型卡车，有9名驾驶员，建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360t沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为A型车8次，B型车6次，每辆卡车每天的成本费为A型车160元，B型车252元，每天派出A型车和B型车各多少辆，公司所花费用最低？解析：设每天派出A型卡车x辆，B型卡车y辆，公司所花费用为z元，由题意知：0≤x≤7，0≤y≤4，x＋y≤9，48x＋60y≥360，x，y∈N，整理得0≤x≤7，0≤y≤4，x＋y≤9，4x＋5y≥30，x，y∈N.目标函数z＝160x＋252y.令l0：160x＋252y＝0.可行域为如图阴影部分内(包括边界)的整点．可行域内的整点有：(3,4)，(4,3)，(4,4)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(6,2)，(6,3)，(7,1)，(7,2)．平移l0，当直线过(5,2)时，z有最小值，zmin＝160×5＋252×2＝1304.所以每天派出A型卡车5辆，B型卡车2辆时，公司所花费用最低，为1304元．