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课标要求1．了解线性规划的意义，能根据线性约束条件建立目标函数．2．理解并初步运用线性规划的图解法解决一些实际问题．3．理解目标函数的最大、最小值与其对应直线的截距的关系．知识导图学法指导1.弄清线性约束条件、目标函数、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念．2．从与目标函数有关量的几何意义出发，通过平移、旋转等方法寻找目标函数取最值的条件．第一课时简单的线性规划问题知识点一线性规划的基本概念名称意义约束条件关于变量x，y的________________线性约束条件关于x，y的一次不等式(或方程)组成的目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足____________的解(x，y)可行域由所有________组成的集合最优解使目标函数取得________________的可行解线性规划问题在________条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题不等式(或方程)组线性约束条件可行解最大值或最小值线性约束状元随笔1.线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也用一次方程表示．2．可行解必须使线性约束条件成立，可行域是所有的可行解构成的一个区域．3．可行解和最优解是两个完全不同的概念，它们之间的关系是最优解必是可行解，但可行解不一定是最优解．4．在线性约束条件下，目标函数的最优解的个数不确定，可能有一个或多个，也可能没有．知识点二线性规划问题的求解方法——图解法在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，求最优解的步骤如下：状元随笔对于目标函数z＝ax＋by(b≠0)，把目标函数等价转化成y＝－abx＋zb的形式，它表示斜率为－ab，在y轴上的截距为zb，并随之变化的一组平行直线，因此，目标函数z＝ax＋by(b≠0)中z与直线的纵截距有关，b0时直线的纵截距与z的变化方向相同；b0时相反．即当b0时，直线过可行域且在y轴截距越大，z的值越大，截距越小，z的值越小；当b0时，直线过可行域且截距越大，z的值越小，截距越小，z的值越大．[小试身手]1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)可行域是一个封闭的区域．()(2)在线性约束条件下，最优解是唯一的．()(3)最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解．()(4)线性规划问题一定存在最优解．()××√×2．设变量x，y满足约束条件x＋2y≤2，x－y≤0，x≥－2，则z＝x－3y的最大值为()A．－2B．4C．－6D．－8解析：作可行域如图，令z＝0得x－3y＝0，将其平移，当过点(－2，－2)时，直线y＝13x－z3的纵截距－z3最小，此时z取最大值，所以zmax＝－2＋3×2＝4.答案：B3．满足条件y－2x≤0，x＋2y＋30，5x＋3y－50的可行域中共有整点的个数为()A．3B．4C．5D．6解析：画出可行域，由可行域知有4个整点，分别是(0,0)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－2)．答案：B4．[高考广东卷]若变量x，y满足约束条件4x＋5y≥8，1≤x≤3，0≤y≤2，则z＝3x＋2y的最小值为()A．4B.235C．6D.315解析：不等式组4x＋5y≥8，1≤x≤3，0≤y≤2表示的平面区域为如图所示的阴影部分，作直线l0：3x＋2y＝0，平移直线l0，当经过点A时，z取得最小值．此时x＝1，4x＋5y＝8，所以A1，45，所以zmin＝3×1＋2×45＝235.答案：B类型一求线性目标函数的最值例1已知1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求2x－3y的取值范围．【解析】作出二元一次不等式组1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3表示的可行域，如图中阴影部分．令z＝2x－3y，把它变形为y＝23x－13z，得到斜率为23，且随z变化的一组平行直线，－13z是直线在y轴上的截距．由图可知，当直线z＝2x－3y经过可行域上的点A时，截距最大，z最小；经过可行域上的点B时，截距最小，z最大．解方程组x－y＝－1，x＋y＝5得点A的坐标为(2,3)，∴zmin＝2×2－3×3＝－5.解方程组x－y＝3，x＋y＝1得点B的坐标为(2，－1)，∴zmax＝2×2－3×(－1)＝7.∴2x－3y的取值范围是[－5,7]．状元随笔将条件转化为二元一次不等式组，画出对应的可行域，令z＝2x－3y，则变形为y＝23x－13z，因此，直线的截距为－13z，当截距最大时，z最小，当截距最小时，z最大．方法归纳1．求线性目标函数最值的方法——平移直线法(1)依据约束条件画出可行域；(2)依据目标函数z＝ax＋by作直线l0：ax＋by＝0；(3)平移直线l0，确定最优解的位置；(4)求出最优解，代入计算得出最值．2．线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)，若b0，则当直线y＝－abx＋zb纵截距最大(小)时，z取最大(小)值；若b0，则当直线y＝－abx＋zb纵截距最小(大)时，z取最大(小)值．跟踪训练1实数x，y满足不等式组x≥0，x－y－1≤0，x－2y＋1≥0，则2x－y的最大值为()A．－12B．1C．2D．4解析：作出不等式组对应的平面区域如图．令k＝2x－y，得y＝2x－k，平移直线y＝2x，由图可知当直线y＝2x－k经过点A时，直线y＝2x－k的纵截距最小，此时k最大由x－y－1＝0，x－2y＋1＝0，可得A(3,2)，则kmax＝2×3－2＝4.故选D.答案：D类型二求非线性目标函数的最值例2设x，y满足条件x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3，(1)求v＝yx－5的最大值与最小值；(2)求u＝x2＋y2的最大值与最小值．【解析】(1)画出满足条件的可行域如图所示，v＝yx－5表示可行域内的点P(x，y)与定点D(5,0)所在直线PD的斜率，由图可知，kBD最大，kCD最小，又C(3,8)，B(3，－3)，所以vmax＝－33－5＝32，vmin＝83－5＝－4.(2)u＝x2＋y2表示可行域内点P(x，y)到原点O(0,0)的距离的平方，由图可知：|OC|2为最大值，最小值为0，所以umax＝32＋82＝73，umin＝0.(1)即求点(x，y)与(5,0)所在直线斜率的最值；(2)则是求(x，y)点到原点距离的平方的最值．方法归纳常见非线性目标函数的几何意义1．z＝(x－a)2＋(y－b)2时，z可以看成是点(x，y)与点(a，b)之间距离的平方．2．z＝y－bx－a(x≠a)时，z可以看成是点(x，y)与点(a，b)之间连线的斜率．3．z＝|ax＋by＋c|a2＋b2时，z可以看成是点(x，y)与直线ax＋by＋c＝0之间的距离．跟踪训练2(1)若变量x，y满足x＋y≤2，2x－3y≤9，x≥0，则x2＋y2的最大值是()A．4B．9C．10D．12解析：(1)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x2＋y2表示区域内点到原点距离的平方，由x＋y＝2，2x－3y＝9得A(3，－1)，由图易得(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10.故选C.答案：(1)C跟踪训练2(2)若x，y满足约束条件x－1≥0x－y≤0x＋y－4≤0，则yx的最大值为________．解析：(2)作出可行域，如图中阴影部分所示，由可行域知，在点A(1,3)处，yx取得最大值3.答案：(2)3类型三已知目标函数的最值求参数例3若实数x，y满足2x＋y－2≥0，y≤3，ax－y－a≤0，且x2＋y2的最大值为34，求正实数a的值．解析：在平面直角坐标系中画出约束条件所表示的可行域如图(形状不定)．其中直线ax－y－a＝0的位置不确定，但它经过定点A(1,0)，斜率为a.又由于x2＋y2＝[x2＋y2]2.且x2＋y2的最大值等于34，所以可行域中的点与原点的最大值距离等于34.解方程组2x＋y－2＝0，y＝3，得M的坐标为－12，3.解方程组ax－y－a＝0，y＝3，得P的坐标为3a＋1，3.又M－12，3，OM＝9＋1434.∴点P3a＋1，3到原点距离最大．∴3a＋12＋9＝34，解得a＝34.当a变化时，直线ax－y－a＝0为动直线，但其过一定点(0,1)，也是与2x＋y－2＝0的交点，故可行域有两条定边和两个固定顶点，据此可画出示意图，结合图形分析出使x2＋y2取最大值34的点．方法归纳约束条件中含有参数意味着约束条件是变动的，这种变动导致了目标函数最值的变化．此时要利用数形结合的方法，根据条件确定可行域形状，结合目标函数的几何意义，分析最值在什么位置取得．跟踪训练3已知变量x，y满足约束条件0≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2.若目标函数z＝ax＋y(其中a0)仅在点(3,1)处取得最大值，求实数a的取值范围．解析：由约束条件画出可行域，如图所示，点C的坐标为(3,1)．因为目标函数仅在点C(3,1)处取得最大值，所以－akCD，即－a－1，所以a1.所以实数a的取值范围是(1，＋∞)．