2020版高中数学 第三章 不等式 3.2.2 一元二次不等式及其解法习题课课件 新人教A版必修5

知识点一简单分式不等式的解法1．分式不等式若f(x)与g(x)是关于x的多项式，则不等式fxgx0(0，或≥0，或≤0)称为分式不等式．2．分式不等式的解法(1)解分式不等式的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解．即fxgx0⇔fx0，gx0或fx0，gx0⇔f(x)·g(x)0；fxgx0⇔fx0，gx0或fx0，gx0⇔f(x)·g(x)0；fxgx≥0⇔fx·gx≥0，gx≠0⇔f(x)·g(x)0或f(x)＝0；fxgx≤0⇔fx·gx≤0，gx≠0⇔f(x)·g(x)0或f(x)＝0.(2)对于形如fxgxa(a)的分式不等式，其中a≠0，求解的方法是先把不等式的右边化为0，再通过商的符号法则，把它转化为整式不等式求解．状元随笔fxgx0与f(x)·g(x)0同解；fxgx0与f(x)·g(x)0同解．但fxgx≥0与f(x)·g(x)≥0不同解；fxgx≤0与f(x)·g(x)≤0不同解．知识点二一元二次不等式恒成立的条件(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c0对任意x∈R恒成立⇔a0，Δ0；(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0对任意x∈R恒成立⇔a0，Δ≤0；(3)一元二次不等式ax2＋bx＋c0对任意x∈R恒成立⇔a0，Δ0；(4)一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0对任意x∈R恒成立⇔a0，Δ≤0.状元随笔ax2＋bx＋c0(a0)对于x∈R恒成立，即y＝ax2＋bx＋c的图象全在x轴上方．故方程ax2＋bx＋c＝0无根，也就是Δ0.其它情形道理相同．[小试身手]1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)1x1的解集为(1，＋∞)．()(2)ax2＋ax＋10恒成立，求解时只需a0Δ0即可．()(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c0的解集为R.()(4)x－1x－2≤0的解集为[1,2]．()××××2．不等式x＋13x＋60的解集是()A．{x|－2x－1}B．{x|x≤－2或x－1}C．{x|x－3或x－2}D．{x|x－2或x－1}解析：不等式x＋13x＋60等价于(x＋1)(x＋2)0，所以不等式的解集是{x|x－2或x－1}．答案：D3．如果A＝{x|ax2－ax＋10}＝∅，则实数a的取值集合为()A．{a|0a4}B．{a|0≤a4}C．{a|0a≤4}D．{a|0≤a≤4}解析：当a＝0时，有10，故A＝∅.当a≠0时，若A＝∅，则有a0，Δ＝a2－4a≤0，解得0a≤4.综上，a的取值集合为{a|0≤a≤4}．答案：D4．若不等式x2＋mx＋m20的解集为R，则实数m的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(－∞，2)C．(－∞，0)∪(2，＋∞)D．(0,2)解析：由题意知原不等式对应方程的Δ0，即m2－4×1×m20，即m2－2m0，解得0m2.答案：D类型一解简单的分式不等式例1解下列不等式(1)2x－13x＋1≥0；(2)2－xx＋3＞1.【解析】(1)因为2x－13x＋1≥0⇔2x－13x＋1≥0，3x＋1≠0⇔x≤－13或x≥12，x≠－13⇔x－13或x≥12.所以原不等式的解集为xx－13或x≥12.(2)原不等式可化为x＋30，2－xx＋3或x＋30，2－xx＋3⇔x－3，x－12或x－3，x－12⇔－3x－12.所以原不等式的解集为x－3x－12.状元随笔(1)中3x＋1≠0；(2)中先将x系数化为正，分母符号不确定，不能直接去分母，应该先移项通分化为fxgx0(或0)的形式再进行求解.方法归纳分式不等式的解法先通过移项、通分整理成标准型fxgx0(0)或fxgx≥0(≤0)，再化成整式不等式(组)来解，如果能判断出分母的正负，直接去分母即可．跟踪训练1(1)不等式x2－2x－2x2＋x＋12的解集为()A．{x|x≠－2}B．RC．∅D．{x|x－2或x2}(2)若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝xx－2x≤0，则A∩B等于()A．{x|－1≤x＜0}B．{x|0x≤1}C．{x|0≤x2}D．{x|0≤x≤1}(3)已知关于x的不等式ax－1x＋10的解集是(－∞，－1)∪12，＋∞，则a＝________.AB2解析：(1)∵x2＋x＋10，∴不等式化为x2－2x－22(x2＋x＋1)，即x2＋4x＋40，∴(x＋2)20，∴x≠－2；(2)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0x≤2}∴A∩B＝{x|0x≤1}(3)由ax－1x＋10的解集为(－∞，－1)∪12，＋∞，∴a0且1a＝12∴a＝2.答案：(1)A(2)B(3)2类型二不等式恒成立问题例2关于x的一元二次不等式2x2－8x＋6－m0对任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．【解析】方法一：要使2x2－8x＋6－m0恒成立，∵a＝20，∴只需Δ＝64－8(6－m)0，∴m－2.故m的取值范围是(－∞，－2)．方法二：不等式2x2－8x＋6－m0对任意的x∈R恒成立，则只需m2x2－8x＋6对任意的x∈R恒成立．∵g(x)＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2.∴g(x)＝2x2－8x＋6在x∈R上最小值为－2，∴故m的取值范围为(－∞，－2)．状元随笔思路一：a＝20，Δ0―→求m的取值范围思路二：原不等式转化为m2x2－8x＋6―→求gx＝2x2－8x＋6的最小值―→由mgxmin，求m的范围方法归纳含参数不等式的恒成立问题的解法(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立⇔a0Δ0；ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立⇔a0Δ0.(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)(kf(x))恒成立⇔k≥f(x)max(kf(x)max)；k≤f(x)(kf(x))恒成立⇔k≤f(x)min(kf(x)min)．跟踪训练2若关于x的不等式ax2＋(2a－1)x＋a－2≤0对任意x∈R恒成立，求a的取值范围．解析：①若a＝0，不等式化为－x－2≤0不能对x∈R恒成立；②若a≠0，则有a0时，应有Δ≤0，即a0，2a－12－4aa－2≤0，解得a≤－14.综上，要使不等式对x∈R恒成立，a的取值范围是－∞，－14.类型三一元二次不等式的实际应用例3某摩托车生产企业，上年度生产车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆，本年度为适应市场需要，计划提高产品档次，适度增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x之间的关系式；(2)为使本年度的利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？【解析】(1)每辆车投入成本增加的比例为x，则每辆车投入成本为1×(1＋x)万元，出厂价为1.2×(1＋0.75x)万元，年销量为1000×(1＋0.6x)辆．所以y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1000×(1＋0.6x)，即y＝－60x2＋20x＋200(0x1)．(2)欲保证本年度的利润比上年度有所增加，则y－1.2－1×10000，0x1，即－60x2＋20x0，0x1.所以0x13.即为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应在0，13范围内.本年度每辆车投入成本为1×(1＋x)万元，出厂价为1.2×(1＋0.75x)万元，年销量为1000×(1＋0.6x)辆．方法归纳用一元二次不等式求解实际应用题的一般步骤：(1)审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系；(2)建模：建立一元二次不等式模型；(3)求解：解一元二次不等式；(4)还原：把数学结论还原为实际问题．跟踪训练3国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k元(叫做税率k%)，则每年的产销量将减少10k万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，问k应怎样确定？解析：设产销量为每年x万瓶，则销售收入每年70x万元，从中征收的税金为70x·k%万元，其中x＝100－10k.由题意，得70(100－10k)k%≥112，整理得k2－10k＋16≤0，解得2≤k≤8.因此当2≤k≤8(单位：元)时，每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元．