2020版高中数学 第三章 不等式 3.2.1 一元二次不等式及其解法课件 新人教A版必修5

课标要求1．能借助二次函数的图象求出一元二次不等式的解集．2．熟练掌握解一元二次不等式的方法．3．了解“三个二次”之间的关系，体会数学的整体性．知识导图学法指导1.用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法．学习本节时，用二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式，通过理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性，提升数学运算等核心素养．2．类比用符号法则解一元二次不等式的方法，理解高次不等式(简单分式不等式)的解法．3．深刻体会一元二次不等式的图象特征及其与不等式恒成立的相关关系．4．通过具体的问题，认识一元二次不等式在现实世界的广泛应用，培养数学建模的核心素养．知识点一一元二次不等式定义我们把只含有____未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式一般形式____________(≥0)或____________(≤0)，其中a≠0一元二次不等式的解使得某个一元二次不等式________叫做这个一元二次不等式的解一元二次不等式的解集由使得某个一元二次不等式成立的________构成的集合叫做这个一元二次不等式的解集一个ax2＋bx＋c0ax2＋bx＋c0成立的值所有值状元随笔1.一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知数，并且这个未知数是唯一的，但这并不意味着不等式中不能含有其他字母，若含有其他字母，则把其他字母看成常数．2．一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知数的最高次数必须是2，且最高次项的系数不为0.当二次项系数含字母时，所给不等式不一定是一元二次不等式．知识点二二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系根的判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象根的判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两个不相等的实数根x1,2＝－b±b2－4ac2a(x1x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c0(a0)的解集____________________________一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)的解集____________________________{x|xx1或xx2}xx≠－b2aR{x|x1xx2}∅∅状元随笔1.从函数观点来看，一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象在x轴上方的部分的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c0(a0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象在x轴下方部分的点的横坐标x的集合；2．从方程观点来看，一元二次方程的根是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)的解集，就是大于大根，或者小于小根的实数的集合；ax2＋bx＋c0(a0)的解集，就是大于小根，且小于大根的实数的集合．[小试身手]1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)mx2－5x0是一元二次不等式．()(2)若a0，则一元二次不等式ax2＋10无解．()(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集为{x|x1xx2}．()(4)不等式x2－2x＋30的解集为R.()×××√2．下列不等式中是一元二次不等式的是()A．a2x2＋2≥0B.1x2＋x3C．－x2＋x－m≤0D．x3－2x＋10解析：选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．故选C.答案：C3．不等式x(x－2)≥0的解集为()A．[2，＋∞)B．(0,2)C．(－∞，0]∪[2，＋∞)D．[0,2]解析：∵x(x－2)＝0的两根x1＝0，x2＝2∴不等式x(x－2)≥0的解集为(－∞，0]∪[2，＋∞)．答案：C4．不等式6x2＋x－2≤0的解集为()A.x－23≤x≤12B.xx≤－23或x≥12C.xx≥12D.xx≤－23解析：因为6x2＋x－2≤0⇔(2x－1)(3x＋2)≤0，所以原不等式的解集为x－23≤x≤12.答案：A类型一解不含参数的一元二次不等式例1解下列不等式：(1)x2－7x＋120；(2)－x2－2x＋3≥0；(3)x2－2x＋10；(4)－2x2＋3x－20.【解析】(1)因为Δ＝10，所以方程x2－7x＋12＝0有两个不等实根x1＝3，x2＝4.再根据函数y＝x2－7x＋12的图象开口向上，可得不等式x2－7x＋120的解集是{x|x3或x4}．(2)不等式两边同乘－1，原不等式可化为x2＋2x－3≤0.因为Δ＝160，所以方程x2＋2x－3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝1.再根据函数y＝x2＋2x－3的图象开口向上，可得不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．(3)因为Δ＝0，所以方程x2－2x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝1.再根据函数y＝x2－2x＋1的图象开口向上，可得不等式x2－2x＋10的解集为∅.(4)原不等式可化为2x2－3x＋20，因为Δ＝9－4×2×2＝－70，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.(1)与(3)二次项系数为正，可直接看Δ的符号，(2)与(4)则应先把二次项系数化正后再进行后面的步骤．方法归纳求一元二次不等式的解集的情况可以归纳如下：一元二次不等式，a为正值来定形；对应方程根求好，所求解集错不了；大于异根取两边，小于异根夹中间；大于等根根去掉，小于等根空集成；大于无根取全体，小于无根不可能！注意：“大于”“小于”指的是当二次项系数转化为正数后的不等号．跟踪训练1解下列不等式：(1)2x2－3x－20；(2)x2－2x＋30；(3)－4x2≥1－4x.解析：(1)因为Δ＝(－3)2－4×2×(－2)＝250，所以方程2x2－3x－2＝0的两根为－12，2，再根据函数y＝2x2－3x－2的图象开口方向，所以原不等式的解集为xx2或x－12.(2)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－80，又因为函数y＝x2－2x＋3开口向上，所以不等式解集为R.(3)原不等式可化为4x2－4x＋1≤0.因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，方程4x2－4x＋1＝0的根为x＝12，所以原不等式的解集是xx＝12.类型二解含参数的一元二次不等式例2解关于x的不等式(ax－1)(x－1)0(a∈R)．【解析】当a＝0时，不等式为x－10，解得x1；当a≠0时，不等式化为ax－1a(x－1)0，若a0，则不等式化为(x－1a)(x－1)0，且1a1，解得1ax1；若a0，则不等式化为x－1a(x－1)0；当a＝1时，1a＝1，不等式化为(x－1)20，解得x≠1；当0a1时，1a1，解不等式得x1或x1a；当a1时，1a1，解不等式得x1a或x1；综上，a0时，不等式的解集是1a，1；a＝0时，不等式的解集是(－∞，1)；0＜a≤1时，不等式的解集是(－∞，1)∪1a，＋∞；a1时，不等式的解集是－∞，1a∪(1，＋∞)．状元随笔由于二次项系数为a，故需要考虑a＝0，a0，a0三种情况，另一方面当a0时，二次方程的两根x＝1a和x＝1的大小不确定，还要分三种情况讨论.方法归纳解含参数的一元二次不等式的一般步骤跟踪训练2解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋10.(a∈R，a0)解析：因为a0，原不等式等价于x－1a(x－1)0.①当a＝1时，1a＝1，x－1a(x－1)0无解；②当a1时，1a1，解x－1a(x－1)0，得1ax1；③当0a1时，1a1，解x－1a(x－1)0，得1x1a.综上所述，当0a1时，原不等式的解集为x1x1a；当a＝1时，原不等式的解集为∅；当a1时，原不等式的解集为x1ax1.类型三三个“二次”之间的关系例3已知关于x的不等式ax2＋bx＋c0的解集为{x|2x3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a0的解集．【解析】方法一：由不等式ax2＋bx＋c0的解集为{x|2x3}可知，a0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知ba＝－5，ca＝6.由a0知c0，bc＝－56，故不等式cx2＋bx＋a0，即x2＋bcx＋ac0，即x2－56x＋160，解得x13或x12，所以不等式cx2＋bx＋a0的解集为－∞，13∪12＋∞.方法二：由不等式ax2＋bx＋c0的解集为{x|2x3}可知，a0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a⇒b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a0，即6ax2－5ax＋a0⇒6ax－13x－120，故原不等式的解集为－∞，13∪12＋∞状元随笔由给定的不等式的解集，可以确定a0且ax2＋bx＋c＝0的两根为x1＝2，x2＝3，根据韦达定理可建立a，b，c的关系，从而用a表示出b，c，代入所解不等式.方法归纳一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．(2)若一元二次不等式的解集为R或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．跟踪训练3已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab，不等式f(x)0的解集为{x|－3x2}．(1)求函数y＝f(x)的解析式．(2)当关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为R时，求c的取值范围．解析：(1)因为f(x)0的解集为{x|－3x2}，所以－3,2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，所以－3＋2＝－b－8a，－3×2＝－a－aba，解得a＝－3，b＝5，所以f(x)＝－3x2－3x＋18.(2)因为a＝－30，所以二次函数y＝－3x2＋5x＋c的图象开口向下，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ≤0，即25＋12c≤0，所以c≤－2512；所以当c≤－2512时，－3x2＋5x＋c≤0的解集为R.