2020版高中数学 第二章 数列 2.5.1 等比数列的前n项和课件 新人教A版必修5

课标要求1．掌握等比数列的前n项和公式，了解推导等比数列前n项和公式的过程与方法．2．能够运用等比数列的前n项和公式进行有关的计算．3．掌握等比数列的前n项和的性质及其应用．知识导图学法指导1.类比等差数列的前n项和公式，掌握等比数列的前n项和公式的推导方法、性质及应用．2．重视利用方程思想、整体思想、分类讨论思想及等比数列的性质解决等比数列的问题，加深对等比数列本质的认识.知识点一等比数列的前n项和公式状元随笔(1)等比数列前n项和公式分q＝1与q≠1两种情况，因此当公比未知时，要对公比进行分类讨论．(2)q≠1时，公式Sn＝a11－qn1－q与Sn＝a1－anq1－q是等价的，利用an＝a1qn－1可以实现它们之间的相互转化．当已知a1，q与n时，用Sn＝a11－qn1－q较方便；当已知a1，q与an时，用Sn＝a1－anq1－q较方便．知识点二等比数列前n项和的性质(1)当q＝1时，SnSm＝____；当q≠±1时，SnSm＝________.(2)Sn＋m＝Sm＋____Sn＝Sn＋____Sm.(3)设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和．若项数为2n，则S偶S奇＝____；若项数为2n＋1，则S奇－a1S偶＝____.(4)当q≠－1时，连续m项的和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…)仍组成____数列(公比为____，m≥2)，注意：这连续m项的和必须非零才能成立．nm1－qn1－qmqmqnqq等比qm状元随笔(1)当q＝－1且k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比数列；(2)当q≠－1时，或q＝－1且k为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列．(3)若{an}是公比为q的等比数列，则：①前n项积Tn＝an1qnn－12；②连续m项的积仍为等比数列，即Tm，T2mTm，T3mT2m，…是等比数列，公比为q2m.[小试身手]1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等比数列{an}共2n项，其中奇数项的和为240，偶数项的和为120，则该等比数列的公比q＝2.()(2)若Sn为等比数列的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列．()(3)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝a1－an1－a.()(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．()××××2．等比数列1,2,4,8，…，前10项的和为()A．210B．210－1C．29D．210＋1解析：等比数列的首项a1＝1，公比q＝2，所以S10＝1－2101－2＝210－1.答案：B3．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项的和为()A．63B．64C．127D．128解析：设公比为q(q0)，由a5＝a1q4及题设知16＝q4.所以q＝2，所以S7＝a11－q71－q＝1－271－2＝127.答案：C4．在等比数列{an}中，a3＝32，其前三项的和S3＝92，则数列{an}的公比q＝()A．－12B.12C．－12或1D.12或1解析：由题意，可得a1q2＝32，①a1＋a1q＋a1q2＝92，②由②÷①，得1＋q＋q2q2＝3，解得q＝－12或1.答案：C类型一等比数列前n项和的基本运算例1在等比数列{an}中，(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；(2)S3＝72，S6＝632，求an；(3)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n.【解析】(1)由题意知a11＋q＝30a11＋q＋q2＝155，解得a1＝5q＝5或a1＝180q＝－56，从而Sn＝14×5n＋1－54或Sn＝1080×1－－56n11.(2)∵S6≠2S3，∴q≠1，又S3＝72，S6＝632，∴a11－q31－q＝72①a11－q61－q＝632②②÷①得1＋q3＝9，∴q＝2.将q＝2代入①中得a1＝12，∴an＝a1qn－1＝12·2n－1＝2n－2，即an＝2n－2.(3)由Sn＝a11－qn1－q，an＝a1·qn－1以及已知条件得189＝a11－2n1－2，96＝a1·2n－1，∴a1·2n＝192，即2n＝192a1，∴189＝a1(2n－1)＝a1192a1－1，∴a1＝3,2n－1＝963＝32，∴n＝6.状元随笔(1)(2)直接用等比数列前n项和公式列方程组先求出a1，q即可．(3)则需由前n项和公式与通项公式联立出方程组求解．方法归纳(1)解答关于等比数列的基本运算问题，通常是利用a1，an，q，n，Sn这五个基本量的关系列方程组求解，而在条件与结论间联系不很明显时，均可用a1与q列方程组求解．(2)运用等比数列的前n项和公式要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程组时，通常用两式相除约分的方法进行消元．跟踪训练1(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.(2)已知等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求其第4项及前5项和．解析：(1)由S6＝4S3，所以a11－q61－q＝4a11－q31－q，所以q3＝3(q3＝1不合题意，舍去)，所以a4＝a1·q3＝1×3＝3.(2)设公比为q，由已知得a1＋a1q2＝10，a1q3＋a1q5＝54，即a11＋q2＝10，①a1q31＋q2＝54，②②÷①得q3＝18，即q＝12，将q＝12代入①得a1＝8，所以a4＝a1q3＝8×123＝1，S5＝a11－q51－q＝8×1－1251－12＝312.答案：(1)3(2)1312类型二等比数列前n项和的性质例2(1)已知等比数列{an}中，若前10项的和是10，前20项的和是30，则前30项的和是________；【解析】(1)方法一：因为数列{an}是等比数列，所以有S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，所以(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(30－10)2＝10×(S30－30)，即S30－30＝40，即S30＝70.方法二：由性质Sm＋n＝Sn＋qnSm，得S20＝S10＋q10S10，即30＝10＋10q10，所以q10＝2.所以S30＝S20＋q20S10＝30＋40＝70.【答案】(1)70(2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.(2)由题意，得S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，解得S奇＝－80，S偶＝－160.所以q＝S偶S奇＝－160－80＝2.【答案】(2)2(1)中S10，S20－S10，S30－S20仍成等比数列；(2)由于项数为偶数，故有S偶S奇＝q.方法归纳(1)在涉及奇数项和S奇与偶数项和S偶时，常考虑其差或比进行简化运算．若项数为2n，则S偶S奇＝q(S奇≠0)；若项数为2n＋1，则S奇－a1S偶＝q(S偶≠0)．(2)涉及Sn，S2n，S3n，…的关系或Sn与Sm的关系考虑应用以下两个性质①等比数列前n项和为Sn(且Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn(q≠－1)．②等比数列{an}的公比为q，则Sn＋m＝Sn＋qnSm.跟踪训练2(1)若等比数列{an}的公比为13，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为________；解析：(1)令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100，则S100＝X＋Y，由等比数列前n项和性质知：YX＝q＝13，所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝80.故填80.答案：(1)80(2)一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式an＝________.解析：(2)设数列{an}的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．因为数列{an}的项数为偶数，所以有q＝S偶S奇＝13.又因为a1·a1q·a1q2＝64，所以a31·q3＝64，即a1＝12，故所求通项公式为an＝12×13n－1.答案：(2)12×13n－1类型三等比数列前n项和的综合应用例3已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.(1)求{an}的通项公式．(2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.【解析】(1)设等差数列{an}公差为d，因为a2＋a4＝2a3＝10，所以a3＝5＝1＋2d，所在d＝2.所以an＝2n－1.(2)设{bn}的公比为q，b2·b4＝a5⇒qq3＝9，所以q2＝3，所以{b2n－1}是以b1＝1为首项，q′＝q2＝3为公比的等比数列，所以b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝1·1－3n1－3＝3n－12.先求出{an}的通项公式和{bn}的首项公比，{bn}的奇数项也成等比数列，且所求和为奇数项等比数列的前n项和．方法归纳等比数列前n项和的应用技巧(1)求和时注意利用定义判断数列是否为等比数列，确定首项与公比是关键．(2)等比数列的前n项和的应用往往结合等差数列的项的性质，要综合应用数列知识解题．(3)要弄清求和项数．跟踪训练3记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．解析：(1)设公比为q，因为S2＝2，S3＝－6，所以S3－S2＝a3＝－6－2＝－8，又S2＝a1＋a2＝2，可得q2＋4q＋4＝0，所以q＝－2.又a3＝a1q2＝－8，所以a1＝－2，所以an＝a1·qn－1＝(－2)n.(2)由(1)得Sn＝a11－qn1－q＝－2[1－－2n]1－－2＝23[(－2)n－1]，则Sn＋1＝23[(－2)n＋1－1]，Sn＋2＝23[(－2)n＋2－1]，所以Sn＋1＋Sn＋2＝23[(－2)n＋1－1]＋23[(－2)n＋2－1]＝23[2(－2)n－2]，又2Sn＝43[(－2)n－1]，即Sn＋1＋Sn＋2＝2Sn，所以Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．