2020版高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和课件 新人教A版必修5

课标要求1．了解等差数列前n项和公式的推导方法．2．掌握等差数列的前n项和公式．3．利用等差数列的前n项和公式解决实际问题．知识导图学法指导1.从等差数列前n项和公式的推证过程出发，结合等差数列的通项公式，体会倒序相加法的特点，把握等差数列前n项和公式的特征及应用．2．利用等差数列前n项和公式与二次函数的关系，借助函数与方程的思想来解释等差数列前n项和的有关问题，加深对等差数列的认识.知识点一数列的前n项和Sn与an的关系1．数列的前n项和的概念一般地，我们称a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝____________________.2．前n项和Sn与通项an的关系若数列{an}的前n项和为Sn，则an与Sn的关系式为an＝________________a1＋a2＋a3＋…＋anS1，n＝1.Sn－Sn－1，n≥2.状元随笔1.Sn表示数列的前n项和，而非数列的任意几个项的和．2．an与Sn的关系不能简化为an＝Sn－Sn－1.知识点二等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn＝________Sn＝________状元随笔等差数列的前n项和公式可变形为Sn＝d2n2＋a1－d2n，当d≠0时可以看作不含常数项的关于n的一元二次式，反之，若一个数列的前n项和是不含常数项的一元二次式，则此数列是等差数列．na1＋an2na1＋nn－12d知识点三等差数列前n项和的主要性质1．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成____数列．2．若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝____，S奇S偶＝anan＋1；②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝____，S奇S偶＝nn－1.S2n－1＝________an.等差ndan(2n－1)状元随笔关于奇数项的和与偶数项的和的问题，要根据项数来分析，当项数为奇数或偶数时，S奇与S偶的关系是不相同的．[小试身手]1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于an＝Sn－Sn－1成立的条件是n∈N*.()(2)等差数列前n项和公式的推导方法我们称为“倒序相加法”．()(3)等差数列的前n项和公式可以看成是关于n的常数项为零的二次函数．()(4)在等差数列{an}中，已知a1＝－1，a10＝11，则S10＝100.()×√××2．在等差数列{an}中，a1＝1，a30＝30，则S30的值为()A．456B．465C．930D．654解析：S30＝30×a1＋a302＝30×1＋302＝465.答案：B3．在等差数列{an}中，已知a2＝2，a8＝10，则前9项和S9＝()A．45B．52C．108D．54解析：a5＝a2＋a82＝6，S9＝9a5＝54.答案：D类型一等差数列前n项和的基本量计算例1在等差数列{an}中，(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8；(2)已知a2＋a4＝485，求S5；(3)已知a3＝16，S20＝20，求S10.【解析】(1)方法一：∵a6＝10，S5＝5，∴a1＋5d＝10，5a1＋10d＝5，解得a1＝－5，d＝3.∴a8＝a6＋2d＝16.方法二：∵S6＝S5＋a6＝15，∴15＝6a1＋a62，即3(a1＋10)＝15.∴a1＝－5，d＝a6－a15＝3.∴a8＝a6＋2d＝16.(2)方法一：∵a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝485，∴a1＋2d＝245.∴S5＝5a1＋10d＝5(a1＋2d)＝5×245＝24.方法二：∵a2＋a4＝a1＋a5，∴a1＋a5＝485，∴S5＝5a1＋a52＝52×485＝24.(3)设数列{an}的首项为a1，公差为d，依题意可得a1＋2d＝16，20a1＋20×192d＝20，即a1＋2d＝16，2a1＋19d＝2，解得a1＝20，d＝－2.因此S10＝10a1＋10×92d＝10×20＋10×92×(－2)＝110.状元随笔(1)由于有两个已知条件，所以可以通过列方程组求出基本量a1，d来解决问题，也可以运用等差数列前n项和公式求解；(2)由于只有一个已知条件，需要结合等差数列的通项公式和前n项和公式求解，也可以利用等差数列的性质和前n项和公式求解；(3)中条件与待求不能直接联系，只能通过基本量a1，d来解决.方法归纳(1)在等差数列问题中共涉及五个量：a1，d，n，an及Sn，利用等差数列的通项公式及前n项和公式即可“知三求二”．其解题通法可以概括为：设出基本量(a1，d)，构建方程组．因此利用方程思想求出基本量(a1，d)是解决等差数列问题的基本途径．(2)解题时，若能结合等差数列的性质及整体代换(或求解)的思想，则往往能使解题过程更加简便．跟踪训练1已知等差数列{an}中：(1)a1＝32，d＝－12，Sm＝－15，求m及am；(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，求d；解析：(1)因为Sm＝m×32＋mm－12×－12＝－15，整理，得m2－7m－60＝0，解得m＝12或m＝－5(舍去)，所以am＝a12＝32＋(12－1)×－12＝－4.(2)由Sn＝na1＋an2＝n·－512＋12＝－1022，得n＝4.又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解得d＝－171.类型二等差数列前n项和的性质例2(1)等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为()A．130B．170C．210D．260(2)已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且SnTn＝2n＋2n＋3，则a5b5＝________.(3)已知等差数列{an}前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝________.【解析】(1)利用等差数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6成等差数列．所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即30＋(S9－100)＝2(100－30)，解得S9＝210.(2)由等差数列的性质，知a5b5＝a1＋a92b1＋b92＝a1＋a92×9b1＋b92×9＝S9T9＝2×9＋29＋3＝53.(3)Sn－Sn－4＝an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40.两式相加得4(a1＋an)＝120，∴a1＋an＝30，又Sn＝na1＋an2＝15n＝210，∴n＝14.【答案】(1)C(2)53(3)14(1)中S3，S6－S3，S9－S6也成等差数列．(2)中a5b5＝qa5qb5＝S9T9.(3)中Sn－Sn－4为末4项和，S4为前4项和，倒序相加可得4(a1＋an)．方法归纳等差数列前n项和的常用性质(1)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是等差数列．(2)数列Snn是等差数列，公差为数列{an}的公差的12.(3)涉及两个等差数列的前n项和之比时，一般利用公式ambn＝2n－12m－1·S2m－1T2n－1进行转化，再利用其他知识解决问题．(4)用公式Sn＝na1＋an2时常与等差数列的性质a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…相结合．跟踪训练2(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14等于()A．18B．17C．16D．15(2)已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对于任意的自然数n，都有SnTn＝2n－34n－3，则a3＋a152b3＋b9＋a3b2＋b10＝()A.1941B.1737C.715D.2041(3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝100，S100＝10，则S110＝________.AA－110解析：(1)设{an}的公差为d，则a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12，(a5＋a6＋a7＋a8)－S4＝16d，解得d＝14，a11＋a12＋a13＋a14＝S4＋40d＝18.故选A.(2)a3＋a152b3＋b9＋a3b2＋b10＝a9b3＋b9＋a3b2＋b10＝a9＋a3b2＋b10＝a1＋a11b1＋b11＝S11T11＝22－344－3＝1941.故选A.(3)方法一：因为S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列，设公差为d，前10项的和为：10×100＋10×92d＝10，所以d＝－22，所以前11项的和S110＝11×100＋11×102d＝11×100＋11×102×(－22)＝－110.方法二：设等差数列{an}的公差为d，则Snn＝d2(n－1)＋a1，所以数列Snn成等差数列．所以S100100－S1010100－10＝S110110－S100100110－100，即10100－10010100－10＝S110110－1010010，所以S110＝－110.方法三：设等差数列{an}的公差为d，S110＝a1＋a2＋…＋a10＋a11＋a12＋…＋a110＝(a1＋a2＋…＋a10)＋[(a1＋10d)＋(a2＋10d)＋…＋(a100＋10d)]＝S10＋S100＋100×10d，又S100－10S10＝100×992d－100×92d＝10－10×100，即100d＝－22，所以S110＝－110.答案：(1)A(2)A(3)－110类型三等差数列前n项和的最值例3已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值．【解析】(1)由a1＝9，a4＋a7＝0，得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.(2)方法一：a1＝9，d＝－2，Sn＝9n＋nn－12·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25∴当n＝5时，Sn取得最大值．方法二：由(1)知a1＝9，d＝－20，∴{an}是递减数列．令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤112.∵n∈N＋，∴n≤5时，an0，n≥6时，an0.∴S5最大．由已知可以判断d0，{an}递减，只要能确定从第几项变为负数项，则所有正数项的和必为Sn的最大值，也可以由Sn为n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解．方法归纳等差数列前n项和最值的两种求法(1)符号转折点法．①当a10，d0时，由不等式组an≥0an＋1≤0，可求得Sn取最大值时的n值．②当a10，d0时，由不等式组an≤0an＋1≥0，可求得Sn取最小值时的n值．(2)利用二次函数求Sn的最值．知道公差不为0的等差数列的前n项和Sn可以表示成Sn＝an2＋bn(a≠0)的形式，我们可将其变形为Sn＝an＋b2a2－b24a.①若a0，则当n＋b2a2最小时，Sn有最小值；②若a0，则当n＋b2a2最小时，Sn有最大值．但要注意，这里n∈N*.跟踪训练3在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15，求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值．解析：设等差数列的公差为d，根据题意，可得a1＋9d＝18，5a1＋10d＝－15，解之，得a1＝－9，d＝3.所以Sn＝－9n＋nn－12×3＝3n22－212n＝32n－722－1478，所以当n＝3或n＝4时，Sn取得最小值S3＝S4＝38－1478＝－18，即Sn的最小值为－18，当n＝3或4时Sn取得最小值．类型四an与Sn关系的应用例4(1)数列{an}的前n项和Sn＝n2－1，则a4＝()A．7B．8C．9D．17(2)数列{an}的前n项和Sn＝－32n2＋n－1，求数列{an}的通项公式．【解析】(1)a4＝S4－S3＝15－8＝7.(2)n＝1时，a1＝S