小学生找出“较复杂图形中线段”的解题策略研究

1小学生找出“较复杂图形中线段”的解题策略研究-------学生问题解决的案例分析报告杭州市上城区教师进修学校朱乐平一、问题的提出许多数学教师都有这样的经验：解决一个数学问题学生常常有自己的解题策略，对同一年龄段的学生来说，他们的解题策略既有共性又有个性。但当学生去解决某一个数学问题时，他们到底会运用怎么样的解题策略，采用不同策略的学生人数各有多少，这些问题并不十分清楚。为此，笔者给出一个几何问题，让小学四、五、六年级的学生找出“较复杂图形中的线段”，试图从学生的解题中，发现学生的解题策略，并分析学生解题策略的心理特征。二、测试的问题、对象和过程1、测试的问题。观察下面的图形，图中一共有多少条线段？请把图形中的线段都写出来。（请尽可能详细的写出过程）如果你认为解题已经完成，请选择：你认为这个题目：很有趣；比较有趣；没有趣。你认为这个题目：很难；比较难；不难。2、测试的对象。按照现行的小学数学教材，本地区四年级及以上的学生已经学过了线段的概念，知道了线段的表示方法。因此，测试的对象选择ABCDO2了小学四、五、六年级的学生各一个班。年龄分别是11，12，13岁。人数分别为50、49、51人。3、测试和访谈过程。2001年5月17日上午，在学生不知情的情况下，由班主任协助组织进行测试。在试测前，没有给学生任何的解题提示，也没有读题，直接让学生独立地解答，并自我记录做题时间。如果学生自己认为解题已经完成，就把测试卷交给老师，学生在解题过程中，没有任何的讨论与交流，整个测试过程基本反映了学生独立地在自然情景下解答这一几何问题的水平。测试后我们对学生的解题情况进行初步整理，在整理的基础上，选择了部分学生一一进行访谈。测试与访谈在同一个上午完成。三、测试结果1、四、五年级有半数以上的学生能正确解答这个几何问题，六年级学生解答这个题目的正确率超过80％。对学生的解题试卷进行批改和统计后，我们发现：四、五、六年级学生解答这个几何题的正确率分别是52％、54％和84.3％。有一部分学生不能正确的数出图中的线段数，四、五、六年级的学生在数线段时有遗漏（少数线段）的学生比例分别是18％，18％和7.8％。数出的线段有重复（多数线段）的人数比例四、五、六年级学生分别是30％、28％和7.9％。重复数线段的学生数明显地比少数线段的学生数要多。2、四、五、六年级学生的解题策略已呈现出多样性，学生认知图形存在着结构性心理特征。通过对四、五、六年级学生的测试卷分析，我们发现学生的解题策略是多样的，学生在解决上述的测试题时，主要有以下几种策略：3ABCD策略一：“顺序”型。按字母顺序数出所有线段。即先数出以A点作为一个端点的所有线段，再分别数出以B、C、D点作为一个端点的所有线段，除去重复的线段。A点：AB,AO,AC,AD；共四条线段。B点：BC,BO,BD；共三条线段。C点：CO,CD；共两条线段。D点：DO一条线段。一共有4+3+2+1=10条线段。下面是一个四年级学生的解答：这种答案是按照的“顺序”得出的，在被测试的学生中采用这种策略的学生四年级有32％，五年级有24％，六年级有50％。策略二：“由外到内”型。先找四边形外围线段，再找内部线段。即分别写出：AB，BC，CD，DA；AC，BD；AO，BO，CO，DO。下面是一个五年级学生的解答：在被测试的学生中，采用这种策略的五年级学生有16％，六年级学生有23％，而四年级采用这种策略的学生只有4％。策略三：“由内向外”型。这类学生的解题思路正好与上面策略二的解题思路相反。即先数出图形中内部的线段，再数外部的线4段。在被测试的学生中，采用这种策略的四、五、六年级学生分别有12％，6％和4％。策略四：“对称”型。按照图形中各线段的某种“对称”位置找出所有线段。找出线段的顺序可以是：AC，BD。AB，DC，AD，BC；AO，OC，BO，OD；下面是一个五年级学生的解答：在被测试的学生中，采用这种策略的四、五、六年级学生分别是：6％，8％和10％。策略五：“三角”型。把要数线段的这个图形分解为几个三角形，然后数出每一个三角形的线段数，再去掉重复的线段，就得到要数的线段数。下面是几个六年级学生的解答：这是一个学生用“三角”型法找出线段的解题过程，尽管结果正确，但思考的过程有错误。5采用这种“三角”型法的四年级学生只有1人采用这种策略，占做对人数的3.8％，五年级没有学生采用这一策略，六年级学生有5人采用这一策略，占做对人数的11.6％。除了上述策略外，还有一些学生是运用了上面两种策略的组合，下面是一个六年级的学生运用“对称”和“顺序”的策略解决问题的过程：从以上的几种解题策略中，我们可以看到，小学生在观察和分析复合图形时，认知结构上具有“顺序”、“对称”、“封闭”及其组合的某种认知特征。3、四、五、六年级学生数线段时已有一定程度的规律性。上下两个学生的解答过程都说有14条重复线段，但他们数的三角形的个数是不一样的，笔者尚不清楚他们是怎样得到“重复线段是14条”这个结论的。6能正确找出图中10条线段的学生中，四、五、六年级分别有68%、75％和88.4％的学生解答有规律，26%、18％和7％的学生解答有部分规律，仅仅6%、5％和4.6％的学生，笔者没有发现明显规律。学生呈现答案的规律性与结论的正确性有着十分密切的关系。一般来说，答案呈现的规律性越强，答案的正确性就越高。具有“顺序”、“对称”、“封闭”及其组合的认知特征，对学习效果起着积极的作用。4、题目的有趣性、难度和答题的正确率之间有着比较密切的关系；对小学四、五和六年级的学生来说，他们对这个几何题有趣程度、难度的认定以及客观上他们对这个题目解答的正确程度存在着一个有趣的关系。表一：各年级学生对题目有趣程度认定的比例项目年级很有趣比较有趣没有趣四年级64％36％0％五年级51％40.8％8.2％六年级15％60％25％表二：各年级学生认定题目难度的比例和实际答题的正确率项目年级学生认定的题目难度学生答题的正确率很难比较难不难四年级8%84%8%52％五年级0％4％96％54％六年级0％3％97％84.3％7从上面的表一可知，四、五年级的学生认为这个几何题有趣的程度远远超过了六年级的学生。我们在对四年级学生的个别访谈中发现，学生认为有趣的主要原因是因为题目有一定的难度，题目有一定的挑战性，如问四年级学生为什么说题目有趣时，一个学生说：“这个题可以考考我们的智商，而且还可以看看我们的眼力好不好。”另一个学生的回答是：“就是它上面有很多线段，让我们找有几条线段，多的话，有点眼花缭乱，那么找起来就很好玩的。”联系表一和表二可以看出，100％的四年级学生认为这个题目比较有趣或者很有趣，认为这个题目比较难或很难的学生占了92％。所以，笔者认为，这个几何题比较适合四年级（11岁）的学生进行学习。一方面多数学生觉得比较有趣，觉得有一定的难度，另一方面又有52%的学生运用不同的策略解决了这个问题，如果我们在教学中，让学生在独立解决问题的基础上，进行讨论与交流，那么学生就能相互启发，从而促进他们较大的发展。我们在对六年级学生的个别访谈中发现，六年级的学生（特别是数学能力比较强的学生）基本上都认为这个题目“没有趣”，问他们为什么说这个题目没有趣时，回答都是“题目太容易”，有些学生还说，这个题目对于二、三年级的同学可能会比较有趣。由此我们是否可以认为，对小学生来说，一个题目的有趣程度与这个题目的难度，与题目的挑战性有很大的关系，对数学能力比较强的学生来说，当题目有一定的难度，具有一定的挑战性时，他们会认为题目比较有趣，从这个意义上说，这部分学生更愿意“爬坡”，而不愿意“走平路”。从上面的表二可知，对于五、六年级的学生来说，没有学生认为这个题目很难，认为比较难的学生也分别只有4％和3％，换句话说，五、六年级的学生几乎都认为这个题目是容易的，但实际答题8的正确率五年级却只有54％，六年级也只有84.3％，由此我们是否可以认为，对这样的开放性问题，由于学生在解题时比较容易入手，很容易找到几条线段，所以学生会认为题目比较容易。但他们没有比较清晰的认识到题目的要求是要找出所有的线段，事实上，如果不是有序的去思考这个问题，要想把所有的线段都找出来是有一定的难度的。从这个意义上说，这个年龄阶段的学生对于解决这个几何问题尚处于不知“天高地厚”的阶段。四、对小学数学教学的启示从上面这个几何题的测试和分析中，我们可以得到对小学数学教学的几点启示：1、小学数学教学内容的选择要适合学生的年龄特征，选择的数学问题要具有挑战性，以激发学生学习数学的兴趣。2、小学生解决数学问题的策略具有多样性，无论是思考问题的顺序，还是表现的形式都具有极强的个性。小学数学教育要提倡解决问题策略的多样化。要存认学生的差异，尊重学生的个性，促进每一个学生在原来的基础上发展。3、要重视学生有序的考虑问题和解决问题的能力的培养。4、在教学中适度地引进开放题，对培养学生学习数学的兴趣将有一定的帮助。五、讨论的问题1、为什么部分学生不能按照他们选定的规律找出所有的线段？为什么出现有重复线段的学生数比有遗漏线段的学生数要多？从上面的结论中可知，对四、五级的学生来说，分别有48％和46％的学生不能正确的解答这个几何题，笔者对这部分学生的试卷作了分析后发现：有许多学生在开始呈现答案时，表现出很强的规律性，如不能完整解答此题的五年级学生中，有45％的学生开始呈9现答案时表现出“顺序”型的结构，但这部分学生不能一直按这一规律写出所有答案。常常在最后出现重复或者遗漏。四、五、六年级的学生在数线段时有遗漏（少数线段）的学生比例分别是18％，18％和7.8％。数出的线段有重复（多数线段）的人数比例四、五、六年级学生分别是30％、28％和7.9％。重复数线段的学生数明显地比少数线段的学生数要多。为什么部分学生不能按照他们选定的规律找出所有的线段？为什么出现有重复的学生数比有遗漏线段的学生数要多？这些问题都需要作进一步的研究。笔者认为，产生这种现象可能与这部分学生的短时记忆能力有关，也可能与学生对这一种数学模型掌握的牢固程度有关。如果短时记忆的能力比较弱，那么在找线段的过程中，就可能“忘记”了原来的规律；如果对具备某种规律的数学模型掌握得不够牢固，也可能在找线段的过程中，模糊了这种结构，从而产生了重复或者遗漏的现象。又由于学生在直觉上可能会感觉到这个图形中线段很多，从而他们可能会认为找出的线段“少写”还不如“多写”。你认为这样的分析有道理吗？谈谈你对这个问题的看法。2、从上面学生解答的正确率中可知，四年级学生答题的正确率是52％，五年级学生答题的正确率只增加了2％，即只有54％。而六年级学生答题的正确率有84.3％，为什么四到五年级增加幅度只有2％，而五到六年级增加的幅度达到了30.3％？3、在上文中笔者认为，这个问题让四年级的学生学习比较合适。你认为给出这个结论有道理吗？这个问题你认为适合五年级的学生学习吗？谈谈你的看法。104、从上文可知有一部分四、五、六年级的学生不能找出图中的所有线段，如果你试图让这部分学生也能找出所有的线段，你准备怎样组织教学？谈谈你组织教学的方案和制定方案的依据。5、学生能够解决这个几何问题他们主要是运用了什么数学能力？这些数学能力与我们平时的课堂教学有什么关系？6、下面是一个四年级学生用画图的方法解决这个问题的记录，请你分析这个学生的思维特点，分析不能找出所有线段的原因。7、下面是一个六年级的学生解决这个几何问题的过程。请你分析这个学生的解题策略，你认为这个学生的解题有什么特别的地方？___________________________________________________主要参考资料：《数学教育实验与教育评价概论》孙瑞清等编著，北京师范大学出版社出版。