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第五章机械能返回导航一、动能1．公式：Ek=________，式中v为瞬时速度．2．特征(1)动能是状态量，且为标量，只有正值，动能与速度的方向______；(2)动能具有相对性，其数值与参考系的选取有关，一般以地面为参考系．无关返回导航二、动能定理内容：力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中_____________表达式：W＝Ek2－Ek1＝12mv22－12mv21适用条件：(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于______运动(2)既适用于恒力做功，也适用于______做功(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以不同时作用．动能的变化曲线变力返回导航1.(多选)关于动能定理的表达式W＝Ek2－Ek1，下列说法正确的是()A．公式中的W为不包含重力的其他力做的总功B．公式中的W为包含重力在内的所有力做的功C．公式中的Ek2－Ek1为动能的增加量，当W＞0时动能增加，当W＜0时，动能减少D．动能定理适用于直线运动，不适用于曲线运动，适用于恒力做功，不适用于变力做功返回导航BC解析：公式W＝Ek2－Ek1中的“W”为所有力所做的总功；若W＞0，则Ek2＞Ek1，若W＜0，则Ek2＜Ek1；动能定理对直线运动、曲线运动、恒力做功、变力做功均适用．返回导航2．一个质量为0.3kg的弹性小球，在光滑水平面上以6m/s的速度垂直撞到墙上，碰撞后小球沿相反方向运动，反弹后的速度大小与碰撞前相同，则碰撞前后小球速度变化量的大小Δv和碰撞过程中小球的动能变化量ΔEk为()A．Δv＝0B．Δv＝12m/sC．ΔEk＝1.8JD．ΔEk＝10.8JB解析：取初速度方向为正方向，则变化量Δv＝(－6－6)m/s＝－12m/s，其大小为12m/s，由于速度大小没变，动能不变，故动能变化量为0.返回导航3．(2017中山模拟)(多选)质量为m的物体在水平力F的作用下由静止开始在光滑地面上运动，前进一段距离之后速度大小为v，再前进一段距离使物体的速度为2v，则()A．第二过程的速度增加量等于第一过程的速度增加量B．第二过程的动能增加量是第一过程动能增加量的3倍C．第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做的功D．第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做功的2倍AB解析：由题意知，两个过程中速度增加量均为v；由动能定理知W1＝12mv2，W2＝12m(2v)2－12mv2＝32mv2.返回导航考点一动能定理的理解1．动能定理表明了“三个关系”(1)数量关系：合外力做的功与物体动能的变化具有等量代换关系，但并不是说动能变化就是合外力做的功．(2)因果关系：合外力做功是引起物体动能变化的原因．(3)量纲关系：单位相同，国际单位都是焦耳．2．标量性动能是标量，功也是标量，所以动能定理是一个标量式，不存在方向的选取问题．当然动能定理也就不存在分量的表达式．返回导航【例1】(多选)如图所示，一块长木板B放在光滑的水平面上，在B上放一物体A，现以恒定的外力拉B，由于A、B间摩擦力的作用，A将在B上滑动，以地面为参考系，A、B都向前移动一段距离．在此过程中()A．外力F做的功等于A和B动能的增量B．B对A的摩擦力所做的功等于A的动能的增量C．A对B的摩擦力所做的功等于B对A的摩擦力所做的功D．外力F对B做的功等于B的动能的增量与B克服摩擦力所做的功之和返回导航BD解析：A物体所受的合外力等于B对A的摩擦力，对A物体运用动能定理，则有B对A的摩擦力所做的功等于A的动能的增量，B正确．A对B的摩擦力与B对A的摩擦力是一对作用力与反作用力，大小相等，方向相反，但是由于A在B上滑动，A、B相对地的位移不相等，故二者做功不相等，C错误．对B应用动能定理WF－Wf＝ΔEkB，WF＝ΔEkB＋Wf，即外力F对B做的功等于B的动能的增量与B克服摩擦力所做的功之和，D正确．根据功能关系可知，外力F做的功等于A和B动能的增量与产生的内能之和，故A错误．返回导航【变式1】(多选)如图所示，电梯质量为M，在它的水平地板上放置一质量为m的物体．电梯在钢索的拉力作用下竖直向上加速运动，当电梯的速度由v1增加到v2时，上升高度为H，则在这个过程中，下列说法或表达式正确的是()A．对物体，动能定理的表达式为WN＝12mv22，其中WN为支持力的功B．对物体，动能定理的表达式为W合＝0，其中W合为合力的功返回导航C．对物体，动能定理的表达式为WN－mgH＝12mv22－12mv21，其中WN为支持力的功D．对电梯，其所受合力做功为12Mv22－12Mv21CD解析：电梯上升的过程中，对物体做功的有重力mg、支持力FN，这两个力的总功才等于物体动能的增量ΔEk＝12mv22－12mv21，故A、B错误，C正确；对电梯，无论有几个力对它做功，由动能定理可知，其合力的功一定等于其动能的增量，故D正确．返回导航考点二动能定理的应用1．应用流程返回导航2．注意事项(1)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系．(2)应用动能定理的关键在于准确分析研究对象的受力情况及运动情况，可以画出运动过程的草图，借助草图理解物理过程之间的关系．(3)当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；也可以全过程应用动能定理．(4)列动能定理方程时，必须明确各力做功的正、负，确实难以判断的先假定为正功，最后根据结果加以检验．返回导航【例2】(多选)(2016·全国卷Ⅲ·20)如图所示，一固定容器的内壁是半径为R的半球面；在半球面水平直径的一端有一质量为m的质点P.它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为W.重力加速度大小为g.设质点P在最低点时，向心加速度的大小为a，容器对它的支持力大小为N，则()A．a＝2（mgR－W）mRB．a＝2mgR－WmRC．N＝3mgR－2WRD．N＝2（mgR－W）R返回导航AC解析：质点P下滑过程中，重力和摩擦力做功，根据动能定理可得mgR－W＝12mv2，根据公式a＝v2R，联立可得a＝2（mgR－W）mR，A正确，B错误；在最低点重力和支持力的合力充当向心力，根据牛顿第二定律可得，N－mg＝ma，代入可得，N＝3mgR－2WR，C正确，D错误．返回导航【例3】(2017·上海单科·19)如图所示，与水平面夹角θ＝37°的斜面和半径R＝0.4m的光滑圆轨道相切于B点，且固定于竖直平面内．滑块从斜面上的A点由静止释放，经B点后沿圆轨道运动，通过最高点C时轨道对滑块的弹力为零．已知滑块与斜面间动摩擦因数μ＝0.25.(g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)求：(1)滑块在C点的速度大小vC；(2)滑块在B点的速度大小vB；(3)A、B两点间的高度差h.返回导航解析：(1)对C点，滑块竖直方向所受合力提供向心力mg＝mv2CRvC＝gR＝2m/s(2)对B→C过程，由动能定理得－mgR(1＋cos37°)＝12mv2c－12mv2v2B＝v2C＋2gR（1－cos37°）≈4.29m/s返回导航(3)滑块在A→B的过程，由动能定理得mgh－μmgcos37°·hsin37°＝12mv2B－0代入数据解得h≈1.38m答案：(1)2m/s(2)4.29m/s(3)1.38m返回导航【变式2】(2016·天津理综·10)我国将于2022年举办冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一．如图所示，质量m＝60kg的运动员从长直助滑道AB的A处由静止开始以加速度a＝3.6m/s2匀加速滑下，到达助滑道末端B时速度vB＝24m/s，A与B的竖直高度差H＝48m，为了改变运动员的运动方向，在助滑道与起跳台之间用一段弯曲滑道衔接，其中最低点C处附近是一段以O为圆心的圆弧．助滑道末端B与滑道最低点C的高度差h＝5m，运动员在B、C间运动时阻力做功W＝－1530J，取g＝10m/s2.返回导航(1)求运动员在AB段下滑时受到阻力Ff的大小；(2)若运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，则C点所在圆弧的半径R至少应为多大．解析：(1)运动员在AB上做初速度为零的匀加速运动，设AB的长度为x，则有v2B＝2ax①由牛顿第二定律有mgHx－Ff＝ma②联立①②式，代入数据解得Ff＝144N③返回导航(2)设运动员到达C点时的速度为vC，在由B到达C的过程中，由动能定理得mgh＋W＝12mv2B－12mv2B④设运动员在C点所受的支持力为FN，由牛顿第二定律有FN－mg＝mv2CR⑤由题意和牛顿第三定律知FN＝6mg⑥联立④⑤⑥式，代入数据解得R＝12.5m.答案：(1)144N(2)12.5m返回导航考点三动能定理与图象问题的结合1．解决物理图象问题的基本步骤(1)观察题目给出的图象，弄清纵坐标、横坐标所对应的物理量及图线所表示的物理意义．(2)根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式．(3)将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的斜率、截距、图线的交点、图线下的面积所对应的物理意义，分析解答问题，或者利用函数图线上的特定值代入函数关系式求物理量．返回导航2．图象所围“面积”的意义(1)v－t图象：由公式x＝vt可知，v－t图线与坐标轴围成的面积表示物体的位移．(2)a－t图象：由公式Δv＝at可知，a－t图线与坐标轴围成的面积表示物体速度的变化量．(3)F－x图象：由公式W＝Fx可知，F－x图线与坐标轴围成的面积表示力所做的功．(4)P－t图象：由公式W＝Pt可知，P－t图线与坐标轴围成的面积表示力所做的功．返回导航【例4】如图甲所示，在倾角为30°的足够长的光滑斜面AB的A处连接一粗糙水平面OA，OA长为4m．有一质量为m的滑块，从O处由静止开始受一水平向右的力F作用．F只在水平面上按图乙所示的规律变化．滑块与OA间的动摩擦因数μ＝0.25，g取10m/s2，试求：返回导航(1)滑块运动到A处的速度大小；(2)不计滑块在A处的速率变化，滑块冲上斜面AB的长度是多少？返回导航解析：(1)由题图乙知，在前2m内，F1＝2mg，做正功，在第3m内，F2＝－0.5mg，做负功，在第4m内，F3＝0.滑动摩擦力Ff＝－μmg＝－0.25mg，始终做负功，对于滑块在OA上运动的全过程，由动能定理得F1x1＋F2x2＋Ffx＝12mv2A－0代入数据，解得vA＝52m/s.(2)对于滑块冲上斜面的过程，由动能定理得－mgLsin30°＝0－12mv2A答案：(1)52m/s(2)5m返回导航【变式3】(2018·西安质检)静止在粗糙水平面上的物块在水平向右的拉力作用下做直线运动，t＝4s时停下，其v－t图象如图所示，已知物块与水平面间的动摩擦因数处处相同，则下列判断正确的是()A．整个过程中拉力做的功等于物块克服摩擦力做的功B．整个过程中拉力做的功等于零C．t＝2s时刻拉力的瞬时功率在整个过程中最大D．t＝1s到t＝3s这段时间内拉力不做功返回导航A解析：对物块运动全过程应用动能定理得：WF－Wf＝0，故A正确，B错误；物块在加速运动过程中受到的拉力最大，故t＝1s时拉力的瞬时功率为整个过程中拉力功率的最大值，C错误；t＝1s到t＝3s这段时间内，拉力与摩擦力平衡，拉力做正功，D错误．返回导航【变式4】(2018·湖北黄石调研)用传感器研究质量为2kg的物体由静止开始做直线运动的规律时，在计算机上得到0～6s内物体的加速度随时间变化的关系如图所示．下列说法正确的是()A．0～6s内物体先向正方向运动，后向负方向运动B．0～6s内物体在4s时的速度最大C．物体在2～4s时的速度不变D．0～4s内合力对物体做的功等于0～6s内合力对物体做的功返回导航D解析：物体6s末的速度v6＝12×(2＋5)×2m/s－12×1×2m/s＝6m/s，则0～6s内物体一直向正方向运动，A项错误；由题图可知物体在5s末速度最大，为vm＝12×(2＋5)×2m/s＝7m/s，B项错误；由题图可知物体在2～4s内加速度不变，做匀加速直线运动，速度变大，C项错误；在0