2020版高考数学大二轮复习 8.2 不等式选讲课件 理

考点1绝对值不等式的解法1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法(1)c0，则|ax＋b|≤c的解集为－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c的解集为ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a、b的值解出即可．(2)c0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.2．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法解这类含绝对值的不等式的一般步骤：(1)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根；(2)把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间；(3)在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集；(4)这些解集的并集就是原不等式的解集．[例1][2019·全国卷Ⅱ][选修4－5：不等式选讲]已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)0的解集；(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)0，求a的取值范围．【解析】本题主要考查绝对值不等式的求解，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．当x1时，f(x)＝－2(x－1)20；当x≥1时，f(x)≥0.所以，不等式f(x)0的解集为(－∞，1)．(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)0，所以，a的取值范围是[1，＋∞)．解含有绝对值的不等式时，脱去绝对值符号的方法主要有：公式法、分段讨论法、平方法、几何法等．这几种方法应用时各有利弊．在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；但若不等式含有多个绝对值符号，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能施行．因此，我们在去绝对值符号时，用何种方法需视具体情况而定.『对接训练』1．[2019·福建三明一中检测]已知不等式|2x＋3|＋|2x－1|a的解集为M.(1)若a＝6，求集合M；(2)若M≠∅，求实数a的取值范围．解析：(1)当a＝6时，原不等式为|2x＋3|＋|2x－1|6，当x≤－32时，原不等式化为－2x－3＋1－2x6，解得x－2，∴－2x≤－32；当－32x12时，原不等式化为2x＋3＋1－2x6，解得46，∴－32x12；当x≥12时，原不等式化为2x＋3＋2x－16，解得x1，∴12≤x1.综上所述，集合M＝{x|－2x1}．(2)∵M≠∅，∴不等式|2x＋3|＋|2x－1|a恒有解．令f(x)＝|2x＋3|＋|2x－1|，则f(x)＝2|x＋32|＋|x－12|≥4，∴a4，即实数a的取值范围是(4，＋∞)．考点2绝对值不等式的证明1．绝对值三角不等式定理1：若a、b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：设a、b、c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.等号成立⇔(a－b)(b－c)≥0，即b落在a、c之间．推论1：||a|－|b||≤|a＋b|.推论2：||a|－|b||≤|a－b|.2．基本不等式(1)定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．(2)定理2：如果a，b0，那么a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．也可以表述为两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数．[例2][2019·全国卷Ⅰ][选修4－5：不等式选讲]已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.【证明】本题主要考查利用综合法以及基本不等式证明不等式，考查运算求解能力、推理论证能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，且abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝ab＋bc＋caabc＝1a＋1b＋1c.所以1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2.(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥33a＋b3b＋c3a＋c3＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥3×(2ab)×(2bc)×(2ac)＝24.所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.含绝对值不等式的证明主要分两类：一类是比较简单的不等式，可以通过平方法或换元法等去掉绝对值符号转化为常见的不等式的证明，另一类是利用绝对值三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当添加、拆项证明或利用放缩法、综合法分析证明.『对接训练』2．[2019·湖南长沙长郡中学调研]已知函数f(x)＝|x＋2|.(1)解不等式f(x)4－|x＋1|；(2)已知a＋b＝2(a0，b0)，求证：|x－2.5|－f(x)≤4a＋1b.解析：(1)f(x)4－|x＋1|，即|x＋2|＋|x＋1|4，则x－2，－x－2－x－14，得x－3.5；－2≤x1，x＋2－x－14，无解；x≥－1，x＋2＋x＋14，得x0.5.所以原不等式的解集为{x|x－3.5或x0.5}．(2)证明：|x－2.5|－f(x)＝|x－2.5|－|x＋2|≤4.5，4a＋1b＝12(a＋b)4a＋1b＝124＋1＋4ba＋ab≥12(5＋4)＝4.5，所以|x－2.5|－f(x)≤4a＋1b.