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第九章磁场返回导航一、洛伦兹力1．大小(1)v∥B时，洛伦兹力F＝___．(2)v⊥B时，洛伦兹力F＝______．(3)v＝0时，洛伦兹力F＝0.0qvB返回导航2．方向(1)判定方法左手定则：掌心——磁感线垂直穿入掌心；四指——指向_______运动的方向或________运动的反方向；大拇指——指向__________的方向．(2)方向特点F⊥B，F⊥v.即F垂直于B、v决定的______．(注意B和v可以有任意夹角)正电荷负电荷洛伦兹力平面返回导航二、带电粒子在匀强磁场中的运动1．若v∥B，则粒子不受洛伦兹力，在磁场中做__________运动．2．若v⊥B，则带电粒子在匀强磁场中做__________运动．基本公式为qvB＝mv2r.半径公式r＝_____，周期公式T＝_____．匀速直线匀速圆周返回导航考点一洛伦兹力的理解及应用1．洛伦兹力的特点(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷．(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化．(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用．(4)洛伦兹力一定不做功．2．洛伦兹力与安培力的联系及区别(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力．(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功．返回导航3．洛伦兹力与电场力的比较洛伦兹力电场力产生条件v≠0且v不与B平行电荷处在电场中大小F＝qvB(v⊥B)F＝qE力方向与场方向的关系F⊥B，F⊥vF∥E做功情况任何情况下都不做功可能做功，也可能不做功返回导航【例1】(多选)如图所示为一个质量为m、电荷量为＋q的圆环，可在水平放置的粗糙细杆上自由滑动，细杆处在磁感应强度为B的匀强磁场中，圆环以初速度v0向右运动直至处于平衡状态，则圆环克服摩擦力做的功可能为()A．0B.12mv20C.m3g22q2B2D.12m(v20－m2g2q2B2)返回导航ABD解析：若圆环所受洛伦兹力等于重力，圆环对粗糙细杆压力为零，摩擦力为零，圆环克服摩擦力做的功为零，选项A正确；若圆环所受洛伦兹力不等于重力，圆环对粗糙细杆压力不为零，摩擦力不为零，圆环以初速度v0向右做减速运动．若开始圆环所受洛伦兹力小于重力，则一直减速到零，圆环克服摩擦力做的功为12mv20，选项B正确；若开始圆环所受洛伦兹力大于重力，则减速到洛伦兹力等于重力达到稳定，稳定速度v＝mgqB，由动能定理可得圆环克服摩擦力做的功为W＝12mv20－12mv2＝12m(v20－m2g2q2B2)，选项C错误，D正确．返回导航【变式1】(2018杭州第二中学测试)(多选)如图所示，甲是一个带正电的小物块，乙是一个不带电的绝缘物块，甲、乙叠放在一起静置于粗糙的水平地板上，地板上方空间有水平方向的匀强磁场．现用水平恒力拉乙物块，使甲、乙无相对滑动地一起水平向左加速运动，在加速运动阶段()A．乙物块与地板之间的摩擦力不断增大B．甲、乙两物块间的摩擦力不断增大C．甲、乙两物块间的摩擦力大小不变D．甲、乙两物块间的摩擦力不断减小返回导航AD解析：对甲、乙组成的整体进行受力分析，如图(甲)所示，整体所受洛伦兹力F洛随着速度的增大而增大，对水平地板的压力增大，受到的滑动摩擦力Ff增大，因而整体的加速度a＝F－Ff，m越来越小；对甲进行受力分析，如图(乙)所示，物块甲的加速度是由甲、乙间的摩擦力F静产生的，由牛顿第二定律F静＝m甲a可知，a减小，F静减小，甲、乙间的静摩擦力不断减小，选项A，D正确．返回导航【变式2】如图所示，a是竖直平面P上的一点，P前有一条形磁铁垂直于P，且S极朝向a点，P后一电子在偏转线圈和条形磁铁的磁场的共同作用下，在水平面内向右弯曲经过a点．在电子经过a点的瞬间．条形磁铁的磁场对该电子的作用力的方向()A．向上B．向下C．向左D．向右A解析：条形磁铁的磁感线方向在a点为垂直P向外，粒子在条形磁铁的磁场中向右运动，所以根据左手定则可得电子受到的洛伦兹力方向向上，A正确．返回导航考点二带电粒子在匀强磁场中的运动基本思路图例说明圆心的确定①与速度方向垂直的直线过圆心②弦的垂直平分线过圆心③轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心P、M点速度垂线交点P点速度垂线与弦的垂直平分线交点某点的速度垂线与切点法线的交点返回导航半径的确定利用平面几何知识求半径常用解三角形法：例：(左图)R＝Lsinθ或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝L2＋d22d运动时间的确定利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间①t＝θ2πT(1)速度的偏转角φ等于AB︵所对的圆心角θ(2)偏转角φ与弦切角α的关系：φ180°时，φ＝2α；φ180°时，φ＝360°－2α返回导航模型1直线边界磁场直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图所示)图a中t＝T2＝πmBq图b中t＝(1－θπ)T＝(1－θπ)2πmBq＝2m（πθ）Bq图c中t＝θπT＝2θmBq返回导航【例2】质量和电量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如图中虚线所示，下列表述正确的是()A．M带负电，N带正电B．M的速率小于N的速率C．洛伦兹力对M、N做正功D．M的运行时间大于N的运行时间返回导航A解析：由左手定则可知，N粒子带正电，M粒子带负电，A正确．又rNrM，由r＝mvqB可得vNvM，B错误．洛伦兹力与速度时刻垂直，不做功，C错误．粒子在磁场中的运行时间t＝θ2πT＝T2，又T＝2πmqB，所以tM＝tN，D错误．返回导航【变式3】(多选)(2018·山东潍坊实验中学检测)如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向垂直飞入横截面是一正方形的匀强磁场区域，下列判断正确的是()A．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长B．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线不一定重合D．电子的速率不同，它们在磁场中运动时间一定不相同返回导航BC解析：由周期公式T＝2πmqB知，周期与电子的速率无关，所以在磁场中的运动周期相同，由t＝θ2πT知，电子在磁场中运动时间与轨迹对应的圆心角成正比，所以电子在磁场中运动的时间越长，其轨迹线所对应的圆心角θ越大，电子飞入匀强磁场中做匀速圆周运动，由半径公式r＝mvqB知，轨迹半径与速率成正比，则电子的速率越大，在磁场中的运动轨迹半径越大，故A错误，B正确；若它们在磁场中运动时间相同，但轨迹不一定重合，比如：轨迹3、4与5，它们的运动时间相同，但它们的轨迹对应的半径不同，即它们的速率不同，故C正确，D错误．故选BC.返回导航模型2平行边界磁场平行边界存在临界条件(如图所示)返回导航图a中t1＝θmBq，t2＝T2＝πmBq图b中t＝θmBq图c中t＝(1－θν)T＝(1－θπ)2πmBq＝2m（π－θ）Bq图d中t＝θπT＝2θmBq返回导航【例3】如图所示，有界匀强磁场边界线SP∥MN，速率不同的同种带电粒子从S点沿SP方向同时射入磁场，粒子的带电量相同，其中穿过a点的粒子速度v1与MN垂直；穿过b点的粒子速度v2与MN成60°角，设两粒子从S到a、b所需时间分别为t1和t2，则t1∶t2为(重力不计)()A．1∶3B．4∶3C．1∶1D．3∶2D解析：粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，可求出从a点射出的粒子对应的圆心角为90°，从b点射出的粒子对应的圆心角为60°，由t＝θ2π·2πmqB可得t1∶t2＝90°∶60°＝3∶2，D正确．返回导航模型3圆形边界磁场沿径向射入圆形磁场必沿径向射出，运动具有对称性(如图所示)r＝Rtanθt＝θπT＝2θmBqθ＋α＝90°返回导航【例4】(2018·江西吉安一中段考)如图所示是某粒子速度选择器截面的示意图，在一半径为R＝10cm的圆柱形桶内有B＝10－4T的匀强磁场，方向平行于轴线，在圆柱桶某一截面直径的两端开有小孔，作为入射孔和出射孔，粒子束以不同角度入射，最后有不同速度的粒子束射出．现有一粒子源发射比荷为qm＝2×1011C/kg的正粒子，粒子束中速度分布连续，当角θ＝45°时，出射粒子速度v的大小是()A.2×106m/sB．22×106m/sC．22×108m/sD．42×106m/s返回导航B解析：离子从小孔a射入磁场，与ab方向的夹角为α＝45°，则离子从小孔b离开磁场时速度与ab的夹角也为α＝45°，过入射速度和出射速度方向作垂线，得到轨迹的圆心O′，画出轨迹如图，由几何知识得到轨迹所对应的圆心角为：θ＝2α＝90°，设粒子运动的半径为r，则：2r＝2R，由牛顿第二定律得：Bqv＝mv2r，解得：v＝qBrm＝22×106m/s，故选项B正确．返回导航【变式4】(2016·全国卷Ⅱ·18)一圆筒处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图所示．图中直径MN的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度ω顺时针转动．在该截面内，一带电粒子从小孔M射入筒内，射入时的运动方向与MN成30°角．当筒转过90°时，该粒子恰好从小孔N飞出圆筒．不计重力．若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为()A.ω3BB.ω2BC.ωBD.2ωB返回导航A解析：画出粒子的运动轨迹如图所示，由洛伦兹力提供向心力得，qvB＝mv2r，又T＝2πrv，联立得T＝2πmqB由几何知识可得，轨迹的圆心角为θ＝π6，在磁场中运动时间t＝θ2πT，粒子运动和圆筒运动具有等时性，则θ2πT＝π2ω，解得qm＝ω3B，故选项A正确．返回导航模型4三角形边界磁场【例5】如图所示，在边长为2a的正三角形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一个质量为m、电荷量为－q(q0)的带电粒子(重力不计)从AB边的中心O以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB边的夹角为60°，若要使粒子能从AC边穿出磁场，则匀强磁场磁感应强度的大小B需满足()A．B3mv3aqB．B3mv3aqC．B3mvaqD．B3mvaq返回导航B解析：若粒子刚好达到C点时，其运动轨迹与AC相切，如图所示，则粒子运动的半径为r0＝atan30°＝3A.由qvB＝mv2r得r＝mvqB，粒子要能从AC边射出，粒子运行的半径应满足rr0，解得B3mv3aq，选项B正确．返回导航考点三带电粒子在磁场运动的多解问题类型分析图例带电粒子电性不确定受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解如图，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a；如返回导航磁场方向不确定在只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解如图，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b返回导航临界状态不唯一带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，于是形成多解运动具有周期性带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解返回导航【例6】(2017·湖北华中师大一附中模拟)如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示．有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场．已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力．求：返回导航(1)磁感应强度B0的大小．(2)要使正离子从O′垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值．返回导航解析(设垂直于纸面向里的磁场方向为正方向．(1)正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力B0qv0＝mv20R做匀速圆周运动的周期T0＝2πRv0由以上两式得磁感应强度B0＝2πmqT0返回导航(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出