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第二部分高考题型研究03计算题题型研究第10讲电磁感应计算题常考“4题型”电磁感应计算题的3大体系电磁感应是电磁学的核心内容，也是高考压轴题的考查热点．此类压轴题的难点主要体现为综合程度很高，能同时把电磁感应、磁场、电路以及力学中平衡、加速、变力做功、能量等知识交织在一起．其实，只要学会把这类问题分割成磁生电体系、全电路体系和力学体系，然后再把这三大体系有机地融会贯通，破解此类问题就有章可循．磁生电体系是指产生电磁感应的那一部分电路，并要判断是动生电动势还是感生电动势，不同电动势的计算方法不同；全电路体系是指把产生电动势的那一部分电路看作电源(即内电路，电流由负极流向正极)，其余部分是外电路(电流由正极流向负极)；而力学体系是指求解此类问题时通常要用到动力学观点、能量观点和动量观点等知识．【例1】如图3—10—1所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，导轨电阻不计，间距L＝0.4m．导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为MN，Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度均为B＝0.5T．在区域Ⅰ中，将质量m1＝0.1kg、电阻R1＝0.1Ω的金属条ab放在导轨上，ab刚好不下滑．然后，在区域Ⅱ中将质量m2＝0.4kg、电阻R2＝0.1Ω的光滑导体棒cd置于导轨上，由静止开始下滑，cd在滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中，ab、cd始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取g＝10m/s2，问：图3—10—1(1)cd下滑的过程中，ab中的电流方向．(2)ab刚要向上滑动时，cd的速度v有多大？(3)从cd开始下滑到ab刚要向上滑动的过程中，cd滑动的距离x＝3.8m，此过程中ab上产生的热量Q是多少？【解析】(1)由右手定则可以直接判断出电流的方向为由a流向b.(2)开始放置ab刚好不下滑时，ab所受摩擦力为最大静摩擦力，设其为Fmax，有Fmax＝m1gsinθ①设ab刚好要上滑时，cd棒的感应电动势为E，由法拉第电磁感应定律有E＝BLv②设电路中的感应电流为I，由闭合电路欧姆定律有I＝ER1＋R2③设ab所受安培力为F安，有F安＝ILB④此时ab受到的最大静摩擦力方向沿斜面向下，由平衡条件有F安＝m1gsinθ＋Fmax⑤综合①②③④⑤式，代入数据解得v＝5m/s.⑥(3)设cd棒运动过程中电路产生的总热量为Q总，由能量守恒定律有m2gxsinθ＝Q总＋12m2v2⑦又：Q＝R1R1＋R2Q总⑧解得Q＝1.3J.【答案】(1)由a流向b(2)5m/s(3)1.3J☞归纳总结解决电磁感应类计算题需要灵活运用这三大体系，特别是磁生电体系和力学体系．因为磁生电需要区分感生电动势和动生电动势，感生电动势注意判断有效面积，而产生动生电动势的物理情景更是千变万化，如单棒平动切割、单棒转动切割、双棒平动切割、线框(部分)平动切割和线框转动切割(产生交流电)等；力学体系也是包罗万象，如有关最大或最小速度时的平衡问题，有关最大加速度的瞬时问题，与内能、电能功率等有关的能量问题，和时间、电量、初末速度等有关的动量问题等，都需要细致分析、灵活运用．电磁感应计算题的4大题型题型一磁场变化类问题【例2】如图甲所示，平行长直导轨MN、PQ水平放置，两导轨间距L＝0.5m，导轨左端M、P间接有一阻值R＝0.2Ω的定值电阻，导体棒ab的质量m＝0.1kg，与导轨间的动摩擦因数μ＝0.1，导体棒垂直于导轨放在距离左端为d＝1.0m处，导轨和导体棒始终接触良好，电阻均忽略不计．整个装置处在范围足够大的匀强磁场中，t＝0时刻，磁场方向竖直向下，此后，磁感应强度B随时间t的变化如图乙所示，不计感应电流磁场的影响．重力加速度g取10m/s2.图3—10—2(1)求t＝0时导体棒所受到的安培力F0.(2)分析前3s时间内导体棒的运动情况并求前3s内棒所受的摩擦力Ff随时间t变化的关系式．(3)若t＝3s时，突然使ab棒获得向右的速度v0＝8m/s，同时垂直棒施加一方向水平、大小可变化的外力F，使棒的加速度大小恒为a＝4m/s2、方向向左．求从t＝3s到t＝4s的时间内通过电阻的电荷量q.【解析】(1)t＝0时棒的速度为零，故回路中只有感生电动势，为E＝ΔΦΔt＝ΔBΔtLd＝0.1×0.5×1.0V＝0.05V感应电流为I＝ER＝0.050.2A＝0.25A导体棒所受到的安培力F0＝B0IL＝0.025N.(2)导体棒与导轨间的最大静摩擦力：Ffm＝μmg＝0.1×0.1×10N＝0.1NF0＝0.025N所以在t＝0时刻导体棒静止不动，加速度为零，在0～3s内磁感应强度B都小于B0，导体棒所受的安培力都小于最大静摩擦力，故前3s内导体棒静止不动，电流恒为I＝0.25A在0～3s内，磁感应强度为B＝B0－kt＝0.2－0.1t(T)因导体棒静止不动，ab棒在水平方向受安培力和摩擦力，二力平衡，则有：Ff＝BIL＝(B0－kt)IL＝(0.2－0.1t)×0.25×0.5＝0.0125(2－t)(N)(t3s)．(3)3～4s内磁感应强度大小恒为B2＝0.1T，ab棒做匀变速直线运动，Δt1＝4s－3s＝1s设t＝4s时导体棒的速度为v，第4s内的位移为x，则：v＝v0－aΔt1＝4m/s，x＝v0＋v2Δt1＝6m在这段时间内的平均感应电动势为E＝ΔΦΔt1通过电阻的电荷量为q＝IΔt1＝ERΔt1＝B2LxR＝1.5C.【答案】(1)0.025N(2)前3s内导体棒静止Ff＝0.0125(2－t)(N)(t3s)(3)1.5C☞归纳总结对于由磁感应强度B随时间t变化产生感生电动势的问题，其电源为垂直于磁场的电路的所有区域，而导体棒切割产生动生电动势的问题，其电源为切割磁感线的导体棒部分．【例3】如图3－10－3甲，在圆柱形区域内存在一方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在此区域内，沿水平面固定一半径为r的圆环形光滑细玻璃管，环心O在区域中心．一质量为m、带电荷量为q(q0)的小球，在管内沿逆时针方向(从上向下看)做圆周运动．已知磁感应强度大小B随时间t的变化关系如图乙所示，其中T0＝2πmqB0.设小球在运动过程中电荷量保持不变，对原磁场的影响可忽略．图3—10—3(1)在t＝0到t＝T0这段时间内，小球不受细管侧壁的作用力，求小球的速度大小v0.(2)在竖直向下的磁感应强度增大过程中，将产生涡旋电场，其电场线是在水平面内一系列沿逆时针方向的同心圆，同一条电场线上各点的场强大小相等．试求t＝T0到t＝1.5T0这段时间内：①细管内涡旋电场的场强大小E；②电场力对小球做的功W.【解析】(1)0～T0过程，小球做圆周运动不受细管侧壁的作用力，则洛伦兹力提供向心力，有qv0B0＝mv02r解得v0＝qB0rm.(2)①T0～1.5T0过程，读取图象信息知ΔBΔt＝2B0T0细管内一周的感应电动势为E感＝πr2ΔBΔt＝2B0πr2T0细管内的场强为E＝E感2πrT0＝2πmB0q，联立解得E＝qB02r2πm.②读取图象信息知，该过程时间为Δt＝0.5T0由牛顿第二定律得，小球沿切线方向的加速度大小为a＝Eqm小球运动的末速度大小v＝v0＋aΔt联立解得v＝32v0＝3qB0r2m由动能定理，电场力做功为W＝12mv2－12mv02解得W＝58mv02＝5q2B02r28m.【答案】(1)qB0rm(2)①qB02r2πm②5q2B02r28m题型二单杆切割类问题【例4】(2019年濮阳一模)如图3—10—4所示，光滑的水平平行金属导轨间距为L，导轨电阻忽略不计．空间存在垂直于导轨平面竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B.轻质导体棒ab垂直导轨放置，导体棒ab的电阻为r，与导轨之间接触良好．两导轨之间接有定值电阻，其阻值为R，轻质导体棒中间系一轻细线，细线通过定滑轮悬挂质量为m的物体，现从静止释放该物体，当物体速度达到最大时，下落的高度为h.在本问题情景中，物体下落过程中不着地，导轨足够长，忽略空气阻力和一切摩擦阻力，重力加速度为g.求：图3—10—4(1)物体下落过程的最大速度vm；(2)物体从静止开始下落至速度达到最大的过程中，电阻R上产生的电热Q；(3)物体从静止开始下落至速度达到最大时，所需的时间t.【解析】(1)在物体加速下落过程中，加速度逐渐减小，当加速度为0时，下落速度达到最大．对物体，由平衡条件可得mg＝F安对导体棒F安＝BIL对导体棒与导轨、电阻R组成的回路，根据闭合电路欧姆定律得I＝ER＋r根据法拉第电磁感应定律得E＝BLvm联立解得vm＝mg（R＋r）B2L2(2)在物体下落过程中，物体重力势能减少，动能增加，系统产生的电热增加，根据能量守恒定律可得mgh＝12mvm2＋Q总在此过程中任一时刻通过R和r两部分电阻的电流相等，所以R与r两部分电阻产生的电热正比于电阻，则QQ总＝RR＋r联立解得Q＝mghRR＋r－m3g2R（R＋r）2B4L4.(3)在系统加速过程中，任一时刻速度设为v，取一段时间微元Δt，轻质导体棒质量不计，由牛顿第二定律可得FT－B2L2vR＋r＝0对物体下落过程应用动量定理可得(mg－FT)Δt＝mΔv整理可得mgΔt－B2L2vR＋rΔt＝mΔv，即mgΔt－B2L2R＋rΔx＝mΔv全过程叠加求和mgt－B2L2R＋rh＝mvm联立解得t＝m（R＋r）B2L2＋B2L2hmg（R＋r）.【答案】(1)mg（R＋r）B2L2(2)mghRR＋r－m3g2R（R＋r）2B4L4(3)m（R＋r）B2L2＋B2L2hmg（R＋r）☞归纳总结(1)单杆切割磁感线产生动生电动势，相当于回路中的电源．(2)导体杆运动时系统克服安培力所做的功转化为回路中的焦耳热，注意电阻R上的电热与总焦耳热的大小关系．(3)单杆做非匀变速直线运动的问题求运动时间时，要考虑应用动量定理解决．【例5】(2019年山师大附中一模)如图3－10－5甲，MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ＝37°角固定，M、P之间接电阻箱R，导轨所在空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B＝1T．质量为m的金属杆ab水平放置在轨道上，其接入电路的电阻值为r.现从静止释放杆ab，测得最大速度为vm.改变电阻箱的阻值R，得到vm与R的关系如图乙所示．已知轨距为L＝2m，重力加速度g取10m/s2，轨道足够长且电阻不计．求：图3—10—5(1)杆ab下滑过程中感应电流的方向及R＝0时最大感应电动势E的大小；(2)金属杆的质量m和阻值r；(3)当R＝1Ω时，求回路瞬时电功率每增加1W的过程中合外力对杆做的功W.【解析】(1)根据右手定则，杆中电流方向从b→a(或aMPba)，由题图乙可知，当R＝0时，杆最终以v′＝2m/s匀速运动，产生电动势E＝BLv′，E＝4V.(2)设最大速度为v，杆切割磁感线产生的感应电动势E＝BLv，由闭合电路的欧姆定律：I＝ER＋r，杆达到最大速度时满足mgsinθ－BIL＝0，解得v＝mgsinθB2L2R＋mgsinθB2L2r.由题图乙可知：斜率为k＝4－22m/(s·Ω)＝1m/(s·Ω)，纵截距为v0＝2m/s，得到：mgsinθB2L2r＝v0，mgsinθB2L2＝k，解得：m＝23kg，r＝2Ω.(3)由题意：E＝BLv，P＝E2R＋r得P＝B2L2v2R＋r，ΔP＝B2L2v22R＋r－B2L2v12R＋r由动能定理得W＝12mv22－12mv12，W＝m（R＋r）2B2L2ΔP，代入数据解得W＝0.25J.【答案】(1)方向从b→a(或aMPba)4V(2)23kg2Ω(3)0.25J题型三双杆切割类问题【例6】如图3—10—6所示，足够长的水平轨道左侧b1b2～c1c2部分轨道间距为2L，右侧c1c2～d1d2部分的轨道间距为L，曲线轨道与水平轨道相切于b1b2，所有轨道均光滑且电阻不计．在水平轨道内有斜向下与竖直方向成θ＝37°的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.1T．质量为M＝0.2kg的金属棒B垂