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第二部分高考题型研究03计算题题型研究第8讲能量与动量综合计算题常考“4模型”高考将动量定理和动量守恒定律由选考改为必考后，将动量问题与能量问题结合起来，联系生活中的情景，形成一类难度较大的综合计算题．通过对这类问题的分析，可以归纳为四种模型，相关的动量与能量的综合计算题几乎都是由这四种当中的某一类或者几类合成起来的，具体解题过程中只要能够找出问题的最根本的模型就可快速、准确地解决问题．一、“穿到不能再穿”模型【例1】如图3—8—1所示，光滑水平面上质量为M的木块在水平面上处于静止状态，有一质量为m的子弹以水平速度v0击中木块并与其一起运动，求系统所产生的内能？图3—8—1【解析】取子弹和木块为参考系．由于地面光滑，故系统的动量守恒．取向右为正方向．根据动量守恒定律有：mv0＝(M＋m)v根据能量守恒定律有：Q＝12mv02－12(M＋m)v2联立解得：Q＝Mmv022（M＋m）即子弹在进入木块的过程中系统产生的内能为Mmv022（M＋m）【答案】Mmv022（M＋m）☞归纳总结这种子弹穿入木块最后达到两者相对静止的状态，我们总结为“穿到不能再穿”的模型．子弹打击木块的时间非常短，假如没有“光滑水平面”的条件，子弹穿入木块的过程也可以认为系统的动量守恒，也可以应用动量守恒定律进行求解．【例2】长为L、质量为M的木块在粗糙的水平面上处于静止状态，有一质量为m的子弹(可视为质点)以水平速度v0击中木块并恰好未穿出．设子弹射入木块过程时间极短，子弹受到木块的阻力恒定，木块运动的最大距离为s，重力加速度为g，求：图3—8—2(1)木块与水平面间的动摩擦因数μ；(2)子弹在进入木块过程中产生多少热量．【解析】(1)子弹射入木块的过程是“穿到不能再穿”的过程，该过程中木块受到地面阻力作用，但作用时间极短，子弹穿木块的过程系统动量近似守恒，可得：mv0＝(M＋m)v共，当子弹与木块共速到最终停止的过程中，由功能关系得：12(M＋m)v共2＝μ(M＋m)gs，解得μ＝m2v022gs（M＋m）2.(2)子弹射入木块过程极短时间内，设产生的热量为Q，由功能关系得：Q＝12mv02－12(M＋m)v共2，解得Q＝Mmv022（M＋m）.【答案】(1)m2v022gs（M＋m）2(2)Mmv022（M＋m）二、“滑到不能再滑”模型【例3】如图3—8—3所示，质量为M的长木板A在光滑水平面上，以大小为v0的速度向左运动，一质量为m的小木块B(可视为质点)，以大小也为v0的速度水平向右运动冲上木板左端，B、A间动摩擦因数为μ，最后B不会滑离A.已知M＝2m，重力加速度为g.求：图3—8—3(1)A、B最后的速度；(2)木板A的最短长度．【解析】(1)小木块B在放于光滑水平面上的长木板A上滑动且最终不会滑离A，该过程是“滑到不能再滑”的过程，设A、B最后具有共同速度v.以向左为正方向．由动量守恒定律得：Mv0－mv0＝(M＋m)v将M＝2m代入解得：v＝v03，方向向左．(2)设木板A的最短长度为L，此时B恰好不滑离A，根据能量守恒定律得：12Mv02＋12mv02＝12(M＋m)v2＋μmgL解得：L＝4v023μg.【答案】(1)v03方向向左(2)4v023μg三、“压到不能再压”模型【例4】如图3—8—4所示，光滑水平面上有质量分别为m1、m2的A、B两物体．静止物体B左侧固定一处于原长的轻弹簧，物体A以初速度v0水平向右运动，接触弹簧以后将压缩弹簧，求在压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能．图3—8—4【解析】A、B和弹簧为研究系统．由于地面光滑，故系统的动量守恒．A运动一段时间后与弹簧接触，弹簧对A有向左的力，故A减速，弹簧对B有向右的力，故B加速．总有一个时刻A的速度和B的速度相等，即A、B有共同速度，此时刻两者相距最近．此时的弹簧压缩量最大，弹性势能最大．取向右为正方向．根据动量守恒定律有：m1v0＝(m1＋m2)v系统减少的动能转化为弹簧的弹性势能．根据能量守恒定律有：Epmax＝12m1v02－12(m1＋m2)v2联立解得：Epmax＝m1m2v022（m1＋m2）.【答案】m1m2v022（m1＋m2）☞归纳总结这个模型中，由于开始A的速度大于B的速度，两者距离逐渐减小，弹簧弹性势能增大，当A的速度小于B的速度时两者之间的距离增大，弹簧弹性势能减小；A、B间距离最小，也就是压到不能再压的时候，弹簧的弹性势能最大，这就是“压到不能再压”模型．对于这个模型，假如说A与弹簧接触后就被粘连，那么可以让我们同学分析，A接触弹簧之后由A、弹簧、B组成系统的运动的情况，以及能量和动量的变化的情况．【例5】如图3—8—5所示，质量M＝3kg的平板小车静止在光滑的水平地面上，小车左端放一质量为m＝1kg的木块，木块与小车之间的动摩擦因数μ＝0.3.车的右端固定一个轻质弹簧，弹簧的劲度系数k＝600N/m，原长为10cm.现给木块一个水平向右的速度v0＝4m/s，木块便沿小车上表面向右滑行，在与弹簧相碰后又沿原路返回，并且恰好能到达小车的左端，试求：图3—8—5(1)弹簧被压缩到最短时平板小车的动量大小；(2)小车速度最大时，木块离小车右端的距离；(3)弹簧获得的最大弹性势能．【解析】(1)木块获得水平向右的速度v0向右滑动，直到压缩弹簧最短的过程是“压到不能再压”的过程，因地面光滑，木块和小车组成的系统动量守恒：设弹簧最短时木块和小车的共同速度为v由动量守恒定律可得：mv0＝(m＋M)v解得v＝1m/s此时小车的动量p＝Mv＝3kg·m/s.(2)弹簧最短时，弹簧对小车的弹力大于木块对小车的摩擦力，小车此后一段时间继续加速，直到kx＝μmg解得x＝0.5cm此时木块离小车右端的距离l1＝l0－x＝9.5cm.(3)弹性势能最大时小车与木块共速，弹簧最短，应用能量守恒定律可得：12mv02－12(m＋M)v2＝Ep＋μmg(l－l2)式中l2为弹簧最短状态对应的长度，l为小车的长度．从木块获得速度v0到最终停在小车最左端的过程属于“滑到不能再滑”的过程，由系统动量守恒可得：mv0＝(m＋M)v′解得：v′＝v＝1m/s由系统能量守恒可得：12mv02－12(m＋M)v′2＝2μmg(l－l2)解得Ep＝μmg(l－l2)＝3J.【答案】(1)3kg·m/s(2)9.5cm(3)3J四、“升到不能再升”模型【例6】如图3—8—6所示，质量为M的带有圆弧曲面的小车静止在光滑水平面上，另有一质量为m的小球以水平速度v0冲上小车的曲面．求m能够在小车的曲面上上升的最大高度．图3—8—6【解析】对m和M整个系统而言，m在曲面向上运动的过程中，M也同时向右运动．由于水平地面是光滑的，系统在水平方向上动量守恒．从运动过程可以知道当小球在竖直方向上的分速度等于零时，小球到达最大高度，此时小球和小车具有共同的速度．取向右为正方向．根据动量守恒定律可知：mv0＝(M＋m)v系统减少的动能转化为小球上升过程中所增加的重力势能．根据能量守恒定律可知：mgh＝12mv02－12(M＋m)v2联立解得：h＝Mv022g（M＋m）【答案】Mv022g（M＋m）☞归纳总结这个模型中，小球在上升的过程中，最后竖直方向上的分速度变为零，也就是说在竖直方向能够上升的高度达到最大，我们称之为“升到不能再升”模型．对于此类模型往往系统的总动量并不守恒，但是在某一个方向上的动量确是守恒的，此时我们就要利用这个方向上的动量守恒解决问题．【例7】如图3—8—7所示，质量为m2的小环穿在光滑水平细杆上．小环通过不可伸长的细线悬挂着质量为m1的木块．m1和m2处于静止状态．质量为m0的子弹以初速度v0水平射入木块并留在其中，求木块能够上升的最大高度．图3—8—7【解析】这个问题涉及两个过程，分别对应两种模型．过程一是“穿到不能再穿”的过程．这个过程中研究对象取m0和m1.由于作用时间非常短，两者之间产生很大的内力，故子弹和木块的动量守恒．取子弹初速度的方向为正方向，设子弹射入木块后木块和子弹的速度为v1，根据动量守恒定律有：m0v0＝(m0＋m1)v1过程二是“升到不能再升”的过程．这个过程中研究对象是子弹、木块和小环．这个系统的总动量不守恒，但是水平方向上动量守恒．当木块上升到最高点时，小环和木块有共同的速度．取向右为正方向．根据动量守恒定律有：(m0＋m1)v1＝(m0＋m1＋m2)v2在木块上升过程中，子弹和木块的重力势能增加，系统的动能减小转化为重力势能根据能量守恒定律有：(m0＋m1)gh＝12(m0＋m1)v12－12(m0＋m1＋m2)v22联立解得：h＝m2m02v022g（m0＋m1）2（m0＋m1＋m2）.【答案】m2m02v022g（m0＋m1）2（m0＋m1＋m2）