2020版高考数学一轮复习 小专题串方法（一）课件 文 新人教A版

第二篇函数、导数及其应用(必修1、选修1-2)返回导航小专题串方法(一)求最值常用的方法最值是高中数学中广泛存在的一类问题，也是高考的热点问题，下面介绍求最值的常用方法．返回导航函数方法类型1.利用已知函数性质(2017内蒙古包头二模)函数y＝cos2x＋2cosx的最小值是________．思路点拨：利用余弦倍角公式和换元法转化为二次函数在闭区间上的最值．返回导航解析：y＝cos2x＋2cosx＝2cos2x＋2cosx－1＝2(cosx＋12)2－32≥－32，当且仅当cosx＝－12时取得最小值．答案：－32返回导航【方法总结】根据已知函数解析式，直接利用已知的基本初等函数的性质(最值、单调性、奇偶性等)是函数方法的主要类型之一．返回导航类型2.建立函数模型在△ABC中，点D满足BD→＝34BC→，当E点在线段AD上移动时，若AE→＝λAB→＋μAC→，则t＝(λ－1)2＋μ2的最小值是()(A)31010(B)824(C)910(D)418思路点拨：根据E点在线段AD上移动，利用共线向量定理设出变量x，建立求解目标关于x的函数关系后利用函数性质求解．返回导航解析：设AE→＝xAD→(0≤x≤1)，因为AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋34BC→＝AB→＋34(AC→－AB→)＝14AB→＋34AC→，所以AE→＝14xAB→＋34xAC→，又AE→＝λAB→＋μAC→，且AB→，AC→不共线，返回导航所以λ＝14x，μ＝34x，所以t＝(λ－1)2＋μ2＝(14x－1)2＋(34x)2＝18(5x2－4x＋8)，上述二次函数在x＝25时取得最小值910.故选C.返回导航【方法总结】很多最值问题需要先建立函数模型，然后再使用函数性质求解．建立函数模型的关键是找到一个变量，利用该变量表达求解目标，变量可以是实数，也可以是一个角度(如果使用弧度制实际上也可以看作一个实数)，还可以是一个变量不等式等，建立函数模型需要注意建立的函数模型的定义域．返回导航等式法类型1.建立求解目标的不等式(2017江西模拟)某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积()返回导航(A)有最小值2(B)有最大值2(C)有最大值6(D)有最大值4返回导航思路点拨：首先根据三视图确定几何体的结构特征和数量特征，合理利用参数表示该几何体的体积，最后根据目标函数解析式的结构特征确定最值．返回导航解析：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，其中侧面PAC⊥底面ABC，且侧面PAC是一个高为3、底边长为2x的等腰三角形；底面也是一个等腰三角形，腰长为2.取AC的中点O，连接PO，BO，则PO⊥平面ABC，BO⊥AC.返回导航解法一：(利用已知参数)易知BO＝BC2－x2＝4－x2(0＜x＜2)，所以S△ABC＝12AC×OB＝12×2x×4－x2＝x4－x2.故三棱锥的体积V＝13S△ABC×PO＝13×x4－x2×3＝x4－x2.因为x2＋(4－x2)2＝4，所以x2＋(4－x2)2≥2x4－x2，即x4－x2≤x2＋（4－x2）22＝2(当且仅当x＝4－x2，即x＝2时等号成立)，所以V≤2.故选B.返回导航解法二：(灵活设参)设∠BCO＝θ，则在Rt△BCO中，x＝2cosθ，y＝2sinθ.所以S△ABC＝12AC×OB＝12×2×2cosθ×2sinθ＝2sin2θ.又PO⊥平面ABC，所以三棱锥的体积V＝13S△ABC×PO＝13×2sin2θ×3＝2sin2θ.故当θ＝π4时，V取得最大值2.故选B.返回导航【方法总结】建立目标函数时要合理选取参数，使建立的目标函数便于求解，并且易于确定最值．如本题中的解法一，直接利用三视图中所给参数，利用基本不等式求解；解法二直接根据几何体的结构特征选取底面等腰三角形的底角作为参数，利用三角函数的有界性求解．显然解法二中的最值更便于求解．返回导航类型2.使用基本不等式(1)已知数列{an}中，a1＝25，4an＋1＝4an－7，若其前n项和为Sn，则Sn的最大值为()(A)15(B)750(C)7654(D)7052(2)已知圆O的半径为1，HM，HN为该圆的两条切线，M，N为两切点，那么HM→·HN→的最小值为________．返回导航思路点拨：(1)求数列问题的最值要构造函数；(2)以∠OHM为变量建立求解目标的函数关系后，通过变换使用基本不等式．返回导航解析：解法一：由题意，知数列{an}为等差数列，公差为－74，故其通项公式为an＝25＋(n－1)×－74，由an≥0且an＋1＜0，解得n＝15，即数列{an}的前15项为正值(该数列中没有等于零的项)，第16项开始为负值，故S15最大，S15＝15×25＋15×142×－74＝375－7354＝1500－7354＝7654.故选C.返回导航解法二：由4an＋1＝4an－7，可得数列{an}的公差d＝－74，所以Sn＝25n＋n（n－1）2×－74＝－78n2＋2078n，这是关于n的二次函数，其图像的对称轴方程为n＝20714＝14＋1114，由于n为正整数，故当n＝15时Sn最大，其最大值为S15＝－78×152＋2078×15＝7654.故选C.返回导航(2)设∠OHM＝∠OHN＝θ，0θπ2，则|HM→|＝|HN→|＝1tanθ，所以HM→·HN→＝|HM→|·|HN→|cos2θ＝cos2θtan2θ＝cos2θcos2θsin2θ＝1＋cos2θ2·cos2θ1－cos2θ2＝cos22θ＋cos2θ1－cos2θ返回导航＝（1－cos2θ）2＋3（cos2θ－1）＋21－cos2θ＝(1－cos2θ)＋21－cos2θ－3≥22－3，当且仅当1－cos2θ＝21－cos2θ，即cos2θ＝1－2时等号成立．答案：(1)C(2)22－3返回导航【方法总结】求数列最值问题的方法：(1)求数列前n项和的最值，如果能够断定数列各项的符号，若数列中前k项为正值(负值)，k＋1项以后各项为负值(正值)，则该数列的前k项和最大(最小)，在这种情况下，如果含有为零的项，则取得最值的n值有两个．(2)如果能够使用n表达出求解目标，则可以把n看作自变量，使用函数的方法求解、或者使用基本不等式求解．(3)在恒成立问题中求参数最值(范围)时，善于分离参数，把问题转化为求一个关于n的变量的函数的最值或者取值范围．求解数列最值问题一定要灵活分析试题，找出适合本题的求解方法．返回导航导数法(2016高考江苏卷)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P­A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD­A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．返回导航(1)若AB＝6m，PO1＝2m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？返回导航思路点拨：(1)由条件容易得出正四棱锥与正四棱柱的底面边长和高，代入体积公式计算并求和即可；(2)设PO1为h，根据已知侧棱长和正棱锥、正棱柱的性质可以把相关量用h表示，从而仓库容积V可以表示为关于变量h的函数，判断定义域，并用导数法求V取最大值时h的值．返回导航解析：(1)由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8.因为A1B1＝AB＝6，所以正四棱锥P­A1B1C1D1的体积V锥＝13·A1B21·PO1＝13×62×2＝24(m3)；正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3)．返回导航(2)设A1B1＝am，PO1＝hm，则0h6，O1O＝4h.连接O1B1.因为在Rt△PO1B1中，O1B21＋PO21＝PB21，返回导航所以2a22＋h2＝36，即a2＝2(36－h2)．于是仓库的容积V＝V柱＋V锥＝a2·4h＋13a2·h＝133a2h＝263(36h－h3)，0h6，从而V′＝263(36－3h2)＝26(12－h2)．返回导航令V′＝0，得h＝23或h＝－23(舍)．当0h23时，V′0，V是单调增函数；当23h6时，V′0，V是单调减函数．故当h＝23时，V取得极大值，也是最大值．因此，当PO1＝23m时，仓库的容积最大．返回导航【方法总结】不等式恒成立问题的一个基本处理方法是转化为函数最值，需要通过构造函数求函数最值，而求函数最值中导数方法是最有效的．注意使用导数求函数最值的基本步骤．返回导航几何意义法(数形结合法)类型1.曲线上点与直线上的点的距离的最值(1)设点P在曲线y＝x2＋1(x≥0)上，点Q在曲线y＝x－1(x≥1)上，则|PQ|的最小值为()(A)22(B)324(C)2(D)322返回导航(2)(2017河北省石家庄市高三下学期二模)设点P，Q分别是曲线y＝xe－x(e是自然对数的底数)和直线y＝x＋3上的动点，则P，Q两点间距离的最小值为________．思路点拨：(1)根据函数图象的对称性转化为曲线上的点与直线上的点之间的最近距离；(2)与直线y＝x＋3平行的曲线y＝xe－x的切线之间的距离即为所求．返回导航解析：(1)在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，可知两个函数的图象关于直线y＝x对称．考虑函数y＝x2＋1(x≥0)图象上某点处斜率为1的切线的切点坐标，由于y′＝2x＝1，得x＝12，进而y＝54，即函数y＝x2＋1(x≥0)图象上在点(12，54)处的切线斜率等于1，该点到直线y＝x的距离为342＝328，这个距离的二倍即为所求的最小值，即|PQ|的最小值为324.故选B.返回导航(2)y′＝e－x－xe－x，令y′＝1，即e－x(1－x)＝1，显然x≠1(若不然则e－x(1－x)＝1不成立)，所以e－x＝11－x，结合函数y＝e－x，y＝11－x的图象可知方程e－x＝11－x有唯一解，而x＝0为方程e－x＝11－x的解，返回导航故方程e－x＝11－x，即方程e－x(1－x)＝1有唯一解x＝0，即曲线y＝xe－x上在x＝0处的切线的斜率等于1，此时切点坐标为(0，0)，该点到直线y＝x＋3的距离即为所求的最小值，即32＝322.答案：(1)B(2)322返回导航【方法总结】求与直线不相交的曲线上的点与该直线的距离最值的最直观方法就是“平行切线法”，是数形结合思想的具体体现．返回导航类型2.根据求解目标的几何意义(1)变量x，y满足条件x－y＋1≤0，y≤1，x－1，则(x－2)2＋y2的最小值为()(A)322(B)5(C)92(D)5返回导航(2)已知实数a，b，c，d满足a－2eab＝1－cd－1＝1，其中e是自然对数的底数，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为()(A)4(B)8(C)12(D)18返回导航思路点拨：(1)点(x，y)为一平面区域内的动点，目标的几何意义是动点到定点距离的平方；(2)(a，b)，(c，d)看作点的坐标，则该两点各自在一条曲线与一条直线上，目标的几何意义是曲线上的点与直线上的点的距离的平方．返回导航解析：(1)已知不等式组表示的平面区域如图．目标函数的几何意义是阴影部分中的点到点(2，0)距离的平方，结合图形可知阴影区域中的点(0，1)到点(2，0)的距离最小，且最小值为5，故所求的目标函数的最小值为5.故选D.返回导航(2)由a－2eab＝1－cd－1＝1，得b＝a－2ea，d＝－c＋2，(a－c)2＋(b－d)2的几何意义是曲线y＝x－2ex上的点(a，b)与直线y＝－x＋2上的点(c，d)间的距离的平方．对y＝x－2ex求导，得y′＝1－2ex，令其等于－1，解得x＝0，故曲线y＝x－2ex上在x＝0处的切线斜率等于－1，此时切点坐标为(0，－2)，该点到直线y＝－x＋2的距离即为曲线y＝x－2ex与直线y＝－x＋2上点间距离的最小值，此时的最小距离为42＝22，故所求的最小值为(22)2＝8.故选B.返回导航【方法总结】把求解目标的代数表