2020版高考数学一轮复习 小专题串方法（五）课件 文 新人教A版

第七篇立体几何(必修2)返回导航小专题串方法(五)立体几何问题中的巧妙解法立体几何是高中数学的主要知识板块之一，在高考中占有重要位置．解立体几何试题的基本能力是空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，基本的解题方法是综合法的逻辑推理，在这个基本方法下，还有一些技巧性方法，下面做简单介绍．返回导航模型法类型1.模型法还原空间几何体已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于()返回导航(A)73π(B)16π(C)8π(D)283π返回导航(2)一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是()(A)2(B)22(C)3(D)23返回导航思路点拨：根据三视图可以判断该空间几何体是正方体中一部分，先画出正方体，再根据三视图确定空间几何体．返回导航解析：(1)由三视图知，几何体是一个正三棱柱，外接球的球心就是两底面三角形中心连线的中点，外接球的半径等于球心到正三棱柱的任意一个顶点的距离，可求得其半径为12＋2332＝213，那么外接球的表面积为4π×2132＝283π.故选D.返回导航(2)如图，最大面是一个边长为22的正三角形，其面积为34×(22)2＝23.故选D.返回导航【方法总结】空间几何体均可以看作一个更大范围的几何体的一个部分，根据题目的实际情况，判断其可能是哪个几何体的一个部分，利用该几何体为模型，可以较为方便地判断出三视图表达的空间几何体．返回导航类型2.模型法判断空间位置关系已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题的个数是()①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，α∩β＝n，则m∥n;④若m⊥α，m⊂β，则α⊥β(A)1(B)2(C)3(D)4思路点拨：根据空间线面位置关系的相关定理，并结合反例逐个判断．返回导航解析：对于①，由于垂直于同一条直线的两个平面互相平行，故①为真命题；对于②，平面α、平面β也可能相交，故②为假命题；对于③，直线m与直线n可能异面，也可能垂直，故③为假命题；对于④，可根据面面垂直的判定定理得到④为真命题．故选B.返回导航【方法总结】在解答空间中线线、线面和面面的位置关系问题时，我们可以从线、面的概念、定理出发，学会找特例、反例和构建几何模型．判断两直线是异面直线是难点，我们可以依据定义来判定，也可以依据定理(过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线)判定．而反证法是证明两直线异面的有效方法．返回导航展开法(2018江西抚州模拟)如图所示，一只蚂蚁从正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是()返回导航(A)①②(B)①③(C)③④(D)②④返回导航思路点拨：先根据正方体表面展开图的不同方式确定蚂蚁最短爬行的路线，在正方体的表面画出其爬行路线，然后根据正方体的结构特征确定爬行路线在正视图的位置，找出正确选项．返回导航解析：A点为三个面的交点，故依据该点所在面的不同，由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，共有6种展开方式．(1)如图，若把侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开到同一个平面内，在矩形中连接AC1，经过BB1的中点，故此时的正视图为②.返回导航(2)如图②，把侧面ABB1A1和上底面A1B1C1D1展开到同一个平面内，在矩形ABC1D1中连接AC1，会经过A1B1的中点，故此时的正视图为图③.返回导航(3)如图④，若把平面ABCD和平面CDD1C1展开到同一个平面内，在矩形中连接AC1，会经过CD的中点，此时正视图为④.(4)如图⑤，若把平面ABCD和平面BCC1B1展开到同一个平面内，在矩形中连接AC1，会经过BC的中点，此时正视图为图⑥.返回导航(5)如图⑦，若把平面ADD1A1和平面DCC1D1展开到同一个平面内，在矩形中连接AC1，会经过DD1的中点，此时正视图是图⑧.(6)如图⑨，若把平面ADD1A1和平面A1B1C1D1展开到同一个平面内，在矩形中连接AC1，会经过A1D1的中点，此时正视图是图⑩.综上，选D.返回导航【方法总结】该题将正方体的表面最短距离与三视图问题巧妙融合在一起，需要根据两点所在的位置确定表面的不同展开方式，这也是多面体表面最短距离求解过程中需要注意的问题，最后根据最短路线在正方体表面上的位置确定其在三视图中的位置．返回导航割补法类型1.割补法求空间体积(1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()返回导航(A)64(B)72(C)80(D)112返回导航(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()(A)8π＋16(B)8π－16(C)8π＋8(D)16π－8返回导航解析：(1)根据三视图可知该几何体为四棱锥P­ABCD与正方体ABCD­A1B1C1D1的组合体，如图所示．返回导航由三视图中的数据可知，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为4，四棱锥P­ABCD的底面为正方形ABCD，高h＝3，且PA＝PB.正方体ABCD­A1B1C1D1的体积为V1＝43＝64，四棱锥P­ABCD的底面积为S＝42＝16，其体积为V2＝13Sh＝13×16×3＝16.故所求几何体的体积为V＝V1＋V2＝64＋16＝80，故选C.返回导航(2)由三视图可知该几何体为一个半圆柱去掉一个直三棱柱．其中半圆柱的高为4，底面半圆的半径为2；直三棱柱的底面为斜边是4的等腰直角三角形，高为4.故半圆柱的体积为V1＝12π×22×4＝8π，直三棱柱的体积为V2＝12×4×2×4＝16.所以所求几何体的体积为V＝V1－V2＝8π－16.故选B.返回导航【方法总结】割补的目的是实现由难到易的转化，是化归转化思想在空间几何体体积问题中的体现．返回导航类型2.补形法解多面体外接球问题(1)(2017河南八市重点高中高三质检)已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是()返回导航(A)43π(B)83π(C)823π(D)1623π返回导航(2)如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为()返回导航(A)2(B)62(C)112(D)52返回导航思路点拨：根据几何体的形状补形，使之补形后的几何体与已知几何体具有相同的外接球．返回导航解析：(1)如图，该几何体是一个底面是边长为2的正方形、高为2的四棱锥SABCD，其中侧棱SD垂直于底面，与四棱柱SMNPDABC具有相同的外接球．四棱柱的外接球半径r＝122＋2＋4＝2，故其体积为4π3×(2)3＝82π3.故选C.返回导航(2)易知四面体A′EFD的三条侧棱A′E，A′F，A′D两两垂直，且A′E＝1，A′F＝1，A′D＝2，我们把四面体A′EFD扩成棱长为1，1，2的一个长方体，则长方体的外接球即为四面体A′EFD的外接球，所以球的半径为r＝1212＋12＋22＝62.故选B.返回导航【方法总结】当多面体是长方体的一个部分时，其外接球与长方体的外接球必然存在联系(如具有相同的外接球)，补形的目的就是找到这种联系．补形法是求解球与多面体构成的组合体的方法之一．返回导航平行线法类型1.平行线法求两异面直线所成的角如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成正四面体PDEF，则四面体中异面直线PG与DH所成的角的余弦值为________．返回导航思路点拨：在一条直线上找点，使得过该点的一条直线与另一条直线平行．返回导航解析：折成的四面体是正四面体，画出立体图形，根据中点找平行线，把所求的异面直线所成角转化到一个三角形的内角的计算．如图，连接HE，取HE的中点K，连接GK，PK，则GK∥DH，故∠PGK即为所求的异面直线所成的角或其补角．设这个正四面体的棱长为2，返回导航在△PGK中，PG＝3，GK＝32，PK＝12＋（32）2＝72，故cos∠PGK＝（3）2＋（32）2－（72）22×3×32＝23.即异面直线PG与DH所成的角的余弦值是23.答案：23返回导航【方法总结】两异面直线所成角的最基本求法是根据定义，把其化为两相交直线所成的角，平行线法是实现上述转化的基本方法．返回导航类型2.平行线法证明空间的平行关系在四棱锥OABCD中，底面ABCD是平行四边形，M为OA的中点，N为BC的中点，证明：直线MN∥平面OCD.思路点拨：找平行线，得出线面平行的条件．返回导航证明：法一取OB中点E，连结ME，NE，如图(1)，因为ME∥AB，AB∥CD，所以ME∥CD，又因为NE∥OC，ME∩NE＝E，CD∩OC＝C，ME、NE⊂面MNE，CD、OC⊂面OCD，所以平面MNE∥平面OCD，所以MN∥平面OCD.返回导航法二取OD的中点F，连结MF，CF，如图(2)，MF綊12AD，又底面ABCD是平行四边形，NC綊12AD，所以MF綊NC，所以四边形MNCF是平行四边形，所以MN∥FC，又MN⊄平面OCD，FC⊂平面OCD，根据直线与平面平行的判定定理得直线MN∥平面OCD.返回导航【方法总结】线面平行是平行关系的重点，但线线平行是解决平行关系的必经之路，无论是线面平行、面面平行都离不开线线平行，平行线法是证明空间平行关系的基本方法．返回导航线面垂直法类型1.垂面法证明空间垂直关系若四面体的两组对棱互相垂直，则另一组对棱也互相垂直．返回导航思路点拨：把线线垂直化为线面垂直，再通过线面垂直得出线线垂直．返回导航解：已知：四面体ABCD，AB⊥CD，BC⊥DA.求证：AC⊥BD.证明：如图，过点A作AO⊥平面BCD，连结BO，DO，CO并延长交CD，BC，BD于点E，F，G，由于AO⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，故AO⊥CD，又AB⊥CD，根据线面垂直的判定定理得CD⊥平面AOB，BE⊂平面AOB，故CD⊥BE.同理可证DF⊥BC，故点O为三角形BCD的垂心，从而CG⊥BD，又AO⊥BD.由线面垂直的判定定理得BD⊥平面AOC，又AC⊂平面AOC，由线面垂直的定义得AC⊥BD.返回导航【方法总结】在垂直关系的证明中，线面垂直可以是最终目标，但大多数情况下线面垂直是证明的一个过程(即使在最终目标是线面垂直时也有这种可能)，通过证明线面垂直得线线垂直、面面垂直，再通过得出的垂直关系，得出线面垂直，进一步得出其它的垂直关系．在垂直关系的证明中线面垂直是核心，把线面垂直当作一种证明方法就是基于这种情况．返回导航类型2.线面垂直法求线面角(2018郑州模拟)已知正三棱锥S­ABC中，E是侧棱SC的中点，且SA⊥BE，则SB与底面ABC所成角的余弦值为()(A)63(B)33(C)23(D)36思路点拨：先作出满足条件的直线与平面所成的角，再计算其大小．返回导航解析：如图，在正三棱锥S­ABC中，作SO⊥平面ABC，连接OA，OB，则O是△ABC的中心，OA⊥BC，由此可得SA⊥BC，又SA⊥BE，所以SA⊥平面SBC，返回导航故正三棱锥S­ABC的各侧面是全等的等腰直角三角形．因为SO⊥平面ABC，所以SB与平面ABC所成的角为∠SBO，令AB＝2，则OB＝233，SB＝2，所以cos∠SBO＝OBSB＝2332＝63.故选A.返回导航【方法总结】求解直线和平面所成角的常用方法：(1)直接法，根据定义，直接作出斜线在平面内的射影，则斜线与射影所成角就是斜线与平面所成角，这也是解决此类问题首先要考虑采用的方法；(2)间接法，当直接法不便于求解时，利用已知条件进行间接求解或证明，包括平移法，公式法和向量法等．返回导航类型3.线面垂直法求二面角已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二