2020版高考数学一轮复习 小专题串方法（四）课件 文 新人教A版

第六篇不等式(必修5)返回导航小专题串方法(四)不等式证明的五大方法不等式的证明是数学中一类广泛的问题，在高考中占有重要位置，下面就不等式的证明方法作简要介绍．返回导航综合法(2017吉林省长春市高三质检)(1)已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3＋b3a2b＋ab2；(2)已知a，b，c都是正数，求证：a2b2＋b2c2＋c2a2a＋b＋c≥abc.思路点拨：(1)思路1，作差比较；思路2，构造对称不等式．(2)构造对称不等式．返回导航解：(1)法一(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2.因为a，b都是正数，所以a＋b0.又因为a≠b，所以(a－b)20.于是(a＋b)(a－b)20，即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)0所以a3＋b3a2b＋ab2.返回导航法二因为a，b为正数且a≠b，所以a3＋ab22a2b，b3＋a2b2ab2，两不等式相加整理即得所证不等式．(2)因为b2＋c2≥2bc，a20，所以a2(b2＋c2)≥2a2bc，①同理b2(a2＋c2)≥2ab2c，②c2(a2＋b2)≥2abc2，③①②③相加得2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2，从而a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．由a，b，c都是正数，得a＋b＋c0，因此a2b2＋b2c2＋c2a2a＋b＋c≥abc.返回导航【方法总结】综合法是证明不等式的最基本方法，其关键是利用实数的性质、不等式的性质、已知的不等式等，根据已知条件进行推理，推导出所要证明的不等式．在综合法中有两个方法值得注意：(1)比较法(作差比较、作商比较)；(2)构造轮换对称不等式，即如果不等式中的字母相互交换，不等式不变的不等式叫做轮换对称不等式，该类不等式可以考虑构造对称不等式加以证明．返回导航分析法(2018广饶模拟)已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8(1－a)(1－b)(1－c)．思路点拨：根据分析法的推理形式进行证明．返回导航解：因为a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，所以要证原不等式成立，即证[(a＋b＋c)＋a]·[(a＋b＋c)＋b]·[(a＋b＋c)＋c]≥8[(a＋b＋c)－a]·[(a＋b＋c)－b]·[(a＋b＋c)－c]，也就是证[(a＋b)＋(c＋a)]·[(a＋b)＋(b＋c)]·[(c＋a)＋(b＋c)]≥8(b＋c)(c＋a)(a＋b)．(*)因为(a＋b)＋(c＋a)≥2（a＋b）（c＋a）＞0，(a＋b)＋(b＋c)≥2（a＋b）（b＋c）＞0，(c＋a)＋(b＋c)≥2（c＋a）（b＋c）＞0，以上三式相乘得(*)式成立．故原不等式成立．返回导航【方法总结】分析法是证明已知条件简单、结论较为复杂的数学证明题的有效方法．使用分析法证明不等式的关键是根据不等式的性质、已知不等式等，从结论出发导出已知条件中的不等式、已知的不等式、明显的数学事实．返回导航放缩法类型1.有界性放缩法(2016高考北京卷)设数列A：a1，a2，…，aN(N≥2)．如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有akan，则称n是数列A的一个“G时刻”．记G(A)是数列A的所有“G时刻”组成的集合．返回导航(1)对数列A：－2，2，－1，1，3，写出G(A)的所有元素；(2)证明：若数列A中存在an使得ana1，则G(A)≠∅；(3)证明：若数列A满足an－an－1≤1(n＝2，3，…，N)，则G(A)的元素个数不小于aN－a1.思路点拨：(1)根据“G时刻”的定义直接求解．(2)由“G时刻”的定义和给出的前提条件直接推证．(3)运用综合法推证．返回导航(1)解：G(A)的元素为2和5.(2)证明：因为存在an使得an＞a1，所以{i∈N*|2≤i≤N，aia1}≠∅.记m＝min{i∈N*|2≤i≤N，aia1}，则m≥2，且对任意正整数km，ak≤a1＜am.因此m∈G(A)．从而G(A)≠∅.返回导航(3)证明：当aN≤a1时，结论成立．以下设aNa1.由(2)知G(A)≠∅.设G(A)＝{n1，n2，…，np}，n1n2…np.记n0＝1，则an0＜an1＜an2＜…＜anp.对i＝0，1，…，p，记Gi＝{k∈N*|ni＜k≤N，ak＞ani}．如果Gi≠∅，取mi＝minGi，则对任何1≤kmi，ak≤ani＜ami.从而mi∈G(A)且mi＝ni＋1，返回导航又因为np是G(A)中的最大元素，所以Gp＝∅.从而对任意np≤k≤N，ak≤anp，特别地，aN≤anp.对i＝0，1，…，p－1，ani＋1－1≤ani.因此ani＋1＝ani＋1－1＋(ani＋1－ani＋1－1)≤ani＋1.所以aN－a1≤anp－a1＝∑p(ani－ani－1)≤p.因此G(A)的元素个数p不小于aN－a1.返回导航【方法总结】一些含有三角函数的不等式、或者通过换元能够化为三角函数的不等式，可以根据正弦函数、余弦函数的有界性进行放缩．返回导航类型2.重要不等式放缩法(2017新疆乌鲁木齐三诊)已知实数a，b，c满足a2＋b2＋c2＝3.(1)求证：a＋b＋c≤3；(2)求证：1a2＋1b2＋1c2≥3.思路点拨：利用基本不等式和已知条件，通过使用基本不等式放缩完成证明．返回导航证明：(1)因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≤a2＋b2＋c2＋(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(a2＋c2)＝3(a2＋b2＋c2)＝9，所以|a＋b＋c|≤3，所以a＋b＋c≤3.(2)(1a2＋1b2＋1c2)(a2＋b2＋c2)＝3＋(b2a2＋a2b2)＋(c2a2＋a2c2)＋(c2b2＋b2c2)≥3＋2＋2＋2＝9，即(1a2＋1b2＋1c2)×3≥9，所以1a2＋1b2＋1c2≥3.返回导航【方法总结】证明过程中利用均值不等式等重要不等式进行放缩是证明不等式的基本方法之一，这也是重要不等式的主要应用领域．返回导航类型3.不等式性质放缩法对任意正整数n，证明113＋123＋133＋…＋1n354.思路点拨：使用不等式的性质放大1k3，使得放大后的不等式左端能够求和．返回导航证明：法一当n＝1时不等式显然成立．当n≥2时，1n3＝1n·n21n·（n2－1）＝1n·1（n＋1）（n－1）＝12[1（n－1）n－1n（n＋1）]，所以113＋123＋133＋…＋1n31＋12{(11×2－12×3)＋(12×3－13×4)＋…＋[1（n－1）n－1n（n＋1）]}＝1＋14－12n（n＋1）1＋14＝54.返回导航法二当n＝1时，不等式成立，因为n3－4n(n－1)＝n(n2－4n＋4)＝n(n－2)2≥0，所以n3≥4n(n－1)．所以，当n≥2时，1n3≤14n（n－1）＝14(1n－1－1n)，所以113＋123＋133＋…＋1n3≤1＋14[(11－12)＋(12－13)＋…＋(1n－1－1n)]＝1＋14－14n54.返回导航【方法总结】使用不等式的性质放缩不等式中项，使之能够产生裂项相消的部分是证明与正整数的和式有关的不等式的基本思考途径．返回导航反证法(2018兰州统考)已知a1，a2，…，a8都是正数，且a1＋a2＋…＋a8＝20，a1·a2·…·a8＜4，求证：a1，a2，…，a8之中至少有一个数小于1.思路点拨：至少有1个，是以否定形式给出的命题，采取反证法．返回导航解析：假设a1，a2，…，a8都不小于1，可设a1＝1＋δ1，a2＝1＋δ2，…，a8＝1＋δ8，其中δ1，δ2，…，δ8≥0，于是δ1＋δ2＋…＋δ8＝20－8＝12.又a1·a2·…·a8＝(1＋δ1)·(1＋δ2)·…·(1＋δ8)＝1＋(δ1＋δ2＋…＋δ8)＋(δ1δ2＋…＋δ7δ8)＋…＋δ1·δ2·…·δ8≥1＋(δ1＋δ2＋…＋δ8)＝1＋12＝13，这与已知条件a1·a2·…·a8＜4矛盾．故a1，a2，…，a8之中至少有一个数小于1.返回导航【方法总结】反证法对已知条件较少、结论情况较多，或者结论是否定形式给出、结论是唯一性等命题的证明非常有效．返回导航导数法(构造函数法)类型1.函数的单调性法已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d为奇函数，且在x＝－1处取处极大值2.返回导航(1)求f(x)的解析式；(2)过点A(1，t)(t≠－2)可作函数f(x)的图象的三条切线，求实数t的取值范围；(3)若f(x)＋(m＋2)x≤x2(ex－1)对于任意的x∈[0，＋∞)恒成立，求实数m的取值范围．返回导航思路点拨：分析求解不等式与函数、方程的综合问题时，主要是通过转化的思想方法，将函数性质、方程的根及不等式的解集密切联系起来，化为不等式以求原问题的解．函数的最值问题、方程根的存在性问题、根的分布问题等均必须应用不等式基础知识探究、求解．返回导航解析：(1)∵f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d为奇函数，∴b＝d＝0，∴f′(x)＝3ax2＋c.∵f(x)在x＝－1处取得极大值2，∴f′（－1）＝3a＋c＝0，f（－1）＝－a－c＝2⇒a＝1，c＝－3，从而f(x)的解析式为f(x)＝x3－3x.返回导航(2)设切点为(x0，y0)，则y0＝x30－3x0，y0－tx0－1＝3x20－3，消去y0得t＝－2x30＋3x20－3，设φ(x)＝－2x3＋3x2－3，则φ′(x)＝－6x2＋6x＝－6x(x－1)，∴φ(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上递减，在(0，1)上递增，f(x)极小值＝f(0)＝－3，f(x)极大值＝f(1)＝－2.要使过点A(1，t)可作函数y＝f(x)图象的三条切线，则实数t的取值范围为(－3，－2)．返回导航(3)∵f(x)＋(m＋2)x≤x2(ex－1)，∴x3－3x＋(m＋2)x≤x2(ex－1)，从而(m＋2)x≤x2(ex－1)－x3＋3x，当x＝0时，m∈R，当x＞0时，m＋2≤xex－x－x2＋3⇒m≤x(ex－x－1)＋1.设h(x)＝ex－x－1，h′(x)＝ex－1＞0，∴h(x)在(0，＋∞)上递增，h(x)＞h(0)＝0，∴g(x)＝x(ex－x－1)＋1＞1，从而m≤1，∴实数m的取值范围为(－∞，1]．返回导航【方法总结】函数的单调性可以比较一个范围内的函数值与某个函数值的大小关系，也可以根据函数值的大小比较自变量的大小，通过构造函数，研究函数的单调性得出不等式是函数类不等式证明最基本的方法．返回导航类型2.函数最值法(2017大庆一模)已知a＝13ln94，b＝45ln54，c＝14ln4，下列不等式正确的是()(A)a＜b＜c(B)b＜a＜c(C)c＜a＜b(D)b＜c＜a思路点拨：先构造相应函数，然后研究函数的单调性，再比较函数值的大小即可求得结果．返回导航值的大小即可求得结果．解析：a＝13ln94＝13ln322＝23ln32＝ln3232，b＝45ln54＝ln5454，c＝14ln4＝14×2ln2＝ln22.构造函数f(x)＝lnxx，则a＝f32，b＝f54，c＝f(2)．返回导航因为f′(x)＝1x×x－1×lnxx2＝1－lnxx2.由f′(x)＝0，解得x＝e.故当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．而54＜32＜2＜e，所以f54＜f32＜f(2)，即b＜a＜c.故选B.返回导航【方法总结】函数法就是把要比较的数值通过构造函数转化为该函数的函数值，然后利用函数的单调性将其进一步转化为自变量大小问题来解决．函数法主要应用于有共同特征的两个数值的大小比较问题，灵活变形确定数值的共性是构造函数的重要依据，正确判断函数的单调性是解决此类问题的关键．返回导航类型3.中间值(函数值、最值)比较法(1)(2017河南开封市高三5月冲刺)证明：对一切x∈(0