2020版高考数学一轮复习 小专题串方法（七）课件 文 新人教A版

第十一篇复数、算法、推理与证明返回导航小专题串方法(七)十大解题方法数学的解题方法，最具普遍性的是分析法与综合法，其次为反证法、数学归纳法等，但在这些方法之外，还有一些虽然不具备普遍性，但在某个范围内应用广泛的方法，这些方法对提高解题能力也是不可或缺的作用，下面作简要阐述．返回导航特值法(1)函数y＝x33x－1的图象大致是()返回导航(2)(2016高考浙江卷)已知实数a，b，c，()(A)若|a2＋b＋c|＋|a＋b2＋c|≤1，则a2＋b2＋c2100(B)若|a2＋b＋c|＋|a2＋b－c|≤1，则a2＋b2＋c2100(C)若|a＋b＋c2|＋|a＋b－c2|≤1，则a2＋b2＋c2100(D)若|a2＋b＋c|＋|a＋b2－c|≤1，则a2＋b2＋c2100思路点拨：(1)选取不同的自变量值计算函数值，结合图象逐个排除；(2)让a，b，c取特殊值代入即可判断．返回导航解析：(1)取x＝0，函数无意义，排除选项A；取x＝－1，则y＝320，排除选项B；取x＝10，y＝1000310－11，排除选项D，只能为选项C.(2)结合特殊值，利用排除法选择答案．对于A，取a＝b＝10，c＝－110，显然|a2＋b＋c|＋|a＋b2＋c|≤1成立，但a2＋b2＋c2100，即a2＋b2＋c2100不成立．返回导航对于B，取a2＝10，b＝－10，c＝0，显然|a2＋b＋c|＋|a2＋b－c|≤1成立，但a2＋b2＋c2＝110，即a2＋b2＋c2100不成立．对于C，取a＝10，b＝－10，c＝0，显然|a＋b＋c2|＋|a＋b－c2|≤1成立，但a2＋b2＋c2＝200，即a2＋b2＋c2100不成立．综上知，A，B，C均不成立，所以选D.返回导航【方法总结】特值法在解选择题、一般的探索性问题中具有广泛的用武之地．选择题中可以试验特值法排除选项，一般的探索性问题中可以试验特值法发现一般规律，指明解题方向．返回导航方程法(1)若cosα＋2sinα＝－5，则tanα等于()(A)－12(B)2(C)12(D)－2返回导航(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin(B－A)＋sin(B＋A)＝3sin2A，且c＝7，C＝π3，则△ABC的面积是()(A)334(B)736(C)213(D)334或736思路点拨：(1)已知与sin2α＋cos2α＝1联立，求出sinα，cosα的值；(2)根据已知列出方程求出a，b.返回导航解析：(1)把cosα＋2sinα＝－5与sin2α＋cos2α＝1联立得sin2α＋(－5－2sinα)2＝1，即5sin2α＋45sinα＋4＝0，解得sinα＝－25，代入cosα＋2sinα＝－5得cosα＝－15，所以tanα＝2.故选B.返回导航(2)由sin(B－A)＋sin(B＋A)＝3sin2A⇒2sinBcosA＝3sin2A＝6sinAcosA⇒cosA＝0或者sinB＝3sinA.若cosA＝0，则A＝π2，此时B＝π3，在Rt△ABC中，b＝ctanC＝213，此时△ABC的面积S＝12bc＝12×7×213＝736.返回导航若sinB＝3sinA，即b＝3a，由余弦定理得7＝a2＋9a2－2×a×3a×12，得a＝1，此时b＝3，此时△ABC的面积S＝12absinC＝12×1×3×32＝334.故选D.答案：(1)B(2)D返回导航【方法总结】方程方法在数学中的应用是最为广泛的方法之一，只要是涉及未知元素求解的问题，大多都可以使用方程方法加以解决．返回导航常值代换法(1)(2018山东济南5月针对性训练)已知正实数m，n满足m＋n＝1，且使1m＋16n取得最小值．若曲线y＝xα过点P(m，54n)，则α的值为()(A)－1(B)12(C)2(D)3(2)已知tanα＝3，则sinαcosα＋cos2α＝__________．返回导航思路点拨：(1)1m＋16n＝1×(1m＋16n)．进行常数代换；(2)sinαcosα＋cos2α＝sinαcosα＋cos2α1，根据同角三角函数的平方关系进行常数代换．返回导航解析：(1)1m＋16n＝(m＋n)(1m＋16n)＝17＋nm＋16mn≥17＋2nm·16mn＝25，等号当且仅当nm＝16mn，即n＝4m时成立，代入m＋n＝1，解得m＝15，n＝45，所以P(15，55)，所以55＝(15)α，解得α＝12.返回导航(2)sinαcosα＋cos2α＝sinαcosα＋cos2αsin2α＋cos2α＝tanα＋1tan2α＋1＝25.答案：(1)B(2)25返回导航【方法总结】把已知的整体等于常数的式子代入求解目标，达到沟通已知和求解的目的．在使用基本不等式求最值、三角函数求值等问题中很有用处．返回导航待定系数法(1)已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x＝－2的右侧，若圆M被直线l1所截得的弦长为23，且与直线l2：2x－5y－4＝0相切，则圆M的方程为()(A)(x－1)2＋y2＝4(B)(x＋1)2＋y2＝4(C)x2＋(y－1)2＝4(D)x2＋(y＋1)2＝4(2)若二次函数的图象过点(4，－3)，且x＝3时，二次函数有最大值－1，则求此函数的解析式为y＝________．返回导航思路点拨：(1)确定a，b满足的方程解之；(2)设出函数解析式，利用已知条件确定解析式中系数．返回导航解析：(1)由已知，可设圆M的圆心坐标为(a，0)，半径为r，则（a＋2）2＋（3）2＝r2，|2a－4|4＋5＝r，解得a＝－1，r＝2，a＝－475舍去所以圆M的方程为(x＋1)2＋y2＝4，故选B.返回导航(2)设函数的解析式为y＝a(x－3)2－1，把点(4，－3)代入得－3＝a－1，解得a＝－2，故所求的二次函数的解析式是y＝－2x2＋12x－19.答案：(1)B(2)－2x2＋12x－19返回导航【方法总结】在已知求解目标可以具有固定形式时(如椭圆方程的形式)，可以使用字母设出其形式，根据已知条件，得出关于系数的方程求得系数，待定系数法也可以认为是方程的方法．返回导航换元法(1)(2018韶关调研)已知正数x，y满足4y－2yx＝1，则x＋2y的最小值为________．(2)已知x，y∈R，满足x2＋2xy＋4y2＝6，则z＝x2＋4y2的取值范围为__________．返回导航思路点拨：(1)将“1”代换为14y＋12x来解决；(2)变换已知为平方和的形式后进行三角换元．返回导航解析：(1)由4y－2yx＝1，得x＋2y＝4xy，即14y＋12x＝1，所以x＋2y＝(x＋2y)14y＋12x＝1＋x4y＋yx≥1＋2x4y×yx＝2当且仅当x4y＝yx，即x＝2y时等号成立.所以x＋2y的最小值为2.返回导航(2)x2＋2xy＋4y2＝6化为(x＋y)2＋(3y)2＝6，设x＋y＝6cosθ，3y＝6sinθ，θ∈[0，2π)，∴y＝2sinθ，x＝6cosθ－2sinθ，∴z＝x2＋4y2＝(6cosθ－2sinθ)2＋4(2sinθ)2＝4sin2θ＋43sinθcosθ＋6＝8－4sin(2θ＋π6)．∵sin2θ＋π6∈[－1，1]，∴z∈[4，12]．答案：(1)2(2)[4，12]返回导航【方法总结】换元法有很多种，常用的有一般换元(即用一个简单的量代换一个复杂的量)和三角换元(即把变量代换为三角函数)．使用换元法要注意新元的取值范围．返回导航坐标法(2018重庆模拟)已知向量OA→＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC→＝(2m，m＋1)，若AB→∥OC→，则实数m的值为()(A)15(B)－3(C)－35(D)－17返回导航思路点拨：返回导航解析：：由题意，知AB→＝OB→－OA→＝(3，1)，OC→＝(2m，m＋1)，因为AB→∥OC→，所以3×(m＋1)－1×2m＝0，(代入)所以m＋3＝0，(化简)所以m＝－3.(求解)故选B.返回导航【方法总结】坐标方法是解决平面图形(立体几何中也有坐标方法的应用)问题中有力工具，把平面图形放在坐标系中，可以使用平面解析几何、平面向量的方法等解决问题．返回导航向量法(1)已知a，b∈R＋，且a＋b＝3，证明：(a＋2)2＋(b＋2)2≥492.(2)已知a2＋b2＝1，m2＋n2＝1，则am＋bn的取值范围是__________．思路点拨：(1)构造向量解决；(2)构造向量，使用向量数量积的知识．返回导航证明：(1)构造向量m＝(a＋2，b＋2)，n＝(b＋2，a＋2)，则2|m|＝|m|＋|n|≥|m＋n|＝|(a＋b＋4，a＋b＋4)|＝|(7，7)|＝72，所以|m|≥72，即(a＋2)2＋(b＋2)2≥492.返回导航解析：(2)设u＝(a，b)，v＝(m，n)，则|u|＝|v|＝1且u·v＝ma＋nb，根据平面向量数量积的定义u·v＝|u|·|v|cosθ＝cosθ，其中θ为向量u，v的夹角，由于0≤θ≤π，所以－1≤cosθ≤1，所以－1≤am＋bn≤1，即所求的取值范围是[－1，1]．答案：[－1，1]返回导航【方法总结】向量方法在解决几何问题、三角问题、代数问题具有广泛的应用．解题的关键是把已知和目标向量化，使用向量知识加以解决．返回导航割补法(1)为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积是()(A)3＋64km2(B)3－64km2(C)6＋34km2(D)6－34km2返回导航(2)如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2CD＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点．将△ADE与△BEC分别沿ED，EC向上折起，使A，B重合于点P，则三棱锥PDCE的外接球的体积为()(A)6π8(B)6π6(C)6π4(D)6π2返回导航(3)如图，在半径为1的圆内有四段以1为半径相等的弧，现向圆内投掷一颗豆子(假设豆子不落在线上)，恰好落在阴影部分的概率为________．返回导航思路点拨：(1)把已知的四边形分割为两个三角形；(2)把折叠后的几何体补充为一个与其具有相同外接球的正方体；(3)分割阴影外的图形．返回导航解析：(1)如图，连接AC.根据余弦定理可得AC＝3，故△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，故△ADC为等腰三角形，设AD＝DC＝x，返回导航根据余弦定理得x2＋x2＋3x2＝3，即x2＝32＋3＝3(2－3)．所以所求的面积为12×1×3＋12×3(2－3)×12＝23＋6－334＝6－34.返回导航(2)折起后的图形是棱长为1的正四面体，其直观图如图，它可以看作是一个棱长为22的正方体被截去四个角后得到的几何体，与原正方体具有相同的外接球．棱长为22的正方体的体对角线长为62，故其外接球的半径为64，该球的体积为4π3×(64)3＝6π8.返回导航(3)如图，阴影部分的面积是圆的面积，减去圆的面积与其内接正方形面积之差的两倍，即π－2(π－2)＝4－π，或者阴影部分的面积是圆的外接正方形的面积减去四个四分之一圆的面积，即4－π.所以所求的概率为4－ππ.答案：(1)D(2)A(3)4－ππ返回导航【方法总结】把不规则图形分割或者补充为规则的几何图形，通过规则几何图形求解不规则几何图形是割补法的基本思想．“割”与“补”的目的都是实现问题的转化．返回导航构造法定义在(0，π2)上的函数f(x)，f′(x)是它的导函数，且恒有f(x)f′(x)tanx成立，则()(A)3f(π4)2f(π3)(B)f(1)2f(π6)sin1(C)2f(π6)f(π4)(D)3f(π6)f(π3)思路点拨：根据已知构造函数，利用构造的函数的单调性．返回导航解析：构造函数g(x)＝f（x）sinx，则g′(x)＝f′（x）sinx－f（x）cosxsin2x，根据已知f(x)cosxf′(x)sinx，所以g′(x)0，所以g(x)在(0，π2)上单调递增，所以g