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第二篇函数、导数及其应用(必修1、选修1-2)返回导航小专题串方法(二)十一类范围问题的解题妙招范围问题是高中数学中最为普遍的问题之一，在高中数学的主要知识板块中都有大量的范围类试题，下面从解题方法的角度对其简要介绍．返回导航建立函数模型的方法(1)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1，F2，两条曲线在第一象限的交点记为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围是()(A)(0，15)(B)(15，35)(C)(13，＋∞)(D)(15，＋∞)返回导航(2)(2017湖南十三校二联)在锐角△ABC中，AC＝6，B＝2A，则边BC的取值范围是________．思路点拨：(1)椭圆和双曲线的公共元素为半焦距c，以其为变量建立求解目标的函数关系式；(2)求出角A的取值范围，以其为变量表达BC，利用三角函数性质得出其范围．返回导航解析：(1)根据已知|PF2|＝2c，在椭圆中根据定义2c＋10＝2a1，离心率e1＝cc＋5，在双曲线中根据定义10－2c＝2a2，离心率e2＝c5－c.由于P，F1，F2三点构成三角形，所以2c＋2c10，即c52，根据10－2c＝2a20可得0c5，故52c5，025c2－13，所以e1e2＝c225－c2＝125c2－113.故选C.返回导航(2)根据正弦定理，得ACsinB＝BCsinA，即6sin2A＝BCsinA，所以BC＝3cosA.由于△ABC为锐角三角形，所以B＝2Aπ2，即Aπ4，又A＋B＝3Aπ2，返回导航即Aπ6，所以π6Aπ4，所以22cosA32，所以2331cosA2，所以233cosA32，即BC的取值范围为(23，32)．答案：(1)C(2)(23，32)返回导航【方法总结】选定一个变量建立求解目标的函数关系式，利用函数的性质得出其取值范围，这是求范围问题最为基本、应用最为广泛的方法，是函数思想在数学解题中的主要体现之一．返回导航分离参数的方法已知f(x)＝ax－cos2x，x∈[π8，π6]，若∀x1∈[π8，π6]，∀x2∈[π8，π6]，x1≠x2，f（x2）－f（x1）x2－x10，则实数a的取值范围为________．思路点拨：已知条件等价于f(x)在区间[π8，π6]内单调递减，f′(x)≤0在区间[π8，π6]上恒成立，分离参数后化为求函数最值．返回导航解析：由题f(x)＝ax－cos2x，已知条件等价于f(x)在区间[π8，π6]内单调递减，等价于f′(x)＝a＋2cosxsinx＝a＋sin2x≤0在[π8，π6]上恒成立，即a≤－sin2x在[π8，π6]上恒成立，由x∈[π8，π6]，2x∈[π4，π3]，得－sin2x∈[－32，－22]，只要a≤－32，所以实数a的取值范围是(－∞，－32]．返回导航答案：(1)B(2)(－∞，－32]【方法总结】在方程有解、不等式恒成立等问题中求参数取值范围时，如果参数能够分离出来，即方程或不等式的一端为参数，另一端为某个变量的函数，则只要研究函数的性质即可根据问题的具体设问得出参数的取值范围．返回导航参数与变量整体处理的方法(1)已知函数f(x)＝x＋3a2x－2alnx在区间(1，2)内是增函数，则实数a的取值范围是________．(2)已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数且f(1)＝1，当x1，x2∈[－1，1]，且x1＋x2≠0时，有f（x1）＋f（x2）x1＋x20，若f(x)≤m2－2am＋1对所有x∈[－1，1]，a∈[－1，1]恒成立，则实数m的取值范围是________．返回导航思路点拨：(1)即f′(x)≥0在(1，2)上恒成立，化为一元二次不等式在(1，2)上恒成立，结合函数图象分类讨论其成立的a的取值范围；(2)即增函数f(x)满足f(x)≤m2－2am＋1对所有x∈[－1，1]，a∈[－1，1]恒成立，即f(x)max≤m2－2am＋1对a∈[－1，1]恒成立，化为关于a的一次不等式在[－1，1]上恒成立问题即可．返回导航解析：(1)f′(x)＝1－3a2x2－2ax.函数f(x)在区间(1，2)内是增函数等价于f′(x)≥0在(1，2)上恒成立，等价于x2－2ax－3a2≥0在(1，2)上恒成立．设g(x)＝x2－2ax－3a2.当a≤1时，g(x)在(1，2)上单调递增，只要g(1)＝1－2a－3a2≥0，解得－1≤a≤13；当1a2时，只要g(a)＝－4a2≥0，无解；当a≥2时，g(x)在(1，2)上单调递减，只要g(2)＝4－4a－3a2≥0，即3a2＋4a－4≤0，解得－2≤a≤23，与a≥2矛盾．综上可知，函数f(x)在区间(1，2)内是增函数时，a的取值范围是[－1，13]．返回导航(2)用－x2替换x2，得f（x1）＋f（－x2）x1＋（－x2）0，由于f(x)是奇函数，所以f（x1）－f（x2）x1－x20，等价于函数f(x)是定义域上的增函数，所以f(x)max＝f(1)＝1.不等式f(x)≤m2－2am＋1对所有x∈[－1，1]，a∈[－1，1]恒成立，即m2－2am＋1≥1对任意a∈[－1，1]恒成立，即2ma－m2≤0对任意a∈[－1，1]恒成立，返回导航令g(a)＝2ma－m2，则只要g（－1）＝－2m－m2≤0，g（1）＝2m－m2≤0即可，解得m≤－2或m≥2或m＝0.故所求的m的取值范围是(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．答案：(1)[－1，13](2)(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)返回导航【方法总结】在参数与变量交织在一起，分离参数不方便的情况下，把参数作为常数，构成一个含参数的函数、不等式、方程等，根据问题的实际情况从整体上得出参数满足的条件得出其取值范围．返回导航直接使用数形结合的方法已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝|x－a|－a(a0)，且对任意x∈R恒有f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围是()(A)(0，4](B)(0，2](C)(0，12](D)(0，14]返回导航思路点拨：画出函数f(x)的图象，问题等价于f(x－1)的图象不在f(x)图象下方，结合函数图象得出实数a满足的不等式即得．返回导航解析：f(x)＝x－2a，x≥a，－x，0≤xa.根据f(x)是奇函数画出函数f(x)的图象，如图，由于函数f(x－1)的图象是由函数f(x)的图象向右平移1个单位得到的，只有平移到图(2)、(3)中的情况下，才有f(x－1)≤f(x)，故平移的距离4a≤1，所以0a≤14.故选D.返回导航返回导航【方法总结】数形结合是广泛使用的一种数学方法．在求参数范围问题中，使用数形结合的思想就是通过图形位置的变化找到满足题意的参数所需要的条件，进而得出参数的取值范围．返回导航根据几何意义求参数(1)若不等式(x－a)2＋(x－lna)2m对任意x∈R，a∈(0，＋∞)恒成立，则实数m的取值范围是()(A)(－∞，12)(B)(－∞，22)(C)(－∞，2)(D)(－∞，2)返回导航(2)(2018浙江六校联考)已知向量a，b是单位向量，若a·b＝0，且|c－a|＋|c－2b|＝5，则|c＋2a|的取值范围是()(A)[1，3](B)[23，3](C)[655，22](D)[655，3]返回导航思路点拨：(1)根据两点间的距离公式得出(x－a)2＋(x－lna)2的几何意义；(2)利用向量减法的几何意义确定|c－a|＋|c－2b|＝5表达的图形和|c＋2a|的几何意义．返回导航解析：(1)式子(x－a)2＋(x－lna)2的几何意义是直线y＝x上的点(x，x)到曲线y＝lnx上的点(a，lna)距离的平方．y＝lnx的导数y′＝1x，令1x＝1得x＝1，返回导航即曲线y＝lnx上横坐标为1的点处的切线平行于直线y＝x，此时切点(1，0)到直线y＝x的距离最小，最小值为22，此即为曲线y＝lnx上的点与直线y＝x上点的距离的最小值，所以[(x－a)2＋(x－lna)2]min＝12，不等式(x－a)2＋(x－lna)2m恒成立只要m12，故m的取值范围是(－∞，12)．故选A.返回导航(2)根据已知可得a，b是相互垂直的单位向量，不妨设a＝(1，0)，b＝(0，1)，把向量c的起点放在坐标原点，则|c－a|＋|c－2b|的几何意义就是向量c的终点到向量a，2b的终点(1，0)，(0，2)的距离之和，由于这两点间距离等于5，返回导航故向量c的终点在以(1，0)，(0，2)为端点的线段上，该线段所在直线方程为x＋y2＝1(0≤x≤1)．|c＋2a|的几何意义是向量c的终点到向量－2a的终点(－2，0)的距离，显然最大距离即为点(－2，0)到点(1，0)的距离3，最小距离为点(－2，0)到直线x＋y2＝1的距离|－2－1|1＋14＝655.所以|c＋2a|的取值范围是[655，3]．故选D.返回导航【方法总结】给数学表达式赋予一定的几何意义，把“式”的问题转化为“几何图形”的问题，以形助数是数形结合方法一个重要方面，其关键是熟悉一些数学公式、法则的几何意义．返回导航化参数与函数最值比较的方法(1)已知函数f(x)＝lnx－14x＋34x－1，g(x)＝－x2＋2bx－4，若对任意的x1∈(0，2)，任意的x2∈[1，2]，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，则实数b的取值范围是()(A)－∞，142(B)(1，＋∞)(C)1，142(D)1，142返回导航(2)已知函数f(x)＝x3，x∈[0，12]，2x3x＋1，x∈（12，1]，函数g(x)＝ax－a2＋3(a0)，若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，12]，使得f(x1)＝g(x2)成立，则实数a的取值范围是()(A)(－∞，－4](B)(－∞，6](C)[－4，＋∞)(D)[6，＋∞)返回导航思路点拨：(1)不等式f（x1）≥g（x2）恒成立→只需令f（x1）min≥g（x2）max→得出结论(2)由题意知f(x)的值域为g(x)值域的子集．返回导航解析：(1)依题意，问题等价于f(x1)min≥g(x2)max.(转化)f(x)＝lnx－14x＋34x－1，所以f′(x)＝1x－14－34x2＝4x－x2－34x2.由f′(x)＞0，解得1＜x＜3，故函数f(x)的单调递增区间是[1，3]，同理得f(x)的单调递减区间是(0，1]和[3，＋∞)，故在区间(0，2)上，x＝1是函数f(x)的极小值点，这个极小值点是唯一的，所以f(x1)min＝f(1)＝－12.(求值)返回导航函数g(x2)＝－x22＋2bx2－4，x2∈[1，2]．当b＜1时，g(x2)max＝g(1)＝2b－5；当1≤b≤2时，g(x2)max＝g(b)＝b2－4；当b＞2时，g(x2)max＝g(2)＝4b－8.(求值)故问题等价于b＜1－12≥2b－5或1≤b≤2，－12≥b2－4或b＞2，－12≥4b－8.返回导航解第一个不等式组得b＜1，解第二个不等式组得1≤b≤142，第三个不等式组无解．综上所述，b的取值范围是－∞，142.故选A.(得出结论)返回导航(2)f(x)＝x3，x∈[0，12]，2x3x＋1，x∈（12，1]，当x∈[0，12]时，y∈[0，16]，x∈(12，1]，y′＝2·3x2（x＋1）－x3（x＋1）2＝2（2x3＋3x2）（x＋1）20，f(x)在(12，1]上单调递增，所以y∈(16，1]，返回导航所以f(x)的值域为[0，1]．g(x)在[0，12]上的值域为[－a2＋3，3]．问题等价于f(x)的值域为g(x)值域的子集，即[0，1]⊆[－a2＋3，3]，只要－a2＋3≤0即可，解得a≥6.故选D.返回导航【方法总结】