2020版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第5讲 简单的三角恒等变换课件 理 新人教A

第5讲简单的三角恒等变换基础知识整合1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式2．二倍角的正弦、余弦、正切公式1．降幂公式：cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.3．公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanα·tanβ)．4．辅助角公式：asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2.1．(2018·全国卷Ⅲ)若sinα＝13，则cos2α＝()A.89B.79C．－79D．－89答案B答案解析cos2α＝1－2sin2α＝1－29＝79.故选B.解析2．(2019·吉林模拟)若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为()A．－429B．－229C.229D.429答案A答案解析∵sin(π－α)＝13，即sinα＝13，又π2≤α≤π，∴cosα＝－1－sin2α＝－223，∴sin2α＝2sinαcosα＝－429.解析3．(2016·全国卷Ⅲ)若tanθ＝－13，则cos2θ＝()A．－45B．－15C.15D.45答案D答案解析解法一：cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ＝45.故选D.解法二：由tanθ＝－13，可得sinθ＝±110，因而cos2θ＝1－2sin2θ＝45.解析4．(2019·南宁联考)若角α满足sinα＋2cosα＝0，则tan2α＝()A．－43B.34C．－34D.43答案D答案解析由题意知，tanα＝－2，tan2α＝2tanα1－tan2α＝43.故选D.解析5．若函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx,0≤xπ2，则f(x)的最大值为()A．1B．2C.3＋1D.3＋2答案B答案解析f(x)＝1＋3·sinxcosxcosx＝cosx＋3sinx＝2sinx＋π6，∴当x＝π3时，f(x)取得最大值2.解析6．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈0，π2，tanα＝2，则cosα－π4＝________.答案31010答案解析cosα－π4＝cosαcosπ4＋sinαsinπ4＝22(cosα＋sinα)．又由α∈0，π2，tanα＝2，知sinα＝255，cosα＝55，∴cosα－π4＝22×55＋255＝31010.解析核心考向突破考向一三角函数的化简例1(1)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则()A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4答案B答案解析根据题意，有f(x)＝32cos2x＋52，所以函数f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π，且最大值为f(x)max＝32＋52＝4.故选B.解析(2)(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝tanx1＋tan2x的最小正周期为()A.π4B.π2C．πD．2π答案C答案解析由已知得f(x)＝tanx1＋tan2x＝sinxcosx1＋sinxcosx2＝sinxcosx＝12sin2x，f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.故选C.解析触类旁通三角函数式化简的常用方法(1)异角化同角：善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数．2异名化同名：统一三角函数名称，利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一.3异次化同次：统一三角函数的次数，一般利用降幂公式化高次为低次.即时训练1.(2017·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝15sinx＋π3＋cosx－π6的最大值为()A.65B．1C.35D.15答案A答案解析∵f(x)＝15sinx＋π3＋cosx－π6＝15sinx＋π3＋cosπ6－x＝15sinx＋π3＋sinπ2－π6－x＝15sinx＋π3＋sinx＋π3＝65sinx＋π3，∴当x＝π6＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值65.故选A.解析2．函数y＝sinxcosx＋3cos2x－32的最小正周期是()A．2πB．πC.π2D.π4答案B答案解析∵y＝12sin2x＋3·1＋cos2x2－32＝12sin2x＋32cos2x＝sin2x＋π3，∴此函数的最小正周期是T＝2π2＝π.解析考向二三角函数的求值角度1给值求值例2(1)(2019·汕头模拟)已知tanα2＝3，则cosα＝()A.45B．－45C.415D．－35答案B答案解析cosα＝cos2α2－sin2α2＝cos2α2－sin2α2cos2α2＋sin2α2＝1－tan2α21＋tan2α2＝1－91＋9＝－45.故选B.解析(2)(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________.答案－12答案解析解法一：因为sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，所以(1－sinα)2＋(－cosα)2＝1，所以sinα＝12，cosβ＝12，因此sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝12×12－cos2α＝14－1＋sin2α＝14－1＋14＝－12.解法二：由(sinα＋cosβ)2＋(cosα＋sinβ)2＝1，得2＋2sin(α＋β)＝1，所以sin(α＋β)＝－12.解析(3)(2019·重庆检测)已知α是第四象限角，且sinα＋cosα＝15，则tanα2＝________.答案－13答案解析因为sinα＋cosα＝15，α是第四象限角，所以sinα＝－35，cosα＝45，则tanα2＝sinα2cosα2＝2sin2α22sinα2cosα2＝1－cosαsinα＝－13.解析触类旁通给值求值是指已知某个角的三角函数值，求与该角相关的其他三角函数值的问题，解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来.即时训练3.(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tanα＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解(1)因为tanα＝43，tanα＝sinαcosα，所以sinα＝43cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝925，所以cos2α＝2cos2α－1＝－725.答案(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝255，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝43，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247.因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－tanα＋β1＋tan2αtanα＋β＝－211.答案角度2给角求值例3(1)(2019·浙江模拟)tan70°＋tan50°－3tan70°·tan50°的值等于()A.3B.33C．－33D．－3答案D答案解析因为tan120°＝tan70°＋tan50°1－tan70°·tan50°＝－3，所以tan70°＋tan50°－3tan70°·tan50°＝－3.故选D.解析(2)(2018·衡水中学二调)3cos10°－1sin170°＝()A．4B．2C．－2D．－4答案D答案解析3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1sin10°＝3sin10°－cos10°sin10°cos10°＝2sin10°－30°12sin20°＝－2sin20°12sin20°＝－4.解析触类旁通该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值.即时训练4.(2019·九江模拟)化简sin235°－12cos10°cos80°等于()A．－2B．－12C．－1D．1答案C答案解析sin235°－12cos10°cos80°＝1－cos70°2－12cos10°sin10°＝－12cos70°12sin20°＝－1.解析5．(2019·上海模拟)计算tan12°－34cos212°－2sin12°＝________.答案－4答案解析原式＝sin12°cos12°－322cos212°－1sin12°＝sin12°－3cos12°2sin12°cos12°cos24°＝212sin12°－32cos12°sin24°cos24°＝2sin12°－60°12sin48°＝－4.解析角度3给值求角例4(1)(2019·四川模拟)若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈π4，π，β∈π，3π2，则α＋β的值是()A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4答案A答案解析因为α∈π4，π，所以2α∈π2，2π，又sin2α＝55，所以2α∈π2，π，α∈π4，π2，所以cos2α＝－255.又β∈π，3π2，所以β－α∈π2，5π4，故cos(β－α)＝－31010，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－255×－31010－55×1010＝22，又α＋β∈5π4，2π，故α＋β＝7π4.选A.解析(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，则2α－β的值为________．答案－3π4答案解析∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171＋12×17＝130，∴0απ2.又∵tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－132＝340，∴02απ2，解析∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34＋171－34×17＝1.∵tanβ＝－170，∴π2βπ，－π2α－β0，∴2α－β＝－3π4.解析触类旁通通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时应遵循的原则(1)已知正切函数值，则选正切函数．即时训练6.(2019·福建漳州八校联考)已知锐角α的终边上一点P(sin40°，1＋cos40°)，则α等于()A．10°B．20°C．70°D．80°答案C答案解析由题意得tanα＝1＋cos40°sin40°＝2cos220°2cos20°sin20°＝cos20°sin20°＝sin70°cos70°＝tan70°.又α为锐角，∴α＝70°，故选C.解析7．(2019·江苏徐州质检)已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0βαπ2，则β的值为________．答案π3答案解析∵0βαπ2，∴0α－βπ2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝3314.∵cosα＝17，0απ2，∴sinα＝437，解析∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.∵0βπ2，∴β＝π3.解析考向三三角恒等变换的综合应用例5(2019·广东模拟)已知函数f(x)＝sinx2＋cosx22－2sin2x2.(1)若f(x)＝233，求sin2x的值；(