2020版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第4讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及

配套课时作业1．如图所示，函数y＝3tan2x＋π6的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则△DEF的面积为()A.π4B.π2C．πD．2π答案A答案解析在y＝3tan2x＋π6中，令x＝0可得D(0,1)；令y＝0解得x＝kπ2－π12(k∈Z)，故E－π12，0，F5π12，0.所以△DEF的面积为12×π2×1＝π4.解析2．将函数y＝sinx－π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位长度，则所得函数图象的解析式为()A．y＝sinx2－5π24B．y＝sinx2－π3C．y＝sinx2－5π12D．y＝sin2x－7π12答案B答案解析函数y＝sinx－π4的图象所有点的横坐标伸长为原来的2倍得y＝sin12x－π4的图象，再将所得图象向右平移π6个单位得y＝sin12x－π6－π4＝sin12x－π3的图象．故选B.解析3．若将函数y＝tanωx＋π4(ω0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y＝tanωx＋π6的图象重合，则ω的最小值为()A.16B.14C.13D.12答案D答案解析y＝tanωx＋π4y＝tanωx－ωπ6＋π4＝tanωx＋π6，∴π4－ωπ6＝π6＋kπ(k∈Z)，又∵ω0，∴ωmin＝12.解析4．(2019·山东模拟)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为()A.3π4B.π4C．0D．－π4答案B答案解析把函数y＝sin(2x＋φ)的图象向左平移π8个单位后，得到的图象的解析式是y＝sin2x＋π4＋φ，该函数是偶函数的充要条件是π4＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，根据选项检验可知φ的一个可能取值为π4.解析5．如图是周期为2π的三角函数y＝f(x)的图象，那么f(x)可以写成()A．sin(1＋x)B．sin(－1－x)C．sin(x－1)D．sin(1－x)答案D答案解析设y＝sin(x＋φ)，∵点(1,0)为五点法作图的第三点，∴由sin(1＋φ)＝0⇒1＋φ＝π，φ＝π－1，∴y＝sin(x＋φ)＝sin(1－x)．解析6．(2019·河南螺河高中模拟)若把函数f(x)＝3sin2x＋π3的图象向右平移φ(φ0)个单位后所得图象关于坐标原点对称，则φ的最小值为()A.π6B.π12C.π3D.π4答案A答案解析由2x＋π3＝kπ(k∈Z)得x＝－π6＋kπ2(k∈Z)，∴函数f(x)图象的对称中心为－π6＋kπ2，0，原点左侧第一个对称中心为－π6，0，∴φ的最小值为π6，故选A.解析7．已知函数f(x)＝2sinωx－π6(ω0)的部分图象如图所示，则ω的值可能为()A．1B．2C．3D．4答案B答案解析由图可知T4π3，∴T4π3，∴ω＝2πT32，把π3，2代入函数表达式得2sinπ3ω－π6＝2，∴π3ω－π6＝2kπ＋π2(k∈Z)，解得ω＝6k＋2(k∈Z)．故选B.解析8．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正常数)的最小正周期为π，当x＝2π3时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是()A．f(2)f(－2)f(0)B．f(0)f(2)f(－2)C．f(－2)f(0)f(2)D．f(2)f(0)f(－2)答案A答案解析由题意知函数在2π3－π2，2π3，即π6，2π3上单调递减．f(－2)＝f(π－2)，f(0)＝fπ3，而π3π－22，且π3，π－2,2∈π6，2π3，所以fπ3f(π－2)f(2)，即f(0)f(－2)f(2)．故选A.解析9．为了得到函数y＝sin2x－π6的图象，可以将函数y＝cos2x的图象()A．向右平移π6个单位长度B．向右平移π3个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向左平移π3个单位长度答案B答案解析y＝cos2x＝sin2x＋π2，由y＝sin2x＋π4得到y＝sin2x－π12，只需向右平移π3个单位长度．解析10．函数y＝－2cos2x＋cosx＋1，x∈－π2，π2的图象大致为()答案B答案解析显然函数y＝－2cos2x＋cosx＋1，x∈－π2，π2为偶函数，所以图象关于y轴对称，故排除A和D；又当x∈－π2，π2时，cosx∈[0,1]，所以当cosx＝1即x＝0时，y＝－2cos2x＋cosx＋1取得最小值为0，故排除C.解析11．(2018·广东茂名一模)如图，函数f(x)＝Asin(2x＋φ)A＞0，|φ|＜π2的图象过点(0，3)，则f(x)的图象的一个对称中心是()A.－π3，0B.－π6，0C.π6，0D.π4，0答案B答案解析由题中函数图象可知：A＝2，由于函数图象过点(0，3)，所以2sinφ＝3，即sinφ＝32，由于|φ|＜π2，所以φ＝π3，则有f(x)＝2sin2x＋π3.由2x＋π3＝kπ，k∈Z可解得x＝kπ2－π6，k∈Z，故f(x)的图象的对称中心是kπ2－π6，0，k∈Z，则f(x)的图象的一个对称中心是－π6，0.故选B.解析12．将函数f(x)＝sin2x的图象向右平移φ0＜φ＜π2个单位后得到函数g(x)的图象．若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝π3，则φ＝()A.5π12B.π3C.π4D.π6答案D答案解析由已知得g(x)＝sin(2x－2φ)，满足|f(x1)－g(x2)|＝2，不妨设此时y＝f(x)和y＝g(x)分别取得最大值与最小值，又|x1－x2|min＝π3，令2x1＝π2，2x2－2φ＝－π2，此时|x1－x2|＝π2－φ＝π3，又0＜φ＜π2，故φ＝π6.选D.解析13．(2019·北京海淀模拟)去年某地的月平均气温y(℃)与月份x(月)近似地满足函数y＝a＋bsinπ6x＋π6(a，b为常数)．若6月份的月平均气温约为22℃，12月份的月平均气温约为4℃，则该地8月份的月平均气温约为________℃.答案31答案解析将(6,22)，(12,4)代入函数，解得a＝13，b＝－18，所以y＝13－18sinπ6x＋π6.当x＝8时，y＝13－18sinπ6×8＋π6＝31.解析14．(2019·重庆模拟)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω＞0，－π2≤φ＜π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y＝sinx的图象，则fπ6＝________.答案22答案解析把函数y＝sinx的图象向左平移π6个单位长度得到y＝sinx＋π6的图象，再把函数y＝sinx＋π6图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f(x)＝sin12x＋π6的图象，所以fπ6＝sin12×π6＋π6＝sinπ4＝22.解析15．(2019·厦门模拟)已知x∈(0，π]，关于x的方程2sinx＋π3＝a有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为________．答案(3，2)答案解析令y1＝2sinx＋π3，x∈(0，π]，y2＝a，作出y1的图象如图所示．若2sinx＋π3＝a在(0，π]上有两个不同的实数解，则y1与y2应有两个不同的交点，所以3a2.解析16．(2019·临沂模拟)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，fπ2＝－23，则f－π6＝________.答案－23答案解析由图知T2＝11π12－7π12＝π3，∴T＝2π3，即ω＝3，当x＝7π12时，y＝0，即3×7π12＋φ＝2kπ－π2，k∈Z，∴φ＝2kπ－9π4，k∈Z，取k＝1，则φ＝－π4，∴f(x)＝Acos3x－π4.解析即Acos3π2－π4＝－23，得A＝223，∴f(x)＝223cos3x－π4，故f－π6＝223cos－π2－π4＝－23.解析17．如图，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A0，ω0,0φπ)．(1)求解析式；(2)若某行业在当地需要的温度在区间[20－52，20＋52]之间为最佳营业时间，那么该行业在6～14时，最佳营业时间为多少小时？解(1)由图象知A＝10，12·2πω＝14－6，所以ω＝π8，所以y＝10sinπt8＋φ＋b.①ymax＝10＋b＝30，所以b＝20.当t＝6时，y＝10代入①得φ＝3π4，所以解析式为y＝10sinπ8t＋3π4＋20，t∈[6,14]．答案(2)由题意得，20－52≤10sinπ8t＋3π4＋20≤20＋52，即－22≤sinπ8t＋3π4≤22，所以kπ－π4≤π8t＋3π4≤kπ＋π4，k∈Z.即8k－8≤t≤8k－4，因为t∈[6,14]，所以k＝2，即8≤t≤12，所以最佳营业时间为12－8＝4小时．答案18．已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)当x∈0，π2时，求函数y＝f(x)的最大值和最小值．解(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f(x)的图象关于直线x＝π3对称，所以2·π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，由－π2≤φ＜π2得k＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.综上，ω＝2，φ＝－π6.答案(2)由(1)知f(x)＝3sin2x－π6，当x∈0，π2时，－π6≤2x－π6≤5π6，∴当2x－π6＝π2，即x＝π3时，f(x)最大＝3；当2x－π6＝－π6，即x＝0时，f(x)最小＝－32.答案19．已知某海滨浴场海浪的高度y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：t(h)03692582124y(m)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.(1)根据以上数据，求函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1.25m时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内有多少时间可供冲浪者进行运动．解(1)由题意知T＝12，所以ω＝2πT＝2π12＝π6.由t＝0，y＝1.5得A＋b＝1.5；由t＝3，y＝1.0得b＝1.0，所以A＝0.5，b＝1，即y＝12cosπ6t＋1，t∈[0,24]．答案(2)由题意知，当y1.25时才可对冲浪者开放，所以12cosπ6t＋11.25，cosπ6t1