2020版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式配套

配套课时作业1．(2019·兰州模拟)已知α∈π2，π，tanα＝－34，则sin(α＋π)＝()A.35B．－35C.45D．－45答案B答案解析由题意可知sinαcosα＝－34，sin2α＋cos2α＝1，由此解得sin2α＝925，又α∈π2，π，因此有sinα＝35，sin(α＋π)＝－sinα＝－35.故选B.解析2．(2019·河南模拟)cos26π3的值为()A.12B．－12C.32D．－32答案B答案解析cos26π3＝cosπ－π3＝－cosπ3＝－12.故选B.解析3．记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝()A.1－k2kB．－1－k2kC.k1－k2D．－k1－k2答案B答案解析cos(－80°)＝cos80°＝k，sin80°＝1－k2，tan80°＝1－k2k，tan100°＝－tan80°＝－1－k2k.解析4．(2019·黄冈模拟)已知tanx＝2，则sin2x＋1的值为()A．0B.95C.43D.53答案B答案解析解法一：sin2x＋1＝2sin2x＋cos2xsin2x＋cos2x＝2tan2x＋1tan2x＋1＝95.故选B.解法二：tanx＝2，即sinx＝2cosx，∴sin2x＝4cos2x＝4(1－sin2x)，∴sin2x＝45，∴sin2x＋1＝95.故选B.解析5．(2019·江西上饶模拟)已知sinα－π12＝13，则cosα＋17π12的值等于()A.13B.223C．－13D．－223答案A答案解析由cosα＋17π12＝cosα－π12＋3π2＝sinα－π12＝13.解析6．若点sin5π6，cos5π6在角α的终边上，则sinα的值为()A．－32B．－12C.12D.32答案A答案解析sin5π6＝sinπ－π6＝sinπ6＝12，cos5π6＝cosπ－π6＝－cosπ6＝－32.∴角α的终边上一点的坐标为sin5π6，cos5π6，即12，－32.则由任意角的三角函数定义，可得sinα＝－32.故选A.解析7．设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则()A．abcB．bcaC．cbaD．cab答案C答案解析因为b＝cos55°＝sin35°sin33°，所以ba.因为cos35°1，所以1cos35°1，所以sin35°cos35°sin35°.又因为c＝tan35°＝sin35°cos35°sin35°，所以cb，所以cba.解析8．(2019·黑龙江模拟)已知sin(3π－α)＝－2sinπ2＋α，则sinαcosα＝()A．－25B.25C.25或－25D．－15答案A答案解析因为sin(3π－α)＝－2sinπ2＋α，所以sinα＝－2cosα，所以tanα＝－2，所以sinαcosα＝sinαcosαsin2α＋cos2α＝tanαtan2α＋1＝－2－22＋1＝－25.故选A.解析9.1＋2sinπ－3cosπ＋3化简的结果是()A．sin3－cos3B．cos3－sin3C．±(sin3－cos3)D．以上都不对答案A答案解析sin(π－3)＝sin3，cos(π＋3)＝－cos3，∴原式＝1－2sin3·cos3＝sin3－cos32＝|sin3－cos3|.∵π23π，∴sin30，cos30.∴原式＝sin3－cos3.故选A.解析10．(2019·福建泉州模拟)已知1＋sinαcosα＝－12，则cosαsinα－1的值是()A.12B．－12C．2D．－2答案A答案解析因为1－sin2α＝cos2α，cosα≠0,1－sinα≠0，所以(1＋sinα)(1－sinα)＝cosαcosα，所以1＋sinαcosα＝cosα1－sinα，所以cosα1－sinα＝－12，即cosαsinα－1＝12.故选A.解析11．(2019·雅安模拟)已知sinθ＋cosθ＝43，θ∈0，π4，则sinθ－cosθ的值为()A.23B.13C．－23D．－13答案C答案解析(sinθ＋cosθ)2＝169，∴1＋2sinθcosθ＝169，∴2sinθcosθ＝79，则(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝1－79＝29，可得sinθ－cosθ＝±23.又∵θ∈0，π4，sinθcosθ，∴sinθ－cosθ＝－23.故选C.解析12．(2019·长春模拟)已知sinα＋2cosα＝3，则tanα＝()A.22B.2C．－22D．－2答案A答案解析解法一：∵sinα＋2cosα＝3，∴(sinα＋2cosα)2＝3，即sin2α＋22sinαcosα＋2cos2α＝3，∴sin2α＋22sinαcosα＋2cos2αsin2α＋cos2α＝3，∴tan2α＋22tanα＋2tan2α＋1＝3，即2tan2α－22tanα＋1＝0，解得tanα＝22.故选A.解析解法二：由题意得cosα＝3－sinα20，所以sinα＋2cosα＝sinα＋2cosαsin2α＋cos2α＝tanα＋2tan2α＋1＝3，解得tanα＝22.故选A.解析13．设sinα2＝45，且α是第二象限角，则tanα2的值为________．答案43答案解析因为α是第二象限角，所以α2是第一或第三象限角．①当α2是第一象限角时，有cosα2＝1－sin2α2＝1－452＝35，所以tanα2＝sinα2cosα2＝43；②当α2是第三象限角时，与sinα2＝45矛盾，舍去．综上，tanα2＝43.解析14．(2019·杭州模拟)如果sin(π＋A)＝12，那么cos3π2－A的值是________．答案12答案解析∵sin(π＋A)＝12，∴－sinA＝12.∴cos3π2－A＝－sinA＝12.解析15．(2019·郑州质检)已知cosπ2＋α＝2sinα－π2，则sin3π－α＋cosα＋π5cos5π2－α＋3sin7π2－α的值为________．答案335答案解析因为cosπ2＋α＝2sinα－π2，所以－sinα＝－2cosα，则sinα＝2cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝15.所以sin3π－α＋cosα＋π5cos5π2－α＋3sin7π2－α＝sin3α－cosα5sinα－3cosα＝8cos3α－cosα7cosα＝87·cos2α－17＝335.解析16．(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sinθ＋π4＝35，则tanθ－π4＝________.答案－43答案解析因为sinθ＋π4＝35，所以cosθ－π4＝sinπ2＋θ－π4＝sinθ＋π4＝35，因为θ为第四象限角，所以－π2＋2kπ＜θ＜2kπ，k∈Z，所以－3π4＋2kπ＜θ－π4＜2kπ－π4，k∈Z，所以sinθ－π4＝－1－352＝－45，所以tanθ－π4＝sinθ－π4cosθ－π4＝－43.解析17．(2019·西安检测)已知α为第三象限角，f(α)＝sinα－π2·cos3π2＋α·tanπ－αtan－α－π·sin－α－π.(1)化简f(α)；(2)若cosα－3π2＝15，求f(α)的值．解(1)f(α)＝sinα－π2·cos3π2＋α·tanπ－αtan－α－π·sin－α－π＝－cosα·sinα·－tanα－tanα·sinα＝－cosα.(2)因为cosα－3π2＝15，所以－sinα＝15，从而sinα＝－15.又α为第三象限角，所以cosα＝－1－sin2α＝－265，所以f(α)＝－cosα＝265.答案18．已知tanαtanα－1＝－1，求下列各式的值．(1)sinα－3cosαsinα＋cosα；(2)sin2α＋sinαcosα＋2.解由已知得tanα＝12.(1)sinα－3cosαsinα＋cosα＝tanα－3tanα＋1＝－53.(2)sin2α＋sinαcosα＋2＝sin2α＋sinαcosαsin2α＋cos2α＋2＝tan2α＋tanαtan2α＋1＋2＝122＋12122＋1＋2＝135.答案19．(2019·重庆检测)已知0απ2，若cosα－sinα＝－55，试求2sinαcosα－cosα＋11－tanα的值．解∵cosα－sinα＝－55，∴1－2sinαcosα＝15.∴2sinαcosα＝45.∴(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋45＝95.∵0απ2，∴sinα＋cosα＝355.与cosα－sinα＝－55联立，解得答案cosα＝55，sinα＝255.∴tanα＝2.∴2sinαcosα－cosα＋11－tanα＝45－55＋11－2＝55－95.答案20．是否存在α∈－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cosπ2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．解由sin3π－α＝2cosπ2－β得sinα＝2sinβ，①由3cos(－α)＝－2cos(π＋β)得3cosα＝2cosβ，②∴sin2α＋3cos2α＝2(sin2β＋cos2β)＝2，∴1＋2cos2α＝2，∴cos2α＝12，又α∈－π2，π2，∴cosα＝22，从而α＝π4或－π4，∴当α＝π4时，由①知sinβ＝12，答案由②知cosβ＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，∴当α＝－π4时，由①知sinβ＝－12，与β∈(0，π)矛盾，舍去．∴存在α＝π4，β＝π6，符合题意．答案