2020版高考数学一轮复习 第四篇 平面向量 第2节 平面向量基本定理及其坐标表示课件 文 新人教A

第四篇平面向量(必修4)返回导航第2节平面向量基本定理及其坐标表示最新考纲1．了解平面向量的基本定理及其意义．2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件.返回导航【教材导读】1．平面内任何两个向量都可以做为一组基底吗？提示：不能，共线的两个向量不可以．返回导航2．向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置是否有关？提示：无关．表示向量的有向线段可以自由平移，它的起点，终点随之变化，但此向量的坐标不变．返回导航3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件能否表示为x1x2＝y1y2？提示：不能，因x2，y2有可能为0.返回导航1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．返回导航3．平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量I，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．返回导航(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)．4．平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)；(2)若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)．5．向量共线的充要条件的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．返回导航1．在三角形ABC中，已知A(2，3)，B(8，－4)，点G(2，－1)在中线AD上，且AG→＝2GD→，则点C的坐标是()(A)(－4，2)(B)(－4，－2)(C)(4，－2)(D)(4，2)返回导航B解析：设C(x，y)，则BC中点D8＋x2，y－42，∴AG→＝(0，－4)，GD→＝4＋x2，y－22，由AG→＝2GD→，得x＝－4，y＝－2，故C坐标为(－4，－2)．返回导航2．设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于()(A)5(B)6(C)17(D)26返回导航A解析：因为a∥b，所以1×y＋4＝0，所以y＝－4，所以b＝(－2，－4)，所以3a＋b＝3(1，2)＋(－2，－4)＝(1，2)，所以|3a＋b|＝5.返回导航3．若α和β是一组基底，向量γ＝x·α＋y·β(x、y∈R)，则称(x，y)为向量γ的基底α、β下的坐标．现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，其中p、q的坐标为直角坐标，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为()(A)(2，0)(B)(0，－2)(C)(－2，0)(D)(0，2)返回导航D解析：a＝－2p＋2q＝(2，4)，设a＝xm＋yn＝(y－x，x＋2y)＝(2，4)，∴y－x＝2x＋2y＝4，∴x＝0，y＝2，故所求坐标为(0，2)．返回导航4．下列命题正确的有________(填上正确的命题序号)．①a＝(1，2)，b＝(－12，－1)，则a，b能作为平面向量的一组基底．②a，b不共线，若λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.③向量OA→＝(2，4)，若将OA→向上平移1个单位，则OA→＝(2，5)．④若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1x2＝y1y2.返回导航解析：①中，由于a，b共线，不能作平面向量的基底，错误；②正确；③向量平移后不变，错误；④当x2＝0或y2＝0时，不成立．答案：②返回导航考点一平面向量基本定理及其应用已知▱ABCD的边BC，CD的中点分别是K，L，且AK→＝e1，AL→＝e2，试用e1，e2表示BC→，CD→.返回导航解析：解法一设BC→＝x，CD→＝y，则BK→＝12x，DL→＝－12y.由AB→＋BK→＝AK→，AD→＋DL→＝AL，得－y＋12x＝e1，①x－12y＝e2，②①＋②×(－2)，得12x－2x＝e1－2e2，即x＝－23(e1－2e2)＝－23e1＋43e2，所以BC→＝－23e1＋43e2.同理可得y＝23(－2e1＋e2)，即CD→＝－43e1＋23e2.返回导航解法二如图所示，延长BC，AL，设相交于点E，则△DLA≌△CLE，从而AE→＝2AL→，CE→＝AD→，KE→＝32BC→.返回导航由KE→＝AE→－AK→，得32BC→＝2e2－e1，即BC→＝23(2e2－e1)＝－23e1＋43e2.同理可得CD→＝－43e1＋23e2.返回导航【反思归纳】平面向量运算方法：方法一：通过观察图形直接寻求向量之间的关系．其具体步骤为：第一步，观察待求向量所在的三角形或平行四边形，利用三角形法则或平行四边形法则先将待求向量表示成两个(或多个)相关向量a，b的和或差；第二步，再把向量a，b分别进行分解，直到用基底表示出向量a，b；第三步，将a，b代入第一步中的式子，从而得到结果．返回导航方法二：采用方程思想．其一般步骤为：第一步，把待求向量看作未知量；第二步，根据两个三点共线列出相应的方程；第三步，用解方程的方法求解待求向量．返回导航【即时训练】如图，OC→＝2OP→，AB→＝2AC→，OM→＝mOB→，ON→＝nOA→，若m＝38，那么n等于()(A)12(B)23(C)34(D)45返回导航解析：因为AB→＝2AC→，所以C为AB中点，故OC→＝12OA→＋12OB→＝2OP→.所以OP→＝14OA→＋14OB→.由OM→＝mOB→，ON→＝nOA→，所以OB→＝1mOM→，OA→＝1nON→，所以OP→＝14mOM→＋14nON→，因为M，P，N三点共线，故14m＋14n＝1，当m＝38时，n＝34.故选C.返回导航考点二平面向量的坐标运算(1)设点G为△ABC的重心，若△ABC所在平面内一点P，满足PA→＋2BP→＋2CP→＝0，则|AP→||AG→|的值等于________．(2)在平面直角坐标系中，点O(0，0)，P(6，8)，将向量OP→绕点O按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ→，则点Q的坐标是()(A)(－72，－2)(B)(－72，2)(C)(－46，－2)(D)(－46，2)返回导航解析：(1)根据题意暗示结果能得到定值，因此，可以令三角形为等腰直角三角形(如图)，则根据重心坐标公式得重心G的坐标为(1，1)，根据PA→＋2BP→＋2CP→＝0，可设P(x，y)，则有2(x－3，y)＋2(x，y－3)＝(4x－6，4y－6)＝(x，y)，所以x＝2，y＝2，所以P(2，2)，所以|AP→||AG→|＝2.返回导航(2)设∠xOP＝θ，则由题意知，∠xOQ＝34π＋θ(如图所示)，设点Q的坐标为(x，y)．∵点P的坐标为(6，8)，∴OP→＝(6，8)，且|OP→|＝10，∴cosθ＝610＝35，sinθ＝810＝45.返回导航则cosθ＋34π＝cosθ·cos34π－sinθsin34π＝35×－22－45×22＝－7102，sinθ＋34π＝sinθcos34π＋cosθsin34π＝45×－22＋35×22＝－210.返回导航又∵|OQ→|＝|OP→|＝10，∴x＝10cosθ＋34π＝10×－7102＝－72，y＝10sinθ＋34π＝10×－210＝－2.答案：(1)2(2)A返回导航【反思归纳】向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．返回导航【即时训练】已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，且CM→＝3c，CN→＝－2b.(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量MN→的坐标．返回导航解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，所以－6m＋n＝5，－3m＋8n＝－5，解得m＝－1，n＝－1.返回导航(3)设O为坐标原点，连接OM，ON，OC.因为CM→＝OM→－OC→＝3c，所以OM→＝3c＋OC→＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)，所以M的坐标为(0，20)．又CN→＝ON→－OC→＝－2b.所以ON→＝－2b→＋OC→＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，所以N的坐标为(9，2)，所以MN→＝(9－0，2－20)＝(9，－18)．返回导航考点三平面向量共线的坐标表示(1)平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)，回答下列问题：①求满足a＝mb＋nc的实数m、n；②若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；③若向量d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝5，求d.返回导航(2)已知向量OA→＝(1，－3)，OB→＝(2，－1)，OC→＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是()(A)k＝－2(B)k＝12(C)k＝1(D)k＝－1(3)设向量a，b满足|a|＝25，b＝(2，1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．返回导航解析：(1)①由题意得(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)＝(－m＋4n，2m＋n)，∴－m＋4n＝3，2m＋n＝2，得m＝59，n＝89.②∵a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，又∵(a＋kc)∥(2b－a)，由向量基本定理得：2×(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0，∴k＝－1613.返回导航③设向量d坐标为(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2，4)．由题意知4（x－4）－2（y－1）＝0，（x－4）2＋（y－1）2＝5，∴x＝3，y＝－1，或x＝5，y＝3，∴d的向量坐标为(3，－1)或(5，3)．返回导航(2)若点A，B，C不能构成三角形，则向量AB→，AC→共线，因为AB→＝OB→－OA→＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC→＝OC→－OA→＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，所以1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1.故选C.(3)因为b＝(2，1)，且a与b的方向相反，所以设a＝(2λ，λ)(λ0)．因为|a|＝25.所以4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2.所以a＝(－4，－2)．返回导航【反思归纳】(1)向量共线的两种表示形式设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b⇒a＝λb(b≠0)；②a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.(2)两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．返回导航【即时训练】已知向量AB→＝(2，x－1)，CD→＝(1，－y)(xy0)，且AB→∥CD→，则2x＋1y的最小值等于()(A)2(B)4(C)8(D)16返回导航解析：由AB→∥CD→，得x－1＋2y＝0，即x＋2y＝1.又xy0，则2x＋1y＝(2x＋1y)(x＋2y)＝4＋4yx＋xy≥4＋24＝8.(当且仅当x