2020版高考数学一轮复习 第十一章 计数原理、概率、随机变量及分布列 第9讲 离散型随机变量的均值

配套课时作业1．已知ξ的分布列则在下列式：①E(ξ)＝－13；②D(ξ)＝2327；③P(ξ＝0)＝13中，正确的个数是()A．0B．1C．2D．3答案C答案解析E(ξ)＝(－1)×12＋1×16＝－13，故①正确．D(ξ)＝－1＋132×12＋0＋132×13＋1＋132×16＝59，故②不正确．由分布列知③正确．解析2．(2019·广东佛山模拟)已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤ξ≤4)＝0.6826，则P(ξ4)＝()A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585解析由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P(ξ4)＝1－P2≤ξ≤42＝0.5－12×0.6826＝0.1587.故选B.解析答案B答案3．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4发子弹，则命中后尚余子弹数目的均值为()A．2.44B．3.376C．2.376D．2.4解析X＝k表示第(4－k)次命中目标，P(X＝3)＝0.6，P(X＝2)＝0.4×0.6，P(X＝1)＝0.42×0.6，P(X＝0)＝0.43×(0.6＋0.4)，∴E(X)＝3×0.6＋2×0.4×0.6＋1×0.42×0.6＝2.376.解析答案C答案4．(2019·大庆模拟)已知ξ～B4，13，并且η＝2ξ＋3，则方差D(η)＝()A.329B.89C.439D.599解析由题意知，D(ξ)＝4×13×1－13＝89，∵η＝2ξ＋3，∴D(η)＝4D(ξ)＝4×89＝329.解析答案A答案5．(2019·福建厦门模拟)某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100B．200C．300D．400解析将“没有发芽的种子数”记为ξ，则ξ＝1,2,3，…，1000，由题意可知ξ～B(1000,0.1)，所以E(ξ)＝1000×0.1＝100，又因为X＝2ξ，所以E(X)＝2E(ξ)＝200.故选B.解析答案B答案6．2019年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩X～N(100，σ2)(试卷满分为150分)．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为()A．80B．100C．120D．200答案D答案解析∵X～N(100，σ2)，∴其正态曲线关于直线X＝100对称，又成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，由对称性知成绩不低于120分的学生人数约为总人数的12×1－34＝18，∴此次考试成绩不低于120分的学生人数约为18×1600＝200.故选D.解析7．(2019·潍坊统考)某篮球队对队员进行考核，规则是：①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为23，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的期望是()A．3B.83C．2D.53答案B答案解析每个轮次甲不能通过的概率为13×13＝19，通过的概率为1－19＝89，因为甲3个轮次通过的次数X服从二项分布B3，89，所以X的数学期望为3×89＝83.解析8．已知某口袋中有3个白球和a个黑球(a∈N*)，现从中随机取出一球，再放入一个不同颜色的球(即若取出的是白球，则放入一个黑球；若取出的是黑球，则放入一个白球)，记换好球后袋中白球的个数是ξ.若E(ξ)＝3，则D(ξ)＝()A.12B．1C.32D．2答案B答案解析由题意得ξ的所有可能取值为2,4，且P(ξ＝2)＝33＋a，P(ξ＝4)＝a3＋a，∴E(ξ)＝2×33＋a＋4×a3＋a＝3，解得a＝3，∴P(ξ＝2)＝12，P(ξ＝4)＝12，∴D(ξ)＝(2－3)2×12＋(4－3)2×12＝1.故选B.解析9．已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如下表，则m的值为()A.13B.14C.16D.18答案A答案解析∵η＝12ξ＋7，则E(η)＝12E(ξ)＋7，即E(η)＝121×14＋2×m＋3×n＋4×112＋7＝34，∴2m＋3n＝53，①又14＋m＋n＋112＝1，∴m＋n＝23，②由①②，可解得m＝13.解析10．(2019·广东茂名模拟)设X～N(1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是()(注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σXμ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σXμ＋2σ)＝95.44%.)A．7539B．6038C．7028D．6587答案D答案解析∵X～N(1,1)，∴μ＝1，σ＝1.∵P(μ－σXμ＋σ)＝68.26%，∴P(0X2)＝68.26%，则P(1X2)＝34.13%，∴阴影部分的面积为1－0.3413＝0.6587.∴向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是10000×0.6587＝6587.故选D.解析11．把分别标有1,1,2编号的3个小球随机放到4个编号分别为A，B，C，D的盒子中，记ξ为落在A盒中所有小球编号的数字之和(若盒中无球，则数字之和为0)，则数学期望E(ξ)＝()A．1B．2C.13D.12答案A答案解析由题意得ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，且P(ξ＝0)＝3343＝2764，P(ξ＝1)＝2×3243＝932，P(ξ＝2)＝3＋3243＝316，P(ξ＝3)＝2×343＝332，P(ξ＝4)＝143＝164.∴ξ的分布列为∴E(ξ)＝0×2764＋1×932＋2×316＋3×332＋4×164＝1.解析12．甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为X，则E(X)为()A．1B．1.5C．2D．2.5解析X可取0,1,2,3，P(X＝0)＝C36C36×C36＝120，P(X＝1)＝C16×C25×C23C36×C36＝920，P(X＝2)＝C26×C14×C13C36×C36＝920，P(X＝3)＝C36C36×C36＝120，故E(X)＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝1.5.解析答案B答案13．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙3个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且3个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝112，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.答案53答案解析随机变量X的可能取值是0,1,2,3.由题意，知P(X＝0)＝13(1－p)2＝112，∴p＝12，于是P(X＝1)＝23×12×12＋13×12×12＋13×12×12＝13，P(X＝3)＝23×12×12＝16，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)＝1－112－13－16＝512，∴数学期望E(X)＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.解析14．设p为非负实数，随机变量X的概率分布列为则E(X)的最大值为________，D(X)的最大值为________．答案321答案解析由0≤12－p≤1，0≤p≤1，得0≤p≤12.于是E(X)＝0×12－p＋p×1＋2×12＝p＋1，显然E(X)的最大值为12＋1＝32；D(X)＝(0－p－1)2·12－p＋(1－p－1)2·p＋(2－p－1)2·12＝－p＋122＋54，∴当p＝0时，D(X)取最大值1.解析15．(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.解析由题意得X～B(100,0.02)，∴D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.解析答案1.96答案16．某省实验中学高三共有学生600人，一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N(100，σ2)，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的13，则此次考试成绩不低于120分的学生约有________人．答案100答案解析∵数学考试成绩ξ～N(100，σ2)，作出正态分布图象，可以看出，图象关于直线x＝100对称．显然P(80≤ξ≤100)＝P(100≤ξ≤120)＝13；∴P(ξ≤80)＝P(ξ≥120)．又∵P(ξ≤80)＋P(ξ≥120)＝1－P(80≤ξ≤100)－P(100≤ξ≤120)＝13，∴P(ξ≥120)＝12×13＝16，∴成绩不低于120分的学生约为600×16＝100(人)．解析17．(2018·临沂模拟)构建的“一带一路”经济带的发展规划已经得到了越来越多相关国家的重视和参与．岳阳市旅游局顺潮流、乘东风，闻讯而动，决定利用旅游资源优势，撸起袖子大干一场．为了了解游客的情况，以便制定相应的策略，在某月中随机抽取了甲、乙两个景点各10天的游客数，画出茎叶图如图：(1)若景点甲中的数据的中位数是125，景点乙中的数据的平均数是124，求x，y的值；(2)若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据．今从这段时期内任取4天，记其中游客数超过120人的天数为ξ，求概率P(ξ≤2)；(3)现从图中的共20天的数据中任取2天的数据(甲、乙两景点中各取1天)，记其中游客数不低于115且不高于125人的天数为η，求η的分布列和期望．解(1)由题意知x＝3，y＝4.(2)由题意知，因为景点甲的每一天的游客数超过120人的概率为610＝35，任取4天，即是进行了4次独立重复试验，其中有ξ次发生，故随机变量ξ服从二项分布，则P(ξ≤2)＝C04350·1－354＋C1435253＋C24352252＝328625.答案(3)从图中看出：景点甲的数据中符合条件的只有1天，景点乙的数据中符合条件的有4天，所以在景点甲中被选出的概率为110，在景点乙中被选出的概率为410.由题意知，η的所有可能的取值为0,1,2，则P(η＝0)＝910×610＝2750，P(η＝1)＝110×610＋910×410＝2150，答案P(η＝2)＝110×410＝125，所得分布列为E(η)＝0×2750＋1×2150＋2×125＝12.答案18．(2019·重庆模拟)某企业对新扩建的厂区进行绿化，移栽了银杏、垂柳两种大树各2株．假定银杏移栽的成活率为34，垂柳移栽的成活率为23，且各株大树是否成活互不影响．(1)求两种大树各成活1株的概率；(2)设ξ为两种大树成活的株数之和，求随机变量ξ的分布列及数学期望．解(1)记“银杏大树成活1株”为事件A，“垂柳大树成活1株”为事件B，则“两种大树各成活1株”为事件AB.由题可知P(A)＝C12×34×14＝38，P(B)＝C12×23×13＝49，由于事件A与B相互独立，所以P(AB)＝P(A)·P(B)＝16.(2)由题意知ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4.P(ξ＝0)＝142×132＝1144；答案P(ξ＝1)＝C12×34×14×132＋C12×23×13×142＝572；P(ξ＝2)＝16＋342×132＋142×232＝37144；P(ξ＝3)＝C12×34×14×232＋C12×23×13×342＝512；P(ξ＝4)＝342×