2020版高考数学一轮复习 第十一章 计数原理、概率、随机变量及分布列 第7讲 离散型随机变量及分布

第7讲离散型随机变量及分布列基础知识整合1．离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的随机变量，称为□01随机变量□02离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则下表称为离散型随机变量X的，简称为X的，有时为了表达简单，也用等式表示X的分布列．Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn□03概率分布列□04分布列□05P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n(2)离散型随机变量的分布列的性质①；②.□06pi≥0(i＝1,2，…，n)□07i＝1npi＝13．常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布若随机变量X服从两点分布，即其分布列为(2)超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0,1,2，…，m，其中m＝，且，称分布列为超几何分布列．□09min{M，n}□10n≤N，M≤N，n，M，N∈N*1．随机变量的线性关系若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量．2．分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．(2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．1．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝12k，k＝1,2，…，则P(2X≤4)等于()A.316B.14C.116D.516解析P(2X≤4)＝P(x＝3)＋P(x＝4)＝123＋124＝316.解析答案A答案2．(2019·山西联考)从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率是()A.3235B.1235C.335D.235解析设随机变量X表示取出次品的个数，X服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3，它的可能的取值为0,1,2，相应的概率为P(X＝1)＝C12C213C315＝1235.解析答案B答案3．(2019·淄博一中模拟)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于()A．0B.13C.12D.23解析设P(ξ＝1)＝p，则P(ξ＝0)＝1－p.依题意知，p＝2(1－p)，解得p＝23.故P(ξ＝0)＝1－p＝13.解析答案B答案4．(2019·新疆乌鲁木齐模拟)口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为()A.13B.23C．2D.83解析因为口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，所以取出的球的最大编号X的可能取值为2,3，所以P(X＝2)＝1C23＝13，P(X＝3)＝C12C11C23＝23，所以E(X)＝2×13＋3×23＝83.解析答案D答案5．(2018·安康质检)设随机变量X的概率分布列为则P(|X－3|＝1)＝________.解析由13＋m＋14＋16＝1，解得m＝14，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝14＋16＝512.解析答案512答案6．已知随机变量ξ只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．解析设ξ取x1，x2，x3时的概率分别为a－d，a，a＋d，则(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，所以a＝13，由13－d≥0，13＋d≥0，得－13≤d≤13.解析答案－13，13答案核心考向突破考向一离散型随机变量分布列的性质例1(1)(2019·河南南阳联考)随机变量ξ的概率分布规律为P(X＝n)＝ann＋1(n＝1,2,3,4)，其中a为常数，则P54X134的值为()A.23B.34C.45D.516答案D答案解析∵P(X＝n)＝ann＋1(n＝1,2,3,4)，∴a2＋a6＋a12＋a20＝1，∴a＝54.∴P54X134＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝54×16＋54×112＝516.解析(2)(2018·浙江高考)设0p1，随机变量ξ的分布列是则当p在(0,1)内增大时，()A．D(ξ)减小B．D(ξ)增大C．D(ξ)先减小后增大D．D(ξ)先增大后减小答案D答案解析∵E(ξ)＝0×1－p2＋1×12＋2×p2＝p＋12，∴D(ξ)＝1－p20－p－122＋121－p－122＋p22－p－122＝－p2＋p＋14，∵12∈(0,1)，∴D(ξ)先增大后减小，因此选D.解析触类旁通离散型随机变量分布列性质的应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．2求随机变量在某个范围内取值的概率时，根据分布列，将所求范围内随机变量的各个取值的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.即时训练1.(2019·西安质检)已知随机变量ξ的分布列如下：其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为()A.16B.13C.12D.56答案B答案解析由题意知a，b，c∈[0,1]，且2b＝a＋c，a＋b＋c＝1，解得b＝13，又函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，故对于方程x2＋2x＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P(ξ＝1)＝13.解析2．若随机变量ξ的分布列如下表，则E(ξ)＝()A．q2＋12B．q2－12C．1－2D．1＋2答案C答案解析由离散型随机变量分布列的性质，得0≤1－2q≤1，q2≤1，12＋1－2q＋q2＝1，解得q＝1－22，∴E(ξ)＝－1×12＋0×(1－2q)＋1×q2＝q2－12＝1－2.解析考向二求离散型随机变量的分布列角度1与互斥事件有关的分布列例2大型亲子真人秀《爸爸去哪儿》(第五季)暖心回归，节目组要求五位明星爸爸在72小时的户外体验中，单独照顾子女的饮食起居，共同完成节目组设置的一系列任务．经过一季13期的录制，六位萌娃Neinei和Max、嗯哼、Jasper、小泡芙、小山竹收获了一大批的粉丝，同时也带动各自星爸的事业发展．在第五季第8期的节目录制中，节目组请来了萌娃的妈妈们，并让萌娃和妈妈们一起玩“选妈妈”游戏：有四位妈妈分别躲在四个外观一模一样的花轿里让萌娃们去猜哪一个花轿里是自己的妈妈．假设各位萌娃都是随机选择，选到每一位妈妈都是等可能的．(1)已知嗯哼的妈妈在某个花轿里，如果给嗯哼两次机会单独去玩“选妈妈”游戏，求他选到自己妈妈的概率；(2)如果四位妈妈所对应的四位萌娃一起选择，一人只选一个花轿，而且每个人选的花轿都不相同，记恰好选到自己妈妈的人数为X，求X的分布列．解(1)记“嗯哼选到自己妈妈”为事件A，则P(A)＝14＋34×13＝12.(2)由题意知X的所有可能取值为0,1,2,4，P(X＝4)＝1A44＝124，P(X＝2)＝C24A44＝14，P(X＝1)＝C14×2A44＝13，P(X＝0)＝1－P(X＝4)－P(X＝2)－P(X＝1)＝38.所以随机变量X的分布列为答案角度2与独立事件有关的分布列例3(2019·正定模拟)某中学根据2006～2018年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”“棋类”“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”“棋类”“国学”三个社团的概率依次为m、13、n，已知三个社团他都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34，且mn.(1)求m与n的值；(2)该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列．解(1)依题，13mn＝124，1－1－m1－131－n＝34，解得m＝12，n＝14.(2)令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为随机变量X，则X的值可以为0,1,2,3,4,5,6.答案而P(X＝0)＝12×23×34＝14；P(X＝1)＝12×23×34＝14；P(X＝2)＝12×13×34＝18；P(X＝3)＝12×23×14＋12×13×34＝524；P(X＝4)＝12×23×14＝112；P(X＝5)＝12×13×14＝124；P(X＝6)＝12×13×14＝124.X的分布列为：答案触类旁通求随机变量的分布列的三个步骤(1)找：找出随机变量ξ的所有可能的取值xi(i＝1,2，…，n)，并确定ξ＝xi的意义．2求：借助概率的有关知识求出随机变量ξ取每一个值的概率Pξ＝xi＝pii＝1，2，…，n.3列：列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质.即时训练3.已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列．解(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A)＝A12A13A25＝310.(2)X的可能取值为200,300,400.P(X＝200)＝A22A25＝110，P(X＝300)＝A33＋C12C13A22A35＝310，P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－110－310＝35.故X的分布列为答案4．某校首届安琪杯教职工运动会上有一个扑克小游戏，游戏规则如下：甲、乙双方每局比赛均从5张扑克牌(3张红桃A,2张黑桃A)中轮流抽取1张，抽取到第2张黑桃A的人获胜，并结束该局比赛．每三局比赛为一轮．(1)若在第一局比赛中甲先抽牌，求甲获胜的概率；(2)若在一轮比赛中规定：第一局由甲先抽牌，并且上一局比赛输的人在下一局比赛先抽，每一局比赛先抽牌并获胜的人得1分，后抽牌并获胜的人得2分，未获胜的人得0分．求此轮比赛中甲得分X的概率分布列．解(1)设“在第一局比赛中甲先抽牌，甲获胜”为事件M，甲先抽牌，甲获胜等价于把这5张牌进行排序，第二张黑桃A排在3号位置或5号位置，共有2＋4＝6(种)，而2张黑桃A的位置共有C25＝10(种)．所以P(M)＝2＋410＝35.答案(2)甲得分X的所有可能取值为0,1,2,3,5.由(1)知在一局比赛中，先抽牌并获胜(后抽牌并输)的概率为35，则后抽牌并获胜(先抽牌并输)的概率为25.当X＝0时，即三局甲都输，P(X＝0)＝25×25×25＝8125；当X＝1时，即第一局甲胜，二、三局甲输或第二局甲胜，一、三局甲输或第三局甲胜，一、二局甲输，P(X＝1)＝35×35×25＋25×35×35＋25×25×35＝48125；当X＝2时，即第一局甲胜，第二局甲输，第三局甲胜，P(X＝2)＝35×35×35＝27125；答案当X＝3时，即第一局甲输，二、三两局甲都胜或者第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲输，P(X＝3)＝25×35×25＋35×25×35＝30125＝625；当X＝5时，即三局甲都胜，P(X＝5)＝35×25×25＝12125.所以此轮比赛中甲得分X的概率分布列为答案考向三超几何分布问题例4(2017·山东高考)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A