2020版高考数学一轮复习 第十一章 计数原理、概率、随机变量及分布列 第6讲 几何概型配套课时作业

配套课时作业1．(2019·重庆一中模拟)在[－2,3]上随机取一个数x，则(x＋1)(x－3)≤0的概率为()A.25B.14C.35D.45解析由(x＋1)(x－3)≤0，得－1≤x≤3.由几何概型得所求概率为45.解析答案D答案2．(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.710B.58C.38D.310解析行人在红灯亮起的25秒内到达该路口，即满足至少需要等待15秒才出现绿灯，根据几何概型的概率公式知所求事件的概率P＝2540＝58.故选B.解析答案B答案3．(2019·湖南长沙联考)如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内的圆锥外面的鱼吃到”的概率是()A．1－π4B.π12C.π4D．1－π12解析鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π.所以“鱼食能被鱼缸内的圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－π4.故选A.解析答案A答案4．(2019·广西质检)已知P是△ABC所在平面内一点，且PB→＋PC→＋2PA→＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是()A.14B.13C.12D.23答案C答案解析以PB，PC为邻边作平行四边形PBDC，连接PD交BC于点O，则PB→＋PC→＝PD→.∵PB→＋PC→＋2PA→＝0，∴PB→＋PC→＝－2PA→，PD→＝－2PA→，由此可得，P是BC边上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于点A到BC的距离的12，∴S△PBC＝12S△ABC，∴将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为P＝S△PBCS△ABC＝12.解析5．(2019·河南大联考)已知实数m∈[0,1]，n∈[0,2]，则关于x的一元二次方程4x2＋4mx－n2＋2n＝0有实数根的概率是()A.1－π4B.π4C.π－32D.π2－1答案A答案解析关于x的一元二次方程4x2＋4mx－n2＋2n＝0有实数根，Δ＝16m2－16(－n2＋2n)≥0得m2＋(n－1)2≥1，如图所示，长方形面积为2，扇形面积为π2，图中白色部分是满足题意的点集合区域，故概率为2－π22＝1－π4.故选A.解析6．(2019·辽宁模拟)在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为()A.16B.13C.23D.45答案C答案解析设AC＝xcm(0x12)，则CB＝(12－x)cm，则矩形面积S＝x(12－x)＝12x－x232，即(x－8)(x－4)0，解得0x4或8x12，在数轴上表示为由几何概型概率公式，得概率为812＝23.故选C.解析7．(2019·山东威海模拟)如图，等腰直角三角形的斜边长为22，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M(图中阴影部分)，若在此三角形内随机取一点，则此点取自区域M的概率为()A.14B.π8C.π4D．1－π4解析直角三角形的面积S＝12×2×2＝2，因为三角形的内角和为π，所以三个扇形的面积和为12×π×12＝π2，可得阴影部分的面积为2－π2，点落在区域M内的概率为P＝2－π22＝1－π4.解析答案D答案8．(2019·江西信丰测试)已知函数f(x)＝3sinx＋3cosx，当x∈[0，π]时，f(x)≥3的概率为()A.13B.12C.15D.14解析f(x)＝3sinx＋3cosx＝23sinx＋π3，∵x∈[0，π]，∴x＋π3∈π3，4π3，令f(x)≥3，得sinx＋π3≥12，得π3≤x＋π3≤5π6，∴0≤x≤π2，∴f(x)≥3的概率为12.解析答案B答案9．(2019·长春模拟)如图，扇形AOB的圆心角为120°，点P在弦AB上，且AP＝13AB，延长OP交弧AB于点C，现向扇形AOB内投一点，则该点落在扇形AOC内的概率为()A.14B.13C.27D.38解析设OA＝3，则AB＝33，AP＝3，由余弦定理可求得OP＝3，∠AOP＝30°，所以扇形AOC的面积为3π4，扇形AOB的面积为3π，从而所求概率为3π43π＝14.解析答案A答案10．(2019·铁岭模拟)已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为()A.16B.13C.12D.23答案C答案解析如图，当BE＝1时，∠AEB为直角，则点D在线段BE(不包含B，E点)上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝4时，∠BAF为直角，则点D在线段CF(不包含F点)上时，△ABD为钝角三角形．所以△ABD为钝角三角形的概率为1＋26＝12.解析11．(2019·河南洛阳尖子生第一次联考)如图，圆O：x2＋y2＝π2内的曲线y＝sinx，x∈[－π，π]与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，往圆O内随机投一个点A，则点A落在区域M内的概率是()A.4π2B.4π3C.2π2D.2π3答案B答案解析由题意知圆O的面积为π3，根据图形的对称性得区域M的面积为20πsinxdx＝－2cosxπ0＝4，由几何概型的概率计算公式可得，点A落在区域M内的概率为P＝4π3.故选B.解析12．如图，正四棱锥S－ABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为________．答案12π答案解析设球的半径为R，则所求的概率为P＝V锥V球＝13×12×2R×2R×R43πR3＝12π.解析13．(2019·福建模拟)如图所示，在边长为1的正方形OABC中，任取一点，则点P恰好取自阴影部分的概率为________．答案16答案解析解析