2020版高考数学一轮复习 第十一章 计数原理、概率、随机变量及分布列 第3讲 二项式定理课件 理

第3讲二项式定理基础知识整合1．二项式定理的内容(1)(a＋b)n＝．(2)第r＋1项，Tr＋1＝.(3)第r＋1项的二项式系数为．□01C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)□02Crnan－rbr□03Crn(r＝0,1，…，n)2．二项式系数的性质(1)0≤k≤n时，Ckn与Cn－kn的关系是．(2)二项式系数先增后减中间项最大且n为偶数时第项的二项式系数最大，最大为，当n为奇数时第项的二项式系数最大，最大为.□04相等□05n2＋1□07n－12＋1或n＋12＋1(3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝，C0n＋C2n＋C4n＋…＝，C1n＋C3n＋C5n＋…＝.□092n□102n－1□112n－11．注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题．2．解题时，要注意区别二项式系数和项的系数的不同、项数和项的不同．3．切实理解“常数项”“有理项(字母指数为整数)”“系数最大的项”等概念．1．(2018·全国卷Ⅲ)x2＋2x5的展开式中x4的系数为()A．10B．20C．40D．80解析由题可得Tr＋1＝Cr5(x2)5－r2xr＝Cr5·2r·x10－3r.令10－3r＝4，则r＝2，所以Cr5·2r＝C25×22＝40.故选C.解析答案C答案2．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为()A．9B．8C．7D．6解析令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.解析答案B答案3．(x－y)(x＋y)5的展开式中x2y4的系数为()A．－10B．－5C．5D．10解析(x＋y)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr5·x5－r·yr，令5－r＝1，得r＝4，令5－r＝2，得r＝3，∴(x－y)(x＋y)5的展开式中x2y4的系数为C45×1＋(－1)×C35＝－5.故选B.解析答案B答案4．设(5x－x)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M－N＝240，则展开式中x3的系数为()A．500B．－500C．150D．－150解析N＝2n，令x＝1，则M＝(5－1)n＝4n＝(2n)2.∴(2n)2－2n＝240,2n＝16，n＝4.展开式中第r＋1项Tr＋1＝Cr4·(5x)4－r·(－x)r＝(－1)r·Cr4·54－r·x4－r2.令4－r2＝3，即r＝2，此时C24·52·(－1)2＝150.解析答案C答案5．(2019·绍兴模拟)若ax2＋1x5的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________.解析解析答案－2答案6．(2019·南昌模拟)(1＋x＋x2)x－1x6的展开式中的常数项为________．解析x－1x6的通项公式为Tr＋1＝Cr6x6－2r(－1)r，所以(1＋x＋x2)x－1x6的常数项为Cr6x6－2r(－1)r(当r＝3时)与Cr6x6－2r(－1)r(当r＝4时)之和，所以常数项为C36(－1)3＋C46(－1)4＝－20＋15＝－5.解析答案－5答案核心考向突破考向一求展开式中的特定项或特定系数例1(1)x－13x18的展开式中含x15的项的系数为()A．153B．－153C．17D．－17答案C答案解析解析(2)(2019·山东枣庄模拟)若(x2－a)x＋1x10的展开式中x6的系数为30，则a等于()A.13B.12C．1D．2答案D答案解析x＋1x10展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr10·x10－r·1xr＝Cr10·x10－2r，令10－2r＝4，解得r＝3，所以x4项的系数为C310；令10－2r＝6，解得r＝2，所以x6项的系数为C210，所以(x2－a)x＋1x10的展开式中x6的系数为C310－aC210＝30，解得a＝2.故选D.解析(3)(2018·浙江高考)二项式3x＋12x8的展开式的常数项是________．解析二项式3x＋12x8的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr8(3x)8－r12xr＝Cr8·12r·x8－4r3，令8－4r3＝0得r＝2，故所求的常数项为C28·122＝7.解析答案7答案触类旁通即时训练1.(2019·广州调研)x－12x9的展开式中x3的系数为()A．－212B．－92C.92D.212答案A答案解析二项展开式的通项Tr＋1＝Cr9x9－r－12xr＝－12rCr9x9－2r，令9－2r＝3，得r＝3，展开式中x3的系数为－123C39＝－18×9×8×73×2×1＝－212.故选A.解析2．(2019·河南信阳模拟)(x2＋1)1x－25的展开式的常数项是()A．5B．－10C．－32D．－42解析由于1x－25的通项为Cr5·1x5－r·(－2)r＝Cr5(－2)r·xr－52，故(x2＋1)·1x－25的展开式的常数项是C15·(－2)＋C55(－2)5＝－42.故选D.解析答案D答案3．已知ax－x29的展开式中x3的系数为94，则a＝________.解析ax－x29的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr9ax9－r·－x2r＝(－1)r·a9－r·2－r2·Cr9·x32r－9.令32r－9＝3，得r＝8，则(－1)8·a·2－4·C89＝94，解得a＝4.解析答案4答案考向二二项式系数与各项的系数问题角度1二项式展开式中系数的和例2(1)(2019·金华模拟)已知x3＋2xn的展开式的各项系数和为243，则展开式中x7的系数为()A．5B．40C．20D．10答案B答案解析由x3＋2xn的展开式的各项系数和为243，得3n＝243，即n＝5，∴x3＋2xn＝x3＋2x5，则Tr＋1＝Cr5·(x3)5－r·2xr＝2r·Cr5·x15－4r，令15－4r＝7，得r＝2，∴展开式中x7的系数为22×C25＝40.故选B.解析(2)已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝________，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝________，a2＋a4＋a6＝________.解析令x＝0，得a0＝1.令x＝1，得－1＝a0＋a1＋a2＋…＋a7.①又∵a7＝C77(－2)7＝(－2)7，∴a1＋a2＋…＋a6＝－1－a0－a7＝126.解析答案12621871092答案令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37＝2187.②①＋②2，得a0＋a2＋a4＋a6＝1093，∴a2＋a4＋a6＝1092.解析触类旁通求二项式系数和的常用方法是赋值法(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．即时训练4.(2019·黄冈质检)若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝()A．284B．356C．364D．378答案C答案解析令x＝0，则a0＝1；令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36①；令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a12＝1②.①②两式左右分别相加，得2(a0＋a2＋…＋a12)＝36＋1＝730，所以a0＋a2＋…＋a12＝365，又a0＝1，所以a2＋a4＋…＋a12＝364.解析5．(2019·郑州一测)在x＋3xn的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为________．答案90答案解析令x＝1，则x＋3xn＝4n，所以x＋3xn的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以4n2n＝2n＝32，解得n＝5.二项展开式的通项Tr＋1＝Cr5x5－r3xr＝Cr53rxr5－32，令5－32r＝2，得r＝2，所以x2的系数为C2532＝90.解析角度2二项式系数的最值问题例3(1)(2019·广东广州模拟)已知二项式2x2－1xn的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含1x项的系数是()A．－84B．－14C．14D．84答案A答案解析由二项式2x2－1xn的展开式中所有二项式系数的和是128，得2n＝128，即n＝7，∴2x2－1xn＝2x2－1x7，则Tr＋1＝Cr7·(2x2)7－r·－1xr＝(－1)r·27－r·Cr7·x14－3r.令14－3r＝－1，得r＝5.∴展开式中含1x项的系数是－4×C57＝－84.故选A.解析(2)(2019·安徽马鞍山模拟)二项式3x＋13xn的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为()A．3B．5C．6D．7答案D答案解析根据3x＋13xn的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20，∴3x＋13xn的展开式的通项为Tr＋1＝Cr20·(3x)20－r·13xr＝(3)20－r·Cr20·x20－4r3，要使x的指数是整数，需r是3的倍数，∴r＝0,3,6,9,12,15,18，∴x的指数是整数的项共有7项．故选D.解析触类旁通求二项式系数最大项(1)如果n是偶数，那么中间一项(第n2＋1项)的二项式系数最大．即时训练6.已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A．212B．211C．210D．29解析因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，所以C3n＝C7n，解得n＝10，所以根据二项式系数和的相关公式可知，奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.解析答案D答案7．若x＋2x2n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是()A．180B．120C．90D．45解析只有第6项的二项式系数最大，可知n＝10，于是展开式通项为Tr＋1＝Cr10(x)10－r2x2r＝2rCr10·x5－5r2，令5－5r2＝0，得r＝2，所以常数项为22C210＝180.故选A.解析答案A答案角度3项的系数的最值问题例4(1)(2019·承德模拟)若(1＋2x)6的展开式中第二项大于它的相邻两项，则x的取值范围是()A.112x15B.16x15C.112x23D.16x25答案A答案解析∵C162xC06，C162xC262x2，∴x112，0x15，即112x15.解析(2)若x3＋1x2n的展开式中第6项系数最大，则不含x的项为()A．210B．10C．462D．252答案A答案解析∵第6项系数最大，且项的系数为二项式系数，∴n的值可能是9,10,11.设常数项为Tr＋1＝Crnx3(n－r)x－2r＝Crnx3n－5r，则3n－5r＝0，其中n＝9,10,11，r∈N，∴n＝10，r＝6，故不含x的项为T7＝C610＝210.解析触类旁通求展开式系数最大项如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开