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第2讲排列与组合基础知识整合1．排列与排列数(1)排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作.□01按照一定的顺序排成一列□02所有不同排列的个数□03Amn2．组合与组合数(1)组合从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作.□04合成一组□05所有不同组合的个数□06Cmn3.排列数、组合数的公式及性质解决排列组合问题的“四项基本原则”(1)特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置．(2)先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列时，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列．(3)正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题．(4)先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元素多于位置，这时要先进行分组，再进行分配．1．(2019·厦门模拟)5名男同学、6名女同学排成一排，要求男同学顺序一定且女同学顺序也一定，不同排法种数为()A．C511B．2C511C.A511A55D.A611A66答案A答案解析共11名同学排成一排有11个位置．从11个位置中选出5个位置，共有C511种选法，每一种选法的5个位置让男同学按着一定顺序去排，余下6个位置让女同学按一定顺序去排．解析2．若原来站成一排的4个人重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置上，则不同的站法种数为()A．4B．8C．12D．24解析根据题意，分两步考虑：第一步，先从4个人里选1人，其位置不变，其他3人都不站在自己原来的位置上，站法有C14＝4(种)；第二步，对于都不站在自己原来的位置上的3个人，有2种站法．故不同的站法共有4×2＝8(种)，故选B.解析答案B答案3．若某单位要邀请10位教师中的6位参加一个会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有()A．84种B．98种C．112种D．140种解析由题意分析不同的邀请方法有：C12C58＋C68＝112＋28＝140(种)．解析答案D答案4．(2019·衡阳质检)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有()A．12种B．24种C．30种D．36种解析第一步选出2人选修课程甲有C24＝6种方法；第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有2×2种选法，根据分步乘法计数原理，有6×4＝24种选法．解析答案B答案5．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有()A．30种B．36种C．60种D．72种答案A答案解析(1)若甲乙所选2门课程都不相同，则有C24C22＝6种方法；(2)若甲乙所选2门课程有1门相同，先从4门课程中选择1门相同的课程共有C14种方法，再从剩余的3门课程中选择2门课程分配给甲乙两人共有A23种方法，故此类共有C14A23种方法，所以一共有C24C22＋C14A23＝30种方法．解析6．(2019·合肥调研)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有()A．250个B．249个C．48个D．24个解析①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A34＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A34＝24(个)．由分类加法计数原理得所有满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)．故选C.解析答案C答案核心考向突破考向一排列问题例1(1)(2019·佛山模拟)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有()A．144个B．120个C．96个D．72个答案B答案解析当五位数的万位为4时，个位可以是0,2，此时满足条件的偶数共有C12A34＝48个；当五位数的万位为5时，个位可以是0,2,4，此时满足条件的偶数共有C13A34＝72个，所以比40000大的偶数共有48＋72＝120个．选B.解析(2)某班要排出语文、数学、政治、英语、体育、艺术这六节课在周五的课程表，要求数学排在上午(前四节)，体育排在下午(后两节)，则不同的排法种数是()A．720B．120C．144D．192解析由题意要求数学排在上午(前四节)，体育排在下午(后两节)，排法有C14C12＝8(种)，然后排其余的4门课，排法有A44＝24(种)，所以不同的排法种数是8×24＝192.解析答案D答案(3)(2019·湖北黄冈模拟)在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场顺序的排法种数为________．解析2位男生不能连续出场的排法共有N1＝A33×A24＝72种，女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N2＝A22×A23＝12种，所以出场顺序的排法种数为N＝N1－N2＝60.解析答案60答案触类旁通排列应用问题分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．2对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.即时训练1.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为()A．18B．24C．30D．36解析排除法．先不考虑甲、乙同班的情况，将4人分成三组有C24＝6种方法，再将三组同学分配到三个班级有A33＝6种分配方法，再考虑甲、乙同班的分配方法有A33＝6种，所以共有C24A33－A33＝30种分法．故选C.解析答案C答案2．从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为()A．48B．72C．90D．96答案D答案解析根据题意，从5名学生中选出4名分别参加竞赛，分两种情况讨论：①选出的4人中没有甲，不同的参赛方案有A44＝24(种)；②选出的4人中有甲，由于甲不能参加生物竞赛，则甲有3种选法，在剩余4人中任选3人，参加剩下的三科竞赛，不同的参赛方案有A34＝24(种)，则此时不同的参赛方案共有3×24＝72(种)．综上，不同的参赛方案共有24＋72＝96(种)．故选D.解析3．(2017·天津高考)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个(用数字作答)．解析①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为C35·C14·A44＝960.②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A45＝120.故符合题意的四位数一共有960＋120＝1080(个)．解析答案1080答案考向二组合问题例2(1)将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔，不同的放法有()A．92种B．112种C．82种D．132种答案B答案解析设有A，B两个笔筒，笔放入A笔筒有四种情况，分别为2支，3支，4支，5支，一旦A笔筒的放法确定，B笔筒的放法也随之确定，且对同一笔筒的笔没有顺序要求，故总的放法为C27＋C37＋C47＋C57＝112(种)．解析(2)(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种(用数字填写答案)．解析根据题意，没有女生入选有C34＝4种选法，从6位学生中任意选3人有C36＝20种选法，故至少有1位女生入选的不同选法共有20－4＝16种．解析答案16答案(3)某学校开设校本选修课，其中人文类4门A1，A2，A3，A4，自然类3门B1，B2，B3，其中A1与B1上课时间一致，其余均不冲突．一位同学共选3门，若要求每类课程中至少选一门，则该同学共有________种选课方式(用数字填空)．答案25答案解析当人文类选1门，自然类选2门时，共有C14C23＝12种；当人文类选2门，自然类选1门时，共有C24C13＝18种；而A1与B1上课时间一致，所以A1与B1不能同时选，它们同时选的有C13＋C12＝5种，所以该同学共有12＋18－5＝25种选课方式．解析触类旁通组合问题常有的两类题型变化(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．2“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.即时训练4.(2019·山西康杰中学模拟)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、外语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科，要求物理、化学、生物三科至少选一科，政治、历史、地理三科至少选一科，则考生的选考方法共有()A．6种B．12种C．18种D．24种答案C答案解析Ⅰ类：物理、化学、生物三科选一科，政治、历史、地理三科中选两科，有C13C23＝9种选法；Ⅱ类：物理、化学、生物三科选两科，政治、历史、地理三科中选一科，有C13C23＝9种选法，所以考生共有9＋9＝18种选考方法．故选C.解析5．(2019·陕西质检)将2名教师、4名学生分成2个小组分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A．12种B．10种C．9种D．8种解析安排人员去甲地可分为两步：第一步安排教师，有C12种方案；第二步安排学生，有C24种方案．其余的教师和学生去乙地，所以不同的安排方案共有C12C24＝12(种)．故选A.解析答案A答案6．某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为________．答案86答案解析由题意，可分三类考虑：第1类，男生甲入选，女生乙不入选，则方法种数为C13C24＋C23C14＋C33＝31；第2类，男生甲不入选，女生乙入选，则方法种数为C14C23＋C24C13＋C34＝34；第3类，男生甲入选，女生乙入选，则方法种数为C23＋C14C13＋C24＝21.所以入选的方法种数共有31＋34＋21＝86.解析考向三排列、组合的综合应用角度1特殊元素(位置)问题例3(1)(2019·福建漳州联考)有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有()A．34种B．48种C．96种D．144种答案C答案解析特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有C12种选法，乙、丙相邻，捆绑在一起看作一个元素，与其余三个元素全排列，最后乙、丙可以换位，故共有C12·A44·A22＝96(种)．故选C.解析(2)从6名同学中选派4人分别参加数学、物理、化学、生物四科知识竞赛，若其中甲、乙两名同学不能参加生物竞赛，则选派方案共有()A．180种B．280种C．96种D．240种答案D答案解析特殊位置优先考虑，既然甲、乙都不能参加生物竞赛，则从另外4人中选择一人参加，有C14种方案，然后从剩下的5人中选择3人参加剩下3科，有A35种方案，故共有C14A35＝4×60＝240种方案．故选D.解析角度2相邻、相间问题例4(1)(2019·江西吉安联考)某大厦一层有A，B，C，D四部电梯，现有3人在同一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有()A．12种B．24种C．18种D．36种答案D答案解析元素相邻利用“捆绑法”，先从3人中选择2人坐同一电梯有C23＝3种选法，再将2个“元素