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第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理基础知识整合1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．□01m＋n□02mn分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终．(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类．(2)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间的方法“相互独立，分步完成”．1．快递员去某小区送快递，该小区共有四个出入口，每个出入口均可进出，则该快递员进出该小区的方案种数为()A．6B．8C．16D．14解析方案种数为4×4＝16种，故选C.解析答案C答案2．将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是()A．2160B．720C．240D．120解析分步来完成此事．第1张有10种分法；第2张有9种分法；第3张有8种分法．共有10×9×8＝720种分法．解析答案B答案3．(2018·九江模拟)已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A．40B．16C．13D．10解析分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面．解析答案C答案4．(2019·长沙模拟)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()A．12种B．18种C．24种D．36种答案A答案解析第一步先排第一列，有A33＝6(种)，再排第二列，当第一列确定时，第二列有两种方法，如图所示，所以不同的排列方法共有6×2＝12(种)．解析5．从0,1,2,3,4这5个数字中任取3个组成三位数，其中奇数的个数是________．解析从1,3中取一个排个位，故排个位有2种方法；排百位不能是0，可以从另外3个数中取一个，有3种方法；排十位有3种方法．故所求奇数的个数为2×3×3＝18.解析答案18答案6.(2019·宁波模拟)如图，矩形的对角线把矩形分成A，B，C，D四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有________种不同的涂色方法．答案260答案解析区域A有5种涂色方法；区域B有4种涂色方法；区域C的涂色方法可分2类：若C与A涂同色，区域D有4种涂色方法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色方法，区域D也有3种涂色方法．所以共有5×4×4＋5×4×3×3＝260种涂色方法．解析核心考向突破考向一分类加法计数原理例1(1)(2019·广西桂林模拟)如图，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只能取其中一堆最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是()A．6B．10C．12D．24解析将图中左边的集装箱从上往下分别记为1,2,3，右边的集装箱从上往下分别记为4,5.分两种情况讨论：若先取1，则有12345,12453,12435,14523,14235,14253，共6种取法；若先取4，则有45123,41235,41523,41253，共4种取法，故共有6＋4＝10种取法．解析答案B答案(2)(2019·河北保定模拟)甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A，B，C三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法种数为()A．8B．7C．6D．5答案B答案解析根据题意，分两种情况讨论：①乙和甲一起去A社区，此时将丙、丁二人安排到B，C社区即可，有A22＝2种情况，②乙不去A社区，则乙必须去C社区，若丙、丁都去B社区，有1种情况，若丙、丁中有1人去B社区，则先在丙、丁中选出1人，安排到B社区，剩下1人安排到A或C社区，有2×2＝4种情况，则不同的安排方法种数有2＋1＋4＝7种．故选B.解析(3)(2018·沈阳模拟)现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数为________．解析若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法，这时，共有C12×3＝6种方法；若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，这时，共有3×2＝6种方法．综上可得，不同的考试安排方案共有6＋6＝12种．解析答案12答案触类旁通使用分类加法计数原理时应注意的三方面(1)各类方法之间相互独立，每种方法都能完成这件事，且方法总数是各类方法数相加得到的．2分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标准，然后在确定的分类标准下进行分类.3完成这件事的任何一种方法必属于某一类，且分别属于不同类的方法都是不同的.即时训练1.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种解析依题意，就所剩余的一本画册进行分类计数：第一类，剩余的是一本画册，此时满足题意的赠送方法共有4种；第二类，剩余的是一本集邮册，此时满足题意的赠送方法共有C24＝6(种)．因此，满足题意的赠送方法共有4＋6＝10种．解析答案B答案2．将A，B，C，D，E这5名同学从左至右排成一排，则A与B相邻且A与C之间恰好有一名同学的排法有()A．18B．20C．21D．22解析当A，C之间为B时，看成一个整体进行排列，共有A22·A33＝12种，当A，C之间不是B时，先在A，C之间插入D，E中的任意一个，然后B在A之前或之后，再将这四个人看成一个整体，与剩余一个进行排列，共有C12·A22·A22＝8种，所以共有20种不同的排法．解析答案B答案3．某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有()A．16种B．36种C．42种D．60种解析①投资到两个城市，有C23·A24＝36种方案；②投资到三个城市，有A34＝24种方案，由分类加法计数原理可得，该外商不同的投资方案有36＋24＝60种．故选D.解析答案D答案考向二分步乘法计数原理例2(1)(2016·全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24B．18C．12D．9解析分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路径．故选B.解析答案B答案(2)(2019·苏州模拟)从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数字中任取2个不同的数字分别作为一个对数的底数和真数，则所产生的不同对数值的个数为()A．56B．54C．53D．52答案D答案解析在8个数字中任取2个不同的数字共可产生8×7＝56个对数值，在这56个对数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，则满足条件的对数值共有56－4＝52个．解析(3)现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值班表共有________种不同的排法．解析完成一件事是安排值班表，因而需一天一天地排，用分步计数原理，分步进行：第一天有5种不同排法，第二天不能与第一天已排的人相同，所以有4种不同排法，依次类推，第三、四、五天都有4种不同排法，所以共有5×4×4×4×4＝1280种不同的排法．解析答案1280答案触类旁通使用分步乘法计数原理应注意的问题(1)各个步骤之间相互依存，且方法总数是各个步骤的方法数相乘．2分步时首先要在问题的条件之下确定一个分步标准，然后在确定的分步标准下进行分步.3完成这件事的任何一种方法必须并且只需连续完成每一个步骤.即时训练4.(2019·成都模拟)两对夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是()A．12B．24C．36D．48答案B答案解析首尾要排两位爸爸有A22＝2种排法；两个小孩排在一起，再与两位妈妈排列有A22·A33＝12种排法，根据分步乘法计数原理共有2×12＝24种排法．故选B.解析5．从6个人中选4个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市至少有一人游览，每人只游览一个城市，且这6个人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有________种．解析分步完成此事，第一步选1人去巴黎有4种方法，第二步选1人去伦敦有5种方法，第三步选1人去悉尼有4种方法，第四步选1人去莫斯科有3种方法，由分步乘法计数原理可知：共有4×5×4×3＝240种．解析答案240答案6．(2019·南通模拟)从1到9的正整数中任意抽取2个数相加，所得的和为奇数的不同情形种数是________．解析根据题意，从1到9的正整数中任意抽取2个数相加，若所得的和为奇数，则取出的2个数必为1个奇数、1个偶数．分两步：先在1,3,5,7,9中取出1个奇数，有5种取法，再在2,4,6,8中取出1个偶数，有4种取法．则1个奇数、1个偶数的取法有5×4＝20(种)，即所得的和为奇数的不同情形种数是20.解析答案20答案考向三两个计数原理的综合应用角度1与数字有关的问题例3(1)(2019·山东模拟)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243B．252C．261D．279答案B答案解析由分步乘法计数原理知：用0,1，…，9十个数字组成三位数(可有重复数字)的个数为9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648，则组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.故选B.解析(2)(2018·浙江高考)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数(用数字作答)．解析若不取0，则排列数为C25C23A44，若取0，则排列数为C25C13A13A33，因此一共有C25C23A44＋C25C13A13A33＝1260个没有重复数字的四位数．解析答案1260答案角度2与几何有关的问题例4(1)从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有()A．8种B．12种C．16种D．20种解析正方体共有3组对面互不相邻．与正方体的每组对面相邻的面有4个，所以有3×4＝12(种)选法．解析答案B答案(2)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A．60B．48C．36D．24答案B答案解析长方体的6个表面构成的“平行线面组”个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48.解析角度3与涂色、种植有关的问题例5(1)用5种不同颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则不同的涂色方法种数为()A．120B．160C．180D．240解析根据题意，因为规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，D有3种涂法，C有3种涂法，所以共有5×4×3×3＝180种不同的涂色方法．故选C.解析答案C答案(2)(2019·四川泸州模拟)如图，将一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有3种不同的花供选种，要求在同一块中种一种花，且