2020版高考数学一轮复习 第十一篇 复数、算法、推理与证明 第1节 数系的扩充与复数的引入课件 文

第十一篇复数、算法、推理与证明返回导航七年新课标全国卷试题分析高考考点、示例分布图返回导航命题特点1.复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的加减乘除四则运算．运算是高考的热点，一般为选择题占5分．2．循环结构和条件结构是高考考查的热点，题型以选择题、填空题为主，属容易题，占5分．返回导航3．高考对归纳推理、类比推理的考查多以选择、填空为主，分值约5分．4．高考对演绎推理、直接证明与间接证明的考查，单独命题的可能性不大，但其思想会渗透到多题之中.返回导航第1节数系的扩充与复数的引入最新考纲1．理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．2．了解复数的代数表示法和几何意义，会进行复数代数形式的四则运算.3.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．4．会进行复数代数形式的四则运算.返回导航【教材导读】1．复数的几何意义是什么？提示：复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)及平面向量OZ→＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．返回导航2．复数模的几何意义是什么？提示：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|表示复平面内点Z(a，b)到原点O(0，0)的距离，亦即向量OZ→的模|OZ→|.返回导航3．复数加减法的几何意义是什么？提示：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ→＝OZ1→＋OZ2→，Z1Z2→＝OZ2→－OZ1→.返回导航1．复数的有关概念(1)复数的定义形如a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b(i是虚数单位)．返回导航(2)复数的分类复数z＝a＋bi（a、b∈R）实数（b＝0）虚数（b≠0）纯虚数（a＝0）非纯虚数（a≠0）(3)复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a、b、c、d∈R)．返回导航(4)共轭复数a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c且b＝－d(a、b、c、d∈R)．(5)复数的模向量OZ→的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝a2＋b2(r≥0，a、b∈R)．返回导航2．复数的几何意义(1)复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．(2)实轴、虚轴在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数．返回导航(3)复数的几何表示复数z＝a＋bi――→一一――→对应复平面内的点Z(a，b)――→一一――→对应平面向量OZ→．返回导航3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝（a＋bi）（c－di）（c＋di）（c－di）＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．返回导航(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．(3)复数的乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1·z3.返回导航【重要结论】1．(1±i)2＝±2i；1＋i1－i＝i；1－i1＋i＝－i.2．－b＋ai＝i(a＋bi)．3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．返回导航1．(2018全国Ⅰ卷)设z＝1－i1＋i＋2i，则|z|＝()(A)0(B)12(C)1(D)2C解析：∵z＝1－i1＋i＋2i＝（1－i）2（1＋i）（1－i）＋2i＝－2i2＋2i＝i，∴|z|＝1.故选C.返回导航2．已知复数a＋3i1－2i是纯虚数，则实数a＝()(A)－2(B)4(C)－6(D)6D解析：a＋3i1－2i＝a－6＋（2a＋3）i5，∴当a＝6时，复数a＋3i1－2i为纯虚数．返回导航3．设有下面四个命题：p1：若复数z满足1z∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2，满足z1z2∈R，则z1＝z2；p4：若复数z∈R，则z∈R.其中的真命题为()(A)p1，p3(B)p1，p4(C)p2，p3(D)p2，p4返回导航B解析：设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对于p1，∵1z＝1a＋bi＝a－bia2＋b2∈R，∴b＝0，∴z∈R，∴p1是真命题；对于p2，∵z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R，∴ab＝0，∴a＝0或b＝0，∴p2不是真命题；对于p3，设z1＝x＋yi(x，y∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，则z1z2＝(x＋yi)(c＋di)＝cx－dy＋(dx＋cy)i∈R，∴dx＋cy＝0，取z1＝1＋2i，z2＝－1＋2i，z1≠z2，∴p3不是真命题；对于p4，∵z＝a＋bi∈R，∴b＝0，∴z＝a－bi＝a∈R，∴p4是真命题．故选B.返回导航4．(2018全国Ⅱ卷)1＋2i1－2i＝()A．－45－35iB．－45＋35iC．－35－45iD．－35＋45i解析：1＋2i1－2i＝（1＋2i）2（1－2i）（1＋2i）＝1－4＋4i1－（2i）2＝－3＋4i5＝－35＋45i.故选D.答案：D返回导航5．已知i是虚数单位，z＝1＋i，z为z的共轭复数，则复数z2z在复平面上对应的点的坐标为________．解析：z＝1＋i，则z2z＝（1＋i）21－i＝2i1－i＝2i（1＋i）（1－i）（1＋i）＝－1＋i，则复数z2z在复平面上对应的点的坐标为(－1，1)．答案：(－1，1)返回导航考点一复数的基本概念(1)实数m取何值时，复数z＝m2＋m－2m＋3＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数？(2)复数z＝i（－2－i）2(i为虚数单位)，z在复平面内所对应的点在()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限返回导航(3)(2018石家庄模拟))已知i为虚数单位，a∈R，若(a－1)·(a＋1＋i)是纯虚数，则a的值为()(A)－1或1(B)1(C)－1(D)3返回导航解析：(1)复数z是纯虚数的充要条件是m2＋m－2m＋3＝0，m2＋5m＋6≠0，m＋3≠0，解得m＝－2或m＝1，m≠－2且m≠－3，即m＝1，故当m＝1时，复数z是纯虚数．返回导航(2)z＝i（－2－i）2＝i4＋4i－1＝i3＋4i＝i（3－4i）25＝425＋325i.(3)∵(a－1)(a＋1＋i)＝(a2－1)＋(a－1)i是纯虚数，∴a2－1＝0a－1≠0，∴a＝－1.答案：(1)m＝1(2)A(3)C返回导航【反思归纳】有关复数的概念问题，一般涉及复数的实部与虚部、模、虚数、纯虚数、实数、共轭复数等，解决时，一定先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定其实部和虚部．返回导航【即时训练】(1)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为()(A)－4(B)－45(C)4(D)45返回导航(2)已知i是虚数单位，若3＋iz＝1－i，则z的共轭复数为()(A)1－2i(B)2－4i(C)2－22i(D)1＋2i返回导航解析：(1)(3－4i)z＝|4＋3i|＝42＋32＝5，所以z＝53－4i＝5（3＋4i）（3－4i）（3＋4i）＝3＋4i5＝35＋45i，因此复数z的虚部为45，故选D.返回导航(2)因为3＋iz＝1－i，所以z＝3＋i1－i＝（3＋i）（1＋i）（1－i）（1＋i）＝2＋4i2＝1＋2i，所以z＝1－2i.故选A.返回导航考点二复数代数形式的运算(高频考点)(1)复数为纯虚数是，复数z＋21－i为实数，则z＝()(A)－2i(B)－i(C)i(D)2i(2)(潍坊三轮资料删除)①已知复数z＝3＋i（1－3i）2，z－是z的共轭复数，则z·z－＝________；返回导航(3)i是虚数单位，1＋i1－i4＝________；(4)（－1＋3i）3（1＋i）6＝________．返回导航解析：(1)设z＝bi(b∈R)，则z＋21－i＝2＋bi1－i＝（2＋bi）（1＋i）（1－i）（1＋i）＝（2－b）＋（2＋b）i2.∵复数z＋21－i为实数，∴2＋b＝0，解得b＝－2.∴z＝－2i.故选A.返回导航(2)因为z＝3＋i（1－3i）2＝3＋i－2－23i＝3＋i－2（1＋3i）＝（3＋i）（1－3i）－2（1＋3i）（1－3i）＝23－2i－8＝－34＋14i，故z－＝－34－14i，所以z·z－＝－34＋14i－34－14i＝316＋116＝14.返回导航(3)1＋i1－i4＝（1＋i）224＝i4＝1.(4)原式＝（－1＋3i）3（2i）3＝－1＋3i23·1i3＝1i3＝i.答案：(1)A(2)14(3)1(4)i返回导航【反思归纳】复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．返回导航【即时训练】(1)已知i是虚数单位，且z＝(1－i1＋i)2014＋i的共轭复数为z，则z·z等于()(A)2(B)1(C)0(D)－1(2)设a，b∈R，a＋bi＝11－7i1－2i(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．解析：(1)C(2)3返回导航考点三复数的几何意义(1)(2018揭阳二模)设复数z1＝1－i，z2＝3－4i，则z1·z2在复平面内对应的点位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(2)已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝3，则yx的最大值为________．答案：(1)A(2)8返回导航【反思归纳】判断复数所在平面内的点的位置的方法：首先将复数化成a＋bi(a、b∈R)的形式，其次根据实部a和虚部b的符号来确定点所在的象限及坐标．返回导航【即时训练】(1)(2018新乡三模)已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为(2，－1)，(0，－1)，则z1z2＝()(A)1＋2i(B)1－2i(C)－2＋i(D)－2－i返回导航(2)已知复数z1＝1＋3i，为虚数单位，若z1z2＝2＋2i，则在复平面内复数z2对应的点位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限答案：(1)A(2)D返回导航(2018江苏卷)若复数z满足iz＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．审题指导关键点获取信息已知iz＝1＋2i关于复数的等式求z的实部解方程求z解题突破：利用复数的运算求出z返回导航解析：由已知iz＝1＋2i，得z＝1＋2ii＝2－i.∴z的实部为2，故填2.答案：2返回导航命题意图：本题主要考查了复数的乘法和除法运算．