2020版高考数学一轮复习 第十三篇 不等式选讲 第2节 证明不等式的基本方法课件 文 新人教A版

第十三篇不等式选讲(选修4-5)返回导航第2节证明不等式的基本方法最新考纲通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法返回导航1．比较法方法原理作差法a－b0⇔ab作商法ab1⇔ab(a0，b0)返回导航2.综合法与分析法(1)综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立．返回导航3．三个正数的算术几何平均不等式(1)定理如果a，b，c∈R＋，那么a＋b＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．返回导航(2)基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．返回导航1．设a，b为不等的正数，且M＝(a4＋b4)(a2＋b2)，N＝(a3＋b3)2则有()(A)M＝N(B)M＜N(C)M＞N(D)M≥N答案：C返回导航2．已知t＞1，且x＝t＋1－t，y＝t－t－1，则x，y之间的大小关系是()(A)x＞y(B)x＝y(C)x＜y(D)x，y的关系随t而定答案：C返回导航3．设0＜x＜1，则a＝2x，b＝1＋x，c＝11－x中最大的一个是________．解析：由a2＝2x，b2＝1＋x2＋2x＞a2，a＞0，b＞0得b＞a.又c－b＝11－x－(1＋x)＝1－（1－x2）1－x＝x21－x＞0得c＞b，知c最大．答案：C返回导航4．设x＞0，y＞0，若不等式1x＋1y＋λx＋y≥0恒成立，则实数λ的最小值是________．返回导航解析：∵x＞0，y＞0，∴原不等式可化为－λ≤1x＋1y(x＋y)＝2＋yx＋xy.∵2＋yx＋xy≥2＋2yx·xy＝4，当且仅当x＝y时等号成立．∴1x＋1y(x＋y)min＝4，即－λ≤4，λ≥－4.答案：－4返回导航考点一比较法证明不等式设f(x)＝2x2＋1，且a，b同号，a＋b＝1.求证：对任意实数p，q恒有af(p)＋bf(q)≥f(ap＋bq)成立．返回导航解析：∵a＋b＝1，∴af(p)＋bf(q)－f(ap＋bq)＝a·(2p2＋1)＋b·(2q2＋1)－2(ap＋bq)2－1＝2ap2＋2bq2－2a2p2－4abpq－2q2b2＝2ap2(1－a)＋2bq2(1－b)－4abpq＝2abp2＋2abq2－4abpq＝2ab(p－q)2.∵a，b同号，∴2ab(p－q)2≥0.∴原不等式成立．返回导航【反思归纳】比较法证明不等式的方法与步骤(1)作差比较法：作差、变形、判号、下结论．(2)作商比较法：作商、变形、判断、下结论．提醒：(1)当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法．(2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法．返回导航【即时训练】求证：当a，b∈(0，＋∞)时，aabb≥(ab)a＋b2.证明：aabb（ab）a＋b2＝aa－b2bb－a2＝aba－b2，当a＝b时，aba－b2＝1.当a＞b＞0时，ab＞1，a－b2＞0，则aba－b2＞1.返回导航当b＞a＞0时，0＜ab＜1，a－b2＜0，则aba－b2＞1.综上可知，当a，b∈(0，＋∞)时，aabb≥(ab)a＋b2成立．返回导航考点二用分析法证明不等式(1)已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，求证：a＋1ab＋1b≥254.(2)已知△ABC的三边长分别是a，b，c且m为正数，求证：aa＋m＋bb＋m＞cc＋m.返回导航(1)证明：因为已知a＋b＝1，a＞0，b＞0，所以根据基本不等式a＋b≥2ab，所以0＜ab≤14，又a＋1ab＋1b＝a2＋1a·b2＋1b＝a2b2－2ab＋2ab＝（1－ab）2＋1ab≥254取等号时a＝b＝12，所以a＋1ab＋1b≥254.返回导航(2)解析：要证aa＋m＋bb＋m＞cc＋m，只需证a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)－c(a＋m)(b＋m)＞0，即证abc＋abm＋acm＋am2＋abc＋abm＋bcm＋bm2－abc－acm－bcm－cm2＞0，即证abc＋2abm＋(a＋b－c)m2＞0.由于a，b，c分别是△ABC的三边长，故a＋b＞c.因为m＞0，所以(a＋b－c)m2＞0.所以abc＋2abm＋(a＋b－c)m2＞0是成立的，因此aa＋m＋bb＋m＞cc＋m成立．返回导航【反思归纳】分析法的应用当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．返回导航【即时训练】设a，b，c0，且ab＋bc＋ca＝1.求证：abc＋bac＋cab≥3(a＋b＋c)．证明：abc＋bac＋cab＝a＋b＋cabc.∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋aca2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ca)＝3.∴a＋b＋c≥3.返回导航因此要证原不等式成立，只需证明1abc≥a＋b＋c，即证abc＋bac＋cab≤1，即证abc＋bac＋cab≤ab＋bc＋ca，而abc＝ab·ac≤ab＋ac2，bac≤ab＋bc2，cab≤bc＋ac2.返回导航所以abc＋bac＋cab≤ab＋bc＋ca(当且仅当a＝b＝c＝33时等号成立)．所以原不等式成立．返回导航考点三用综合法证明不等式已知x，y，z均为正数．求证：xyz＋yzx＋zxy≥1x＋1y＋1z.返回导航解：因为x，y，z均为正数．所以xyz＋yzx＝1zxy＋yx≥2z，同理可得zxy＋yzx＝1xzy＋yz≥2x，zxy＋xyz＝1yzx＋xz≥2y，当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得xyz＋yzx＋zxy≥1x＋1y＋1z.返回导航【反思归纳】综合法证明不等式的方法(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件．返回导航【即时训练】(2017全国卷Ⅱ)已知a＞0，b＞0，a3＋b3＝2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.返回导航(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)2＋3（a＋b）24(a＋b)＝2＋3（a＋b）34，所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.返回导航分析法与综合法在不等式证明中的应用(2015高考新课标全国卷Ⅱ)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab＞cd，则a＋b＞c＋d；(2)a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．返回导航审题指导关键点所获信息a＋b＝c＋d，abcd利用不等式性质a＋bc＋d两边平方后观察不等式两边与已知条件的关系a＋bc＋d是|a－b||c－d|的充要条件证明充分性和必要性解题突破：(1)利用分析法证明；(2)分充分性和必要性两种情况证明.返回导航满分展示：证明：(1)因为要证(a＋b)c＋d，只需证(a＋b)2(c＋d)2，即证a＋b＋2abc＋d＋2cd，因为a＋b＝c＋d，因此只需证2ab2cd，即证abcd，而已知abcd，因此a＋bc＋d.返回导航(2)①若|a－b||c－d|，则(a－b)2(c－d)2，即(a＋b)2－4ab(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以abcd.由(1)得a＋bc＋d.返回导航②若a＋bc＋d，则(a＋b)2(c＋d)2，即a＋b＋2abc＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以abcd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b||c－d|.综上，a＋bc＋d是|a－b||c－d|的充要条件．返回导航答题模板：第一步：观察要证明的不等式，用分析法证明；第二步：证明必要性；第三步：证明充分性．