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第十三篇不等式选讲(选修4-5)返回导航第1节含绝对值的不等式及其解法最新考纲1．理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式的几何意义及取等号的条件：①|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.返回导航1．绝对值不等式(1)定理如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)如果a、b、c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．返回导航(3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式①|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|.②||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.③|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.2．绝对值不等式的解法(1)形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．返回导航(2)①绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a的解集.不等式a＞0a＝0a＜0|x|＜a{x|－a＜x＜a}∅∅|x|＞a{x|x＞a或x＜－a}{x|x≠0}R②|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c(c＞0)，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c＞0)．返回导航3．|x－a|＋|x－b|≥c(c0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c0)不等式的解法(1)零点分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a)，[a，b]，(b，＋∞)(此处设ab)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)几何法：利用|x－a|＋|x－b|c(c0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的点的集合．(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解．返回导航1．|2x－1|3的解集为()(A)(－∞，－2)∪(1，＋∞)(B)(－∞，－1)∪(2，＋∞)(C)(－2，1)(D)(－1，2)B解析：由|2x－1|3得2x－1－3或2x－13，解得x－1或x2.返回导航2．不等式|x－1|－|x－5|＜2的解集是()(A)(－∞，4)(B)(－∞，1)(C)(1，4)(D)(1，5)返回导航A解析：利用零点分区间法解绝对值不等式．①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)＜2，∵－4＜2，不等式恒成立，∴x≤1.②当1＜x＜5时，原不等式可化为x－1－(5－x)＜2，∴x＜4，∴1＜x＜4.③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)＜2，该不等式不成立．综上，原不等式的解集为(－∞，4)，故选A.返回导航3．若x，y，a∈R＋，且x＋y≤ax＋y恒成立，则a的最小值是()(A)22(B)2(C)1(D)12返回导航B解析：因为x2＋y22≥x＋y2，即x2＋y2≥22(x＋y)，所以x＋y≥22(x＋y)，而x＋y≤ax＋y，即x＋y≥1a(x＋y)恒成立，得1a≤22，即a≥2.返回导航4．若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝________.解析：当a≤－1时，f(x)＝－3x＋2a－1（x≤a），x－2a－1（a＜x≤－1），3x－2a＋1（x＞－1），所以f(x)min＝－a－1，所以－a－1＝5，所以a＝－6.返回导航当a＞－1时，f(x)＝－3x＋2a－1（x≤－1），－x＋2a＋1（－1＜x≤a），3x－2a＋1（x＞a），所以f(x)min＝a＋1，所以a＋1＝5，所以a＝4.综上，a＝－6或a＝4.答案：－6或4返回导航5．若|x－4|＋|x＋5|a对于x∈R均成立，则a的取值范围为________．解析：因为|x－4|＋|x＋5|＝|4－x|＋|x＋5|≥|4－x＋x＋5|＝9，所以当a9时，不等式对x∈R均成立．答案：(－∞，9)返回导航考点一|ax＋b|≤c和|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法解下列不等式：(1)|2x－3|≤5；(2)|5－4x|＞9.答案：(1){x|－1≤x≤4}(2){x|x＜－1或x＞72}返回导航【反思归纳】|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法(1)c0，则|ax＋b|≤c可转化为－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c可转化为ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a，b的取值求解即可．(2)c0，则|ax＋b|≤c，根据几何意义可得解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.(3)c＝0，则|ax＋b|≤c可转化为ax＋b＝0，然后根据a，b的取值求解即可；|ax＋b|≥c的解集为R.返回导航【即时训练】(1)不等式|x2－2|2的解集是()(A)(－1，1)(B)(－2，2)(C)(－1，0)∪(0，1)(D)(－2，0)∪(0，2)(2)在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1的解集为________．返回导航解析：(1)原不等式等价于－2x2－22，即0x24.所以－2x2且x≠0.故不等式的解集为(－2，0)∪(0，2)．故选D.(2)由于||x－2|－1|≤1，即－1≤|x－2|－1≤1，即|x－2|≤2，所以－2≤x－2≤2，所以0≤x≤4.答案：(1)D(2)[0，4]返回导航考点二|x－a|±|x－b|≥c和|x－a|±|x－b|≤c(c0)型不等式的解法设函数f(x)＝|2x－2|＋|x＋3|.(1)解不等式f(x)＞6；(2)若关于x的不等式f(x)≤|2m－1|的解集不是空集，试求实数m的取值范围．返回导航解析：(1)∵f(x)＞6，∴－3x－1＞6，x≤－3或－x＋5＞6，－3＜x＜1或3x＋1＞6，x≥1，解得x≤－3或－3＜x＜－1或x＞53，∴不等式f(x)＞6的解集是(－∞，－1)∪53，＋∞.返回导航(2)∵f(x)＝－3x－1，x≤－3，－x＋5，－3＜x＜1，3x＋1，x≥1，∴f(x)min＝4.∴|2m－1|≥4，解得m≥52或m≤－32.返回导航【反思归纳】解含两个或多个绝对值符号的不等式利用零点分段讨论法求解时，要注意以下三个方面：一是准确去掉绝对值符号；二是求得不等式的解后，要检验该解是否满足x的取值范围；三是将各区间上的解集求并集．返回导航【即时训练】已知函数f(x)＝|a－3x|－|2＋x|.(Ⅰ)若a＝2，解不等式f(x)≤3；(Ⅱ)若存在实数a，使得不等式f(x)≤1－a＋2|2＋x|成立，求实数a的取值范围．解析：(1)a＝2时：f(x)＝|3x－2|－|x＋2|≤3，x≥233x－2－x－2≤3或－2＜x＜232－3x－x－2≤3或x≤－22－3x＋x＋2≤3，解得：－34≤x≤72；返回导航(2)不等式f(x)≥1－a＋2|2＋x|成立，即|3x－a|－|3x＋6|≥1－a，由绝对值不等式的性质可得||3x－a|－|3x＋6||≤|(3x－a)－(3x＋6)|＝|a＋6|，即有f(x)的最大值为|a＋6|，∴1－a≥0（a＋6）2≥（1－a）2或1－a＜0a＋6≥0，解得：a≥－52.返回导航考点三已知不等式的解集求参数设函数f(x)＝x＋|x－a|.(1)当a＝2018时，求函数f(x)的值域；(2)若g(x)＝|x＋1|，求不等式g(x)－2＞x－f(x)恒成立时a的取值范围．返回导航解析：(1)由题意得，当a＝2018时，f(x)＝2x－2018，x≥2018，2018，x＜2018，因为f(x)在[2018，＋∞)上单调递增，所以f(x)的值域为[2018，＋∞)．(2)由g(x)＝|x＋1|，不等式g(x)－2＞x－f(x)恒成立，知|x＋1|＋|x－a|＞2恒成立，即(|x＋1|＋|x－a|)min＞2.而|x＋1|＋|x－a|≥|(x＋1)－(x－a)|＝|1＋a|，所以|1＋a|＞2，解得a＞1或a＜－3.返回导航【反思归纳】(1)解决含参数的绝对值不等式问题的两种方法①将参数分类讨论，将其转化为分段函数解决．②借助于绝对值的几何意义，先求出相应式的最值或值域，然后再根据题目要求，求解参数的取值范围．返回导航(2)不等式恒成立问题的常见类型及其解法①分离参数法：运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题．②更换主元法：不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法．返回导航③数形结合法：在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观解决问题．提醒：不等式的解集为R是指不等式恒成立问题，而不等式的解集为∅的对立面也是不等式恒成立问题，如f(x)m的解集为∅，则f(x)≤m恒成立．返回导航【即时训练】已知函数f(x)＝log2(|x＋2|＋|x－2|－m)．(1)当m＝8时，求函数f(x)的定义域；(2)若关于x的不等式f(x)≥1的解集是R，求m的取值范围．解析：(1)由题意|x＋2|＋|x－2|－8＞0，令g(x)＝|x＋2|＋|x－2|＝2x，x≥24，－2＜x＜2，－2x，x≤2，解得x＞4或x＜－4，∴函数的定义域为{x|x＞4或x＜－4}．返回导航(2)f(x)≥1，∴f(x)＝log2(|x＋2|＋|x－2|－m)≥1，即|x＋2|＋|x－2|≥2＋m解集是R；则2＋m≤4，故m≤2.返回导航含绝对值不等式的解法(2015高考新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．返回导航审题指导关键点所获信息a＝1时，解不等式f(x)1解不等式|x＋1|－2|x－1|1三角形面积大于6，求a的取值范围建立关于a的不等式解题突破：(1)分x≤－1，－1x1与x≥1三种情况讨论；(2)先求出三角形三个顶点的坐标，再列出关于a的不等式求解.返回导航解：(1)当a＝1时，f(x)1化为|x＋1|－2|x－1|－10.当x≤－1时，不等式化为x－40，无解；当－1x1时，不等式化为3x－20，解得23x1；当x≥1时，不等式化为－x＋20，解得1≤x2.所以f(x)1的解集为{x|23x2}．返回导航(2)由题设可得，f(x)＝x－1－2a，x－1，3x＋1－2a，－1≤x≤a，－x＋1＋2a，xa.所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A(2a－13，0)，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为23(a＋1)2.由题设得23(a＋1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，＋∞)．返回导航命题意图：本题主要考查了绝对值不等式的解法和三角形面积的求法，考查了分类讨论和数形结合思想，考查了运算求解的能力．