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第十篇概率(必修3)返回导航五年新课标全国卷试题分析高考考点、示例分布图返回导航命题特点1.本篇在高考中考查1个小题和1个大题，约占12或17分．2．古典概型、几何概型经常以小题出现，随机事件概率经常在大题中出现.返回导航第1节随机事件的概率最新考纲1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别．2．了解两个互斥事件的概率加法公式.返回导航【教材导读】1．事件A发生的频率与概率之间有何关系？提示：事件A发生的频率是随机的，事件A发生的概率是客观存在的常数，在大量的随机试验中事件A发生的频率在事件A发生的概率附近波动．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．返回导航2．互斥事件与对立事件的关系如何？提示：两事件互斥不一定对立，但两事件对立一定互斥．返回导航1．事件的相关概念(1)必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件；(2)不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件；(3)随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．返回导航2．频率与概率(1)频率在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝nAn为事件A出现的频率．返回导航(2)概率对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．返回导航3．事件的关系与运算定义符号表示包含关系对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)返回导航相等关系若B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B相等A＝B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)返回导航交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥A∩B＝∅返回导航对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅且A∪B＝Ω返回导航4.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1．(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．返回导航【重要结论】1．在无法具体求得某个事件的概率值时，可以用该事件发生的频率值代替概率值．2．计算事件的概率时，把该事件表达为若干个互斥事件之和，利用互斥事件的概率加法公式计算，如果事件较为复杂，则可以使用互为对立事件的两个事件的概率之和为1求解．返回导航1．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为()(A)0.95(B)0.97(C)0.92(D)0.08返回导航C解析：记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.返回导航2．某天下课以后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学．如果他们依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率为()(A)12(B)13(C)14(D)15返回导航A解析：已知2位女同学和2位男同学走出的所有可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第2位走出的是男同学的概率P＝36＝12.返回导航3．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是____________．解析：至少有一次的对立是一次也没有．答案：两次均没有中靶返回导航4．口袋内装有一些大小、形状相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是________．返回导航解析：事件“摸出红球或白球”与事件“摸出黑球”是对立事件，设M为事件“摸出红球或白球”，则M表示“摸出黑球”，由对立事件的概率公式得P(M)＝1－P(M)＝1－(0.42＋0.28)＝0.3.答案：0.3返回导航5．若随机事件A、B互斥，A、B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝3a－4，则实数a的取值范围为________．返回导航解析：由题意可得0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，P（A）＋P（B）≤1，即0＜2－a＜1，0＜3a－4＜1，2a－2≤1，解得43＜a≤32.答案：(43，32]返回导航考点一随机事件的概念(1)(2018临沂模拟)一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则()返回导航(A)A与B是互斥而非对立事件(B)A与B是对立事件(C)B与C是互斥而非对立事件(D)B与C是对立事件返回导航(2)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，判断下列各对事件是否是互斥事件，并说明理由．①恰有1名男生和恰有两名男生；②至少有1名男生和至少有1名女生；③至少有1名男生和全是男生；④至少有1名男生和全是女生．返回导航解析：(1)D(2)①是互斥事件．理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．②不是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果．“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“两名都是女生”两种结果，当事件“有1名男生和1名女生”发生时两个事件都发生了．返回导航③不是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”名括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”，这与“全是男生”可同时发生．④是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生．返回导航【反思归纳】在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件是随机事件，这是判断随机事件的标准．返回导航【即时训练】下列事件：①某地1月1日刮西北风；②当x是实数时，|x|≥0；③某人上午9时到达车站，立即即可乘车前往目的地；④一个音乐茶话会的上座率超过90%，其中是随机事件的序号是______．解析：事件①③④均可能发生也可能不发生，故是随机事件，事件②一定发生，是必然事件．答案：①③④返回导航考点二概率的统计定义某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，结果如下表所示：投篮次数n8101520304050进球次数m681217253238进球频率mn(1)计算表中进球的频率；(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约是多少？返回导航解析：(1)进球的频率分别为68＝0.75，810＝0.8，1215＝0.8，1720＝0.85，2530≈0.83，3240＝0.8，3850＝0.76.(2)由于这位运动员投篮一次，进球的频率都在0.8左右摆动，故这位运动员投篮一次，进行的概率约是0.8.返回导航【反思归纳】概率是频率的稳定值，可以根据大量的试验中的频率估计事件发生的概率．概率是一个确定的值，这个值是客观存在的，但在我们没有办法求出这个值时，就可以使用大量重复试验中的频率值估计概率值．返回导航【即时训练】π的前n位小数中数字6出现的频率如下表：n数字6出现的次数数字6出现的频率10090.090000200160.080000500480.0960001000940.094000返回导航20002000.10000050005120.1024001000010040.1004005000050170.1003401000000995480.099548则数字6出现的概率的估计值是______．返回导航解析：根据表格可以看出数字6在π的各位小数数字中出现的频率接近常数0.1，并在其附近摆动，故数字6出现的概率的估计值是0.1.答案：0.1返回导航考点三互斥事件和对立事件的概率经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？(2)至少3人排队等候的概率是多少？返回导航解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A、B、C、D、E、F互斥．(1)记“至多2人排队”为事件G，则G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.返回导航(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.16＋0.04＝0.44.法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝1－0.56＝0.44.返回导航【反思归纳】(1)判断两个事件是否为互斥事件，就是判断它们能否同时发生，若不能同时发生，则是互斥事件，不然就不是互斥事件，若两个事件互斥，且必有一个发生，则其为财立事件．(2)互斥事件的概率加法公式必须在各个事件彼此互斥的前提下使用，即A，B互斥，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；A，B对立，P(A)＝1－P(B)．返回导航【即时训练】某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C.求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．返回导航解析：(1)P(A)＝11000，P(B)＝101000＝1100，P(C)＝501000＝120.(2)因为事件A，B，C两两互斥，所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝11000＋1100＋120＝611000.故1张奖券的中奖率概率为611000.返回导航(3)P(A∪B)＝1－P(A＋B)＝1－11000＋1100＝9891000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891000.返回导航事件的互斥与对立关系不清致误判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由，从扑克牌40张(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．返回导航解：(1)是互斥事件，不是对立事件．原因是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，但是，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．返回导航(2)既是互斥事件，又是对立事件．原因是：从40张扑克牌中，任意抽取1张．“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．原因是：从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．返回导航易错提醒：(1)不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，必有一个发