2020版高考数学一轮复习 第十二篇 坐标系与参数方程 第1节 坐标系课件 文 新人教A版

第十二篇坐标系与参数方程(选修4-4)返回导航第1节坐标系最新考纲1．理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.返回导航1．平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λ·x（λ0），y′＝μ·y（μ0）的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．返回导航2．极坐标系(1)设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．返回导航(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由此得ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx(x≠0)．返回导航3．常用简单曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r圆心为(r，0)，半径为r的圆ρ＝2rcosθ返回导航圆心为r，π2，半径为r的圆ρ＝2rsinθ(0≤θπ)过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)返回导航过点(a，0)，与极轴垂直的直线ρcosθ＝a过点a，π2，与极轴平行的直线ρsinθ＝a返回导航1．极坐标方程ρcosθ＝2sin2θ表示的曲线为()(A)一条射线和一个圆(B)两条直线(C)一条直线和一个圆(D)一个圆C解析：由ρcosθ＝2sin2θ＝4sinθcosθ，得cosθ＝0或ρ＝4sinθ.当cosθ＝0时，θ＝π2(ρ∈R)，极坐标方程表示一条直线；当ρ＝4sinθ时，极坐标方程表示一个圆．故选C.返回导航2．在极坐标系中，点2，π3到直线ρ(cosθ＋3sinθ)＝6的距离为________．解析：由极坐标与直角坐标的互化公式可得极坐标系中点(2，π3)对应的直角坐标为(1，3)，直线ρ(cosθ＋3sinθ)＝6对应的直角坐标方程为x＋3y＝6，由点到直线距离公式可得，所求距离为|1＋3×3－6|12＋（3）2＝1.答案：1返回导航3．直线3x－2y＋1＝0经过x′＝3x，y′＝2y变换后的直线方程为________．解析：由变换x′＝3x，y′＝2y得x＝x′3，y＝y′2，代入直线方程，得3×x′3－2×y′2＋1＝0，即x′－y′＋1＝0，所以变换后的直线方程为x－y＋1＝0.答案：x－y＋1＝0返回导航4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ－3cosθ)＝0，曲线C的参数方程为x＝t－1t，y＝t＋1t(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|＝______．返回导航解析：化极坐标方程为直角坐标方程，化参数方程为普通方程，联立直线l和曲线C的方程，求出交点A，B的坐标，利用两点间的距离公式求解．由ρ(sinθ－3cosθ)＝0，得ρsinθ＝3ρcosθ，则y＝3x.由x＝t－1t，y＝t＋1t，得y2－x2＝4.返回导航由y＝3x，y2－x2＝4，可得x＝22，y＝322或x＝－22，y＝－322，不妨设A22，322，则B－22，－322，故|AB|＝－22－222＋－322－3222＝25.答案：25返回导航5．给出下列命题：①点(3，2)经过伸缩变换φ：3x′＝x，2y′＝y后所得点的坐标为(1，1)．②将函数y＝sin2x的图象的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝sinx的图象．③在极坐标系中，点(2，π3)与(2，－5π3)为同一点．④在极坐标系中，方程ρcosθ＝1表示圆．其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)返回导航解析：①正确．在平面直角坐标系中，已知伸缩变换为φ：x′＝13x，y′＝12y，则点(3，2)经过变换φ后的点的坐标为(1，1)．②正确．将函数y＝sin2x的图象的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝sin[2(12x)]＝sinx的图象．返回导航③正确．极坐标系中，点(2，π3)与(2，π3＋2kπ)(k∈Z)为同一点．④错误．极坐标系中，方程ρcosθ＝1表示垂直于极轴的直线．答案：①②③返回导航考点一平面直角坐标系中的伸缩变换(1)设平面上的伸缩变换的坐标表达式为x′＝12x，y′＝3y，则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sinx的方程变为________．(2)函数y＝sin2x＋π4经伸缩变换x′＝2x，y′＝12y后的解析式为________．返回导航答案：(1)y′＝3sin2x′(2)y′＝12sinx＋π4返回导航【反思归纳】平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：x′＝λx（λ0），y′＝μy（μ0）的作用下得到的方程的求法是将x＝x′λ，y＝y′μ代入y＝f(x)，得y′μ＝fx′λ，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．返回导航【即时训练】若函数y＝f(x)的图象在伸缩变换φ：x′＝2x，y′＝3y的作用下得到曲线的方程为y′＝3sin(x′＋π6)，求函数y＝f(x)的最小正周期．返回导航解：由题意，把变换公式代入曲线y′＝3sin(x′＋π6)得3y＝3sin(2x＋π6)，整理得y＝sin(2x＋π6)，故f(x)＝sin(2x＋π6)．所以y＝f(x)的最小正周期为2π2＝π.返回导航考点二极坐标与直角坐标的互化(1)化圆的直角坐标方程x2＋y2＝r2(r＞0)为极坐标方程；(2)化曲线的极坐标方程ρ＝8sinθ为直角坐标方程．解析：(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2＝r2，得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＝r2，ρ2(cos2θ＋sin2θ)＝r2，ρ＝r.所以，以极点为圆心、半径为r的圆的极坐标方程为ρ＝r(0≤θ≤2π)．返回导航(2)解法一把ρ＝x2＋y2，sinθ＝yρ代入ρ＝8sinθ，得x2＋y2＝8·yx2＋y2，即x2＋y2－8y＝0，即x2＋(y－4)2＝16.解法二方程两边同时乘以ρ，得ρ2＝8ρsinθ，即x2＋y2－8y＝0.返回导航【反思归纳】(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化简即可；(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．返回导航【即时训练】在极坐标系中，已知三点O(0，0)，A2，π2，B22，π4.(1)求经过O，A，B三点的圆C1的极坐标方程；(2)以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为x＝－1＋acosθy＝1＋asinθ(θ是参数，a＞0)，若圆C1与圆C2外切，求实数a的值．返回导航解析：(1)O(0，0)，A2，π2，B22，π4对应的直角坐标分别为O(0，0)，A(0，2)，B(2，2)，则过O，A，B的圆的普通方程为x2＋y2－2x－2y＝0，又因为x＝ρcosθy＝ρsinθ，代入可求得经过O，A，B的圆C1的极坐标方程为ρ＝22cosθ－π4.返回导航(2)圆x＝－1＋acosθy＝1＋asinθ(θ是参数)对应的普通方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝a2，因为圆C1与圆C2外切，所以2＋a＝2，解得a＝2－2.返回导航考点三简单曲线的极坐标方程及应用已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝2＋2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l的方程为ρsinθ＋π4＝22.(1)求曲线C在极坐标系中的方程；(2)求直线l被曲线C截得的弦长．返回导航解析：(1)由已知得，曲线C的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0，化为极坐标方程是ρ＝4cosθ.(2)由题意知，直线l的直角坐标方程为x＋y－4＝0，由x2＋y2－4x＝0，x＋y＝4，得直线l与曲线C的交点坐标为(2，2)，(4，0)，所以所求弦长为22.返回导航【反思归纳】(1)求曲线的极坐标方程，就是找出动点M的坐标ρ与θ之间的关系，然后列出方程f(ρ，θ)＝0，再化简并检验特殊点．(2)极坐标方程涉及的是长度与角度，因此列方程的实质是解直角或斜三角形．(3)极坐标方程应用时多化为直角坐标方程求解，然后再转化为极坐标方程，注意方程的等价性．返回导航【即时训练】已知⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别是ρ＝2cosθ和ρ＝2asinθ(a是非零常数)．(1)将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若两圆的圆心距为5，求a的值．返回导航解：(1)由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ.所以⊙O1的直角坐标方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.由ρ＝2asinθ，得ρ2＝2aρsinθ.所以⊙O2的直角坐标方程为x2＋y2＝2ay，即x2＋(y－a)2＝a2.(2)⊙O1与⊙O2的圆心距为12＋a2＝5，解得a＝±2.返回导航极坐标方程的应用(2015高考新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1：x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝23cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．返回导航审题指导关键点所获信息求曲线C2与C3交点的直角坐标化曲线C2与C3的极坐标方程为直角坐标方程求|AB|的最大值化曲线C1的参数方程为极坐标方程，利用极坐标求距离最大值解题突破：(1)联立曲线C2与C3的直线坐标方程；(2)由两点间距离公式和三角等变换求|AB|的最大值.返回导航解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－23x＝0.联立x2＋y2－2y＝0，x2＋y2－23x＝0，解得x＝0，y＝0，或x＝32，y＝32.所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和(32，32)．返回导航(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤απ.因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(23cosα，α)．所以|AB|＝|2sinα－23cosα|＝4|sin(α－π3)|.当α＝5π6时，|AB|取得最大值，最大值为4.