2020版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第2讲 导数与函数的单调性课件 理 新人教A版

第2讲导数与函数的单调性基础知识整合函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导：(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内_____________；(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内_____________；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是_____________．□01单调递增□02单调递减□03常数函数1．在某区间内f′(x)0(f′(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．1．(2019·许昌模拟)函数f(x)＝lnxx的单调递减区间是()A．(e，＋∞)B．(1，＋∞)C．(0，e)D．(0,1)答案A答案解析f′(x)＝1－lnxx2，由x0及f′(x)0解得xe.故选A.解析2．函数f(x)＝x3－ax为R上增函数的一个充分不必要条件是()A．a≤0B．a0C．a≥0D．a0答案B答案解析函数f(x)＝x3－ax为R上增函数的充分必要条件是f′(x)＝3x2－a≥0在R上恒成立，所以a≤(3x2)min.因为(3x2)min＝0，所以a≤0.而(－∞，0)⊆(－∞，0]．故选B.解析3．当x0时，f(x)＝x＋4x的单调减区间是()A．(2，＋∞)B．(0,2)C．(2，＋∞)D．(0，2)答案B答案解析f′(x)＝1－4x2，令f′(x)0，∴1－4x20，x0，∴0x2.∴f(x)的减区间为(0,2)．解析4．(2019·芜湖模拟)函数f(x)＝ex－ex，x∈R的单调递增区间是()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(－∞，1)D．(1，＋∞)答案D答案解析由题意知，f′(x)＝ex－e，令f′(x)0，解得x1.故选D.解析5．已知定义在R上的奇函数f(x)的导函数为f′(x)，当x0时，f′(x)fxx，且f(－1)＝0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是()A．(－1,0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(0,1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(－1,0)答案B答案6．(2019·九江模拟)已知函数f(x)＝12x2＋2ax－lnx，若f(x)在区间13，2上是增函数，则实数a的取值范围为________．答案43，＋∞答案解析由题意知f′(x)＝x＋2a－1x≥0在13，2上恒成立，即2a≥－x＋1x在13，2上恒成立，因为g(x)＝－x＋1x在13，2上单调递减，所以g(x)≤g13＝83，所以2a≥83，即a≥43.故填43，＋∞.解析核心考向突破考向一利用导数求函数的单调区间例1(1)(2019·邯郸模拟)已知函数f(x)＝x2－5x＋2lnx，则函数f(x)的单调递增区间是()A.0，12和(1，＋∞)B．(0,1)和(2，＋∞)C.0，12和(2，＋∞)D．(1,2)答案C答案解析函数f(x)＝x2－5x＋2lnx的定义域是(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－5＋2x＝2x2－5x＋2x＝x－22x－1x0，解得0x12或x2，故函数f(x)的单调递增区间是0，12和(2，＋∞)．解析(2)设函数f(x)＝x(ex－1)－12x2，则f(x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________．答案(－∞，－1)，(0，＋∞)[－1,0]答案解析∵f(x)＝x(ex－1)－12x2，∴f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．当x∈(－∞，－1)时，f′(x)0.当x∈[－1,0]时，f′(x)≤0.当x∈(0，＋∞)时，f′(x)0.故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减．解析触类旁通当方程f′x＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f′x＝0，求出实数根，把函数fx的间断点即fx的无定义点的横坐标和实根按从小到大的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f′x在各个区间内的符号，从而确定单调区间.即时训练1.(2019·陕西模拟)函数f(x)＝axx2＋1(a0)的单调递增区间是()A．(－∞，－1)B．(－1,1)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案B答案解析函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝a1－x2x2＋12＝a1－x1＋xx2＋12.由于a0，要使f′(x)0，只需(1－x)·(1＋x)0，解得x∈(－1,1)．故选B.解析2．函数f(x)＝x＋2cosx(x∈(0，π))的单调递减区间为________．答案π6，5π6答案解析f′(x)＝1－2sinx，令f′(x)0得sinx12，故π6x5π6.解析考向二利用导数讨论函数的单调区间例2(1)(2018·青岛模拟)已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性．解f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a(x0)，①当a≤0时，f′(x)＝1x－a0，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当a0时，令f′(x)＝1x－a＝0，可得x＝1a，当0x1a时，f′(x)＝1－axx＞0；当x1a时，f′(x)＝1－axx＜0，答案故函数f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减．由①②知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a0时，f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减．答案(2)已知函数f(x)＝13x3＋x2＋ax＋1(a∈R)，求函数f(x)的单调区间．解f′(x)＝x2＋2x＋a，方程x2＋2x＋a＝0的判别式Δ＝4－4a＝4(1－a)，若a≥1，则Δ≤0，f′(x)＝x2＋2x＋a≥0，∴f(x)在R上单调递增．若a1，则Δ0，方程x2＋2x＋a＝0有两个不同的实数根，x1＝－1－1－a，x2＝－1＋1－a，当xx1或xx2时，f′(x)0；当x1xx2时，f′(x)0，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－1－1－a)和(－1＋1－a，＋∞)，单调递减区间为(－1－1－a，－1＋1－a)．答案触类旁通1研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.遇二次三项式因式常考虑二次项系数、对应方程的判别式以及根的大小关系，以此来确定分界点，分情况讨论.2划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.3个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如fx＝x3，f′x＝3x2≥0f′x＝0在x＝0时取到，fx在R上是增函数.即时训练3.已知函数f(x)＝ex(ax2－2x＋2)(a＞0)，试讨论f(x)的单调性．解由题意得f′(x)＝ex[ax2＋(2a－2)x](a＞0)，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2－2aa.(1)当0＜a＜1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和2－2aa，＋∞，单调递减区间为0，2－2aa；答案(2)当a＝1时，f(x)在(－∞，＋∞)内单调递增；(3)当a＞1时，f(x)的单调递增区间为－∞，2－2aa和(0，＋∞)，单调递减区间为2－2aa，0.答案4．已知函数f(x)＝(a－1)lnx＋ax2＋1，a∈R，试讨论f(x)的单调性．解f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－1x＋2ax＝2ax2＋a－1x.(1)当a≥1时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(2)当a≤0时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减．(3)当0＜a＜1时，令f′(x)＝0，解得x＝1－a2a，答案则当x∈0，1－a2a时，f′(x)＜0；当x∈1－a2a，＋∞时，f′(x)＞0，故f(x)在0，1－a2a上单调递减，在1－a2a，＋∞上单调递增．答案考向三利用导数解决函数单调性的应用问题角度1比较大小或解不等式例3(1)已知函数f(x)＝－xex＋ln2，则()A．f1e＝f12B．f1ef12C．f1ef12D．f1e，f12的大小关系无法确定答案C答案解析f′(x)＝－ex－－xexex·ex＝x－1ex，当x1时，f′(x)0，函数f(x)单调递减．∵1e121，∴f1ef12.故选C.解析(2)已知定义域为R的函数f(x)满足f(4)＝－3，且对任意的x∈R总有f′(x)3，则不等式f(x)3x－15的解集为________．答案(4，＋∞)答案解析令g(x)＝f(x)－3x＋15，则g′(x)＝f′(x)－30，所以g(x)在R上是减函数．又g(4)＝f(4)－3×4＋15＝0，所以f(x)3x－15的解集为(4，＋∞)．解析触类旁通利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．即时训练5.(2019·青岛二中月考)已知定义域为R的函数f(x)的导数为f′(x)，且满足f′(x)2x，f(2)＝3，则不等式f(x)x2－1的解集是()A．(－∞，－1)B．(－1，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－∞，2)答案D答案解析令g(x)＝f(x)－x2，则g′(x)＝f′(x)－2x0，即函数g(x)在R上单调递减．又不等式f(x)x2－1可化为f(x)－x2－1，而g(2)＝f(2)－22＝3－4＝－1，所以不等式可化为g(x)g(2)，故不等式的解集为(－∞，2)．故选D.解析6．(2019·河北石家庄模拟)已知f(x)＝lnxx，则()A．f(2)f(e)f(3)B．f(3)f(e)f(2)C．f(e)f(2)f(3)D．f(e)f(3)f(2)答案D答案解析f′(x)＝1－lnxx2，当x∈(0，e)时，f′(x)0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)0，x＝e时，f(x)max＝f(e)．f(2)＝ln22＝ln86，f(3)＝ln33＝ln96，f(e)f(3)f(2)．故选D.解析角度2根据函数的单调性求参数例4(1)设函数f(x)＝12x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是()A．(1,2]B．(4，＋∞)C．(－∞，2)D．(0,3]答案A答案解析因为f(x)＝12x2－9lnx，所以f′(x)＝x－9x(x0)，当x－9x≤0时，有0x≤3，即在(0,3]上函数f(x)是减函数，则[a－1，a＋1]⊆(0,3]，所以a－10且a＋1≤3，解得1a≤2.故选A.解析(2)(2019·西宁模拟)若函数f(x)＝－13x3＋12x2＋2ax在23，＋∞上存在单调递增区间，则a的取值范围是________．答案－19，＋∞答案解析对f(x)求导，得f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－x－122＋14＋2a.当x∈23，＋∞时，f′(x)的最大值为f′23＝29＋2a.令29＋2a＞0，解得a＞－19.所以a的取值范围是－19，＋∞.解析触类旁通(1)f(x)在区间D上单调递增(减)，只要f