2020版高考数学一轮复习 第三篇 三角函数、解三角形 第5节 三角恒等变换课件 文 新人教A版

第三篇三角函数、解三角形(必修4、必修5)返回导航第5节三角恒等变换最新考纲1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆).返回导航【教材导读】1．公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立吗？提示：不一定，变形可以，但不是对任意角α，β都成立，α，β，α＋β≠kπ＋π2，k∈Z.返回导航2．一般情况下，tan2α≠2tanα，但是否存在α，使得tan2α＝2tanα？提示：存在α，使得tan2α＝2tanα，如α＝kπ(k∈Z)时，上式就成立．返回导航3．公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)中φ的取值与a，b有关吗？提示：有关．cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2，可知φ的取值与a，b的值有关．返回导航1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)两角和与差的余弦公式cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ．(2)两角和与差的正弦公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ．返回导航(3)两角和与差的正切公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβα，β，α＋β≠π2＋kπ，k∈Z，tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβα，β，α－β≠π2＋kπ，k∈Z.返回导航2．二倍角的正弦、余弦和正切公式(1)二倍角的正弦公式sin2α＝2sinαcosα．(2)二倍角的余弦公式cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)二倍角的正切公式tan2α＝2tanα1－tan2α．返回导航3．公式的常见变形(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．(2)sin2α＝1－cos2α2；cos2α＝1＋cos2α2；sinα·cosα＝12sin2α．返回导航(3)1＋cosα＝2cos2α2；1－cosα＝2sin2α2；1＋sinα＝sinα2＋cosα22；1－sinα＝sinα2－cosα22.返回导航4．形如asinx＋bcosx的式子的化简asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)(其中sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2)．返回导航1．已知sinπ4＋x＝35，则sin2x的值为()(A)－2425(B)2425(C)－725(D)725返回导航C解析：sin2x＝sin2x＋π4－π2＝－cos2x＋π4＝－1－2sin2x＋π4＝－725.故选C.返回导航2．已知α，β都是锐角，若sinα＝55，sinβ＝1010，则α＋β等于()(A)π4(B)3π4(C)π4和3π4(D)－π4和－3π4返回导航A解析：由于α，β都为锐角，所以cosα＝1－sin2α＝255，cosβ＝1－sin2β＝31010.所以cos(α＋β)＝cosα·cosβ－sinα·sinβ＝22，所以α＋β＝π4.故选A.返回导航3．设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为()(A)－3(B)－1(C)1(D)3A解析：tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝2，根据tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝31－2＝－3.返回导航4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是()(A)a＝2b(B)b＝2a(C)A＝2B(D)B＝2A返回导航A解析：由题意可知sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sin(A＋C)，即2sinBcosC＝sinAcosC，又cosC≠0，故2sinB＝sinA，由正弦定理可知a＝2b.返回导航5．函数f(x)＝sin2(x＋π4)－sin2(x－π4)，x∈(π6，π3)的值域是________．解析：f(x)＝sin2(x＋π4)－cos2(x＋π4)＝－cos(2x＋π2)＝sin2x.因为π6xπ3，所以π32x2π3.所以32sin2x≤1.答案：(32，1]返回导航考点一三角函数式的化简、求值(1)化简：2cos2α－12tanπ4－αsin2π4＋α.(2)求值：①sin110°sin20°cos2155°－sin2155°；②3tan12°－3sin12°（4cos212°－2）.返回导航解析：(1)解法一原式＝cos2α－sin2α2×1－tanα1＋tanα（sinπ4cosα＋cosπ4sinα）2＝（cos2α－sin2α）（1＋tanα）（1－tanα）（cosα＋sinα）2＝（cos2α－sin2α）（1＋sinαcosα）（1－sinαcosα）（cosα＋sinα）2＝1.返回导航解法二原式＝cos2α2tan（π4－α）cos2（π4－α）＝cos2α2sin（π4－α）cos（π4－α）＝cos2αsin（π2－2α）＝cos2αcos2α＝1.返回导航(2)①原式＝sin70°sin20°cos310°＝cos20°sin20°cos50°＝12sin40°sin40°＝12.②原式＝3×sin12°cos12°－3sin12°（4cos212°－2）返回导航＝3sin12°－3cos12°2sin12°cos12°（2cos212°－1）＝23（12sin12°－32cos12°）sin24°cos24°＝23sin（12°－60°）12sin48°＝－43.返回导航【反思归纳】(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有①化为特殊角的三角函数值；②化为正、负相消的项，消去求值；③化分子、分母出现公约数进行约分求值．返回导航【即时训练】(1)已知sin(α＋π3)＋sinα＝－435，－π2＜α＜0，则cos(α＋2π3)等于()(A)－45(B)－35(C)45(D)35返回导航(2)sin47°－sin17°cos30°cos17°的值是()(A)－32(B)－12(C)12(D)32返回导航解析：(1)∵sin(α＋π3)＋sinα＝－435，－π2α0，∴32sinα＋32cosα＝－435，∴32sinα＋12cosα＝－45，∴cos(α＋2π3)＝cosαcos2π3－sinαsin2π3＝－12cosα－32sinα＝45.返回导航(2)原式＝sin（30°＋17°）－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12答案：(1)C(2)C返回导航考点二三角函数的给值求值问题已知cosπ4＋x＝35，若1712π＜x＜74π，求sin2x＋2sin2x1－tanx的值．返回导航解析：解法一由1712π＜x＜74π，得53π＜x＋π4＜2π.又cos(π4＋x)＝35，所以sin(π4＋x)＝－45，所以cosx＝cos[(π4＋x)－π4]＝cos(π4＋x)cosπ4＋sin(π4＋x)sinπ4＝35×22－45×22＝－210，返回导航从而sinx＝－7210，tanx＝7.则sin2x＋2sin2x1－tanx＝2sinxcosx＋2sin2x1－tanx＝2（－7210）·（－210）[phone]＝－2875.返回导航解法二由解法一得tan(π4＋x)＝－43.又sin2x＝－cos(π2＋2x)＝－cos2(π4＋x)＝－2cos2(π4＋x)＋1＝－1825＋1＝725.则sin2x＋2sin2x1－tanx＝sin2x＋2sin2x1－sinxcosx＝sin2xcosx＋2sin2xcosxcosx－sinx＝sin2x（sinx＋cosx）cosx－sinx＝sin2x·1＋tanx1－tanx＝sin2x·tan(x＋π4)＝725×(－43)＝－2875.返回导航【反思归纳】已知三角函数值，求三角函数式值的一般思路(1)先化简所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．返回导航【即时训练】已知α∈(π2，π)，sinα＝55.(1)求sin(π4＋α)的值；(2)求cos(5π6－2α)的值．返回导航解：(1)由题意cosα＝－1－（55）2＝－255，所以sin(π4＋α)＝sinπ4cosα＋cosπ4sinα＝22×(－255)＋22×55＝－1010.返回导航(2)sin2α＝2sinαcosα＝－45，cos2α＝2cos2α－1＝35，所以cos(5π6－2α)＝cos5π6cos2α＋sin5π6sin2α＝－32×35＋12×(－45)＝－33＋410.返回导航考点三三角函数的给值求角问题已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2.(1)求tan2α的值．(2)求β.返回导航解析：(1)由cosα＝17，0＜α＜π2，得sinα＝1－cos2α＝1－（17）2＝437.所以tanα＝sinαcosα＝437×71＝43.于是tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×431－（43）2＝－8347.返回导航(2)由0＜β＜α＜π2，得0＜α－β＜π2，又因为cos(α－β)＝1314，所以sin(α－β)＝1－cos2（α－β）＝1－（1314）2＝3314β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.∴β＝π3.返回导航【反思归纳】(1)解决给值求角问题的一般步骤是：①求角的某一个三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围写出要求的角．(2)在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数，尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数．①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，π2，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦函数较好．返回导航【即时训练】(1)设α，β为钝角，且sinα＝55，cosβ＝－31010，则α＋β的值为()(A)3π4(B)5π4(C)7π4(D)5π4或7π4(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，则2α－β的值为________．返回导航解析：(1)因为α，β为钝角，sinα＝55，cosβ＝－31010，所以cosα＝－255，sinβ＝1010，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝220.又α＋β∈(π，2π)，所以α＋β∈(3π2，2π)，所以α＋β＝7π4.返回导航(2)因为tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tan（α－β）＋tanβ1－tan（α－β）tanβ＝12－171＋12×17＝130，所以0απ2.又因为tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－（13）2＝340，