2020版高考数学一轮复习 第三篇 三角函数、解三角形 第3节 三角函数的图象与性质课件 文 新人教

第三篇三角函数、解三角形(必修4、必修5)返回导航第3节三角函数的图象与性质最新考纲1．能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在(－π2，π2)内的单调性.返回导航【教材导读】1．所有的周期函数都有最小正周期吗？提示：不是所有的周期函数都有最小正周期．如函数f(x)＝c(c为常数)的周期为任意非零实数，但没有最小正周期．返回导航2．正切函数y＝tanx在定义域是增函数吗？提示：不是，正切函数y＝tanx在每一个区间(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数．返回导航正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象返回导航定义域RRxx≠π2＋kπ，k∈Z值域[－1,1][－1,1]R单调性在2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)上单调递增；在2kπ＋π2，2kπ＋32π(k∈Z)上单调递减在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减在kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)上单调递增返回导航奇偶性2kπ＋π2(k∈Z)2kπ(k∈Z)奇函数最值x＝偶函数时，ymax＝1；x＝2kπ－π2(k∈Z)时，ymin＝－1x＝奇函数时，ymax＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1无最值返回导航对称中心(kπ，0)(k∈Z)对称中心kπ＋π2，0(k∈Z)对称中心kπ2，0(k∈Z)对称性对称轴l：x＝kπ＋π2(k∈Z)对称轴l：x＝kπ(k∈Z)周期2π2ππ返回导航【重要结论】对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．返回导航1．函数y＝cosx－32的定义域为()(A)－π6，π6(B)kπ－π6，kπ＋π6，k∈Z(C)2kπ－π6，2kπ＋π6，k∈Z(D)R返回导航C解析：∵cosx－32≥0，得cosx≥32，∴2kπ－π6≤x≤2kπ＋π6，k∈Z.故选C.返回导航2．(2017全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cosx＋π3，则下列结论错误的是()(A)f(x)的一个周期为－2π(B)y＝f(x)的图象关于直线x＝8π3对称(C)f(x＋π)的一个零点为x＝π6(D)f(x)在(π2，π)单调递减返回导航D解析：根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A正确；当x＝8π3时，x＋π3＝3π，所以cos(x＋π3)＝－1，所以B正确；f(x＋π)＝cos(x＋π＋π3)＝cos(x＋4π3)，当x＝π6时，x＋4π3＝3π2，所以f(x＋π)＝0，所以C正确；函数f(x)＝cos(x＋π3)在(π2，23π)上单调递减，在(23π，π)上单调递增，故D不正确．所以选D.返回导航3．将函数y＝sin2x的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度，若所得图象过点π3，12，则φ的最小值为()(A)π12(B)π6(C)π4(D)π3返回导航C解析：移动后y＝sin2(x－φ)＝sin(2x－2φ)经过点π3，12，则sin2π3－2φ＝12，解之得2π3－2φ＝π6＋2kπ或2π3－2φ＝5π6＋2kπ，k∈Z，∴φ＝π4－kπ或φ＝－π12－kπ，k∈Z∵φ＞0∴φ最小值为π4.故选C.返回导航4．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的________条件．解析：若f(x)是奇函数，则φ＝π2＋kπ(k∈Z)；当φ＝π2时，f(x)为奇函数．答案：必要不充分返回导航5．函数y＝sin(2x＋π3)的单调递增区间为________．解析：令－π2＋2kπ≤2x＋π3≤π2＋2kπ，k∈Z，得－512π＋kπ≤x≤π12＋kπ，k∈Z，所以函数y＝sin(2x＋π3)的单调递增区间为[－512π＋kπ，π12＋kπ]，k∈Z.答案：[－512π＋kπ，π12＋kπ]，k∈Z返回导航考点一三角函数的定义域与简单的三角不等式(1)定义在区间0，π2上的函数y＝6cosx的图象与y＝5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y＝sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为________．(2)满足cosx≥12，且x∈[0，2π]的x的集合为________．(3)函数f(x)＝64－x2＋log2(2sinx－1)的定义域是________．返回导航答案：(1)23(2)0，π3∪5π3，2π(3)－116π，－76π∪π6，56π∪136π，8返回导航【反思归纳】(1)三角函数定义域的求法①应用正切函数y＝tanx的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域．②转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域．(2)简单三角不等式的解法①利用三角函数的图象求解．②利用三角函数线求解．返回导航【即时训练】(1)函数y＝lg(2sinx－1)＋1－2cosx的定义域为________．(2)函数y＝1tanx－1的定义域为________．返回导航解析：(1)要使函数y＝lg(2sinx－1)＋1－2cosx有意义，则2sinx－10，1－2cosx≥0，即sinx12，cosx≤12.解之得2kπ＋π3≤x2kπ＋5π6，k∈Z.即函数的定义域为[2kπ＋π3，2kπ＋5π6)，k∈Z.返回导航(2)要使函数有意义，必须有tanx－1≠0，x≠π2＋kπ，k∈Z，即x≠π4＋kπ，k∈Z，x≠π2＋kπ，k∈Z.故函数的定义域为{x|x≠π4＋kπ且x≠π2＋kπ，k∈Z}．返回导航考点二三角函数的值域或最值函数f(x)＝sin2x＋3cosx－34(x∈0，π2的最大值是________．返回导航解析：依题意，f(x)＝sin2x＋3cosx－34＝－cos2x＋3cosx＋14＝－(cosx－32)2＋1，因为x∈[0，π2]，所以cosx∈[0，1]，因此当cosx＝32时，f(x)max＝1.答案：1返回导航【反思归纳】三角函数值域的三种求法①直接法：利用sinx，cosx的值域．②化一法：化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域．③换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题．返回导航【即时训练】求下列函数的值域：(1)y＝sinx＋cosx＋sinxcosx；(2)y＝2cos(π3＋x)＋2cosx.返回导航解析：(1)令t＝sinx＋cosx，则有t2＝1＋2sinxcosx，即sinx·cosx＝t2－12.有y＝f(t)＝t＋t2－12＝12(t＋1)2－1.又t＝sinx＋cosx＝2sin(x＋π4)，∴－2≤t≤2.故y＝f(t)＝12(t＋1)2－1(－2≤t≤2)，从而知：f(－1)≤y≤f(2)，即－1≤y≤2＋12.即函数的值域为[－1，2＋12]．返回导航(2)y＝2cos(π3＋x)＋2cosx＝2cosπ3cosx－2sinπ3sinx＋2cosx＝3cosx－3sinx＝23(32cosx－12sinx)＝23cos(x＋π6)．∵|cos(x＋π6)|≤1.∴该函数值域为[－23，23]．返回导航考点三三角函数的性质考查角度1：三角函数的奇偶性与周期性．(1)若函数y＝sinx＋φ3(φ∈[0，2π]是偶函数，则φ＝()(A)π2(B)23π(C)32π(D)53π返回导航(2)(2018潍坊模拟)下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝π3对称的是()(A)y＝sin2x－π3(B)y＝sin2x－π6(C)y＝sin2x＋π6(D)y＝sinx2＋π6答案：(1)C(2)B返回导航【即时训练】(1)若函数f(x)＝2cos(ωx＋π6)的最小正周期为T，T∈(1，3)，则正整数ω的最大值为________．(2)函数y＝|cosx|的最小正周期为________．返回导航解析：(1)6(2)∵y＝|cosx|＝cosx2kπ－π2，2kπ＋π2（k∈Z）－cosx2kπ＋π2，2kπ＋3π2（k∈Z）返回导航作出y＝|cosx|的图象如图，从图中可以看出y＝|cosx|的周期为π.答案：(1)6(2)π返回导航【反思归纳】奇偶性与周期性的判断方法(1)奇偶性：由正、余弦函数的奇偶性可判断y＝Asinωx和y＝Acosωx分别为奇函数和偶函数(2)周期性：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω0)的周期为2πω，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω0)的周期为πω求解．返回导航考查角度2：三角函数的单调性．(1)若函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在区间0，π3上单调递增，在区间π3，π2上单调递减，则ω等于()(A)23(B)32(C)2(D)3(2)若函数f(x)＝cos2x＋asinx在区间π6，π2是减函数，则a的取值范围是________．返回导航解析：(1)由题意知，f(π3)＝1，∴sinωπ3＝1，ωπ3＝2k＋π2(k∈Z)，ω＝6k＋32(k∈Z)，∴ω＝32，故选B.(2)利用导数将f(x)在π6，π2为减函数转化为导数f′(x)≤0在π6，π2上恒成立，f′(x)＝－2sin2x＋acosx＝－4sinxcosx＋acosx.∵x∈π6，π2，∴cosx＞0.返回导航∵f′(x)≤0在π6，π2上恒成立，即－4sinx＋a≤0在π6，π2恒成立，∴a≤(4sinx)min.又y＝4sinx在π6，π2的最小值接近2，故a≤2.答案：(1)B(2)a≤2返回导航【反思归纳】已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法(1)求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解．(2)由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．(3)由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解．返回导航考查角度3：三角函数的对称性．(1)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω0)对任意x都有f(π6＋x)＝f(π6－x)，则f(π6)等于()(A)2或0(B)－2或2(C)0(D)－2或0返回导航(2)若函数f(x)＝asinωx＋bcosωx(0ω5，ab≠0)的图象的一条对称轴方程是x＝π4ω，函数f′(x)的图象的一个对称中心是(π8，0)，则f(x)的最小正周期是________．返回导航解析：(1)因为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f(π6＋x)＝f(π6－x)，所以该函数图象关于直线x＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，则f(π6)＝±2.故选B.返回导航(2)由题设，有f(π4ω)＝±a2＋b2，即22(a＋b)＝±a2＋b2，由此得到a＝b.又f′(π8)＝0，所以aω(cosωπ8－sinωπ8)＝0，从而tanωπ8＝1，ωπ8＝kπ＋π4，k∈Z，返回导航即ω＝8k＋2，k∈Z，而0ω5，所以