2020版高考数学一轮复习 第七章 不等式 第1讲 不等关系与不等式课件 理 新人教A版

第1讲不等关系与不等式基础知识整合1．比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a－b0⇔；a－b＝0⇔；a－b0⇔.另外，若b0，则有ab1⇔ab；ab＝1⇔a＝b；ab1⇔ab.□01ab□02a＝b□03ab2．不等式的性质(1)对称性：；(2)传递性：；(3)可加性：ab⇔a＋cb＋c；ab，cd⇒；□04ab⇔ba□05ab，bc⇒ac□06□07a＋cb＋d(4)可乘性：ab，c0⇒；ab，c0⇒；ab0，cd0⇒；(5)可乘方性：ab0⇒(n∈N，n≥2)；(6)可开方性：ab0⇒(n∈N，n≥2)．□08acbc□09acbc□10acbd□11anbn□12nanb1．ab，ab0⇒1a1b.2．a0b⇒1a1b.3．ab0,0cd⇒acbd.4．0axb或axb0⇒1b1x1a.5．若ab0，m0，则bab＋ma＋m；bab－ma－m(b－m0)；aba＋mb＋m；aba－mb－m(b－m0)．1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是()A．MNB．M＝NC．MND．与x有关解析M－N＝x2＋x＋1＝x＋122＋340，所以MN.故选A.解析答案A答案2．(2019·河南洛阳模拟)若ab0，则下列结论不正确的是()A．1a1bB．a－ba0C．a2b2D．a3b3解析∵ab0，且y＝x2在(－∞，0)上单调递减，故a2b2，C错误．解析答案C答案3．(2019·陕西咸阳摸底)若a，b是任意实数，且ab，则下列不等式成立的是()A．a2b2B．ba1C．lg(a－b)0D．13a13b解析∵y＝13x是减函数，又ab，∴13a13b.故选D.解析答案D答案4．(2019·山东德州模拟)已知abc且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是()A．a2b2c2B．ab2cb2C．acbcD．abac解析解法一：∵abc且a＋b＋c＝0，∴a0，c0，∵ab，∴acbc.故选C.解法二：(赋值法)依据条件不妨取a＝－2，b＝0，c＝2，可排除A，B，D.故选C.解析答案C答案5．已知a，b，c∈R，有以下命题：①若1a1b，则cacb；②若ac2bc2，则ab；③若ab，则a·2cb·2c.其中正确的是________(请把正确命题的序号都填上)．解析①若c≤0，则命题不成立．②由ac2bc2得a－bc20，于是ab，所以命题正确．③中由2c0知命题正确．解析答案②③答案核心考向突破考向一不等式的性质例1(1)(2019·豫西南联考)如果a0b且a2b2，那么以下不等式中正确的个数是()①a2bb3；②1a01b；③a3ab2.A．0B．1C．2D．3答案C答案解析∵a0，∴1a0，又b0，∴1b0，∴1a01b，②正确；a2b2b0⇒a2bb3，①正确；a2b2a0⇒a3ab2，③不正确．故选C.解析(2)已知a，b∈R，下列四个条件中，使ab1成立的必要不充分条件是()A．ab－1B．ab＋1C．|a||b|D．lnalnb解析由ab1⇔ab－10⇔a－bb0⇔(a－b)b0⇔ab0或ab0⇒|a||b|，但由|a||b|不能得到ab0或ab0，即得不到ab1，故|a||b|是使ab1成立的必要不充分条件．故选C.解析答案C答案触类旁通解决此类题目常用的三种方法(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．2利用特殊值法排除错误答案.3利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断.即时训练1.(2019·山西联考)下列选项中，ab的一个充分不必要条件是()A．1a1bB．lgalgbC．a2b2D．eaeb解析由函数y＝lgx的单调性知lgalgb⇔ab0⇒ab，但ab⇒/lgalgb，如a＝1，b＝0.故选B.解析答案B答案2．(2019·安徽淮北模拟)若ab0，给出下列不等式：①a2＋1b2；②|1－a||b－1|；③1a＋b1a1b.其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3答案D答案解析因为ab0，所以|a||b|0，所以a2b2，所以a2＋1b2，故①正确．又因为－a－b0，所以－a＋1－b＋10，所以|1－a||b－1|，故②正确．因为a＋bab0，所以1a＋b1a1b，故③正确．所以三个不等式都正确．故选D.解析考向二比较两个数(式)的大小角度1作差法例2(1)(2019·上海徐汇区模拟)若a0，b0，则p＝b2a＋a2b与q＝a＋b的大小关系为()A．pqB．p≤qC．pqD．p≥q答案B答案解析p－q＝b2a＋a2b－a－b＝b2－a2a＋a2－b2b＝(b2－a2)·1a－1b＝b2－a2b－aab＝b－a2b＋aab，因为a0，b0，所以a＋b0，ab0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q0，故pq.综上，p≤q.故选B.解析(2)若x0且x≠1，p，q∈N＋，则1＋xp＋q与xp＋xq的大小关系为________．解析1＋xp＋q－(xp＋xq)＝(1－xp)(1－xq)．若x1，则1－xp0,1－xq0，∴(1－xp)(1－xq)0，即1＋xp＋qxp＋xq；若x1，则1－xp0,1－xq0，∴(1－xp)(1－xq)0，即1＋xp＋qxp＋xq.综上，1＋xp＋qxp＋xq.解析答案1＋xp＋qxp＋xq答案角度2作商法例3(1)设a，b都是正数，且a≠b，则aabb与abba的大小关系是________．解析aabbabba＝aa－b·bb－a＝aba－b.若ab，则ab1，a－b0，∴aba－b1，∴aabbabba；若ab，则ab1，a－b0，∴aba－b1，∴aabbabba.解析答案aabbabba答案(2)比较a＋mb＋m与ab(其中实数ba0，实数m0)的大小．解∵ba0，m0，∴bmam⇒ab＋bmab＋am0，∴ab＋bmab＋am1，即a＋mb＋m·ba1⇒a＋mb＋mab.答案角度3中间量法例4(1)(2019·四川模拟)已知实数a＝ln(lnπ)，b＝lnπ，c＝2lnπ，则a，b，c的大小关系为()A．abcB．acbC．bacD．cab解析因为eπe2，所以lnπ∈(1,2)，即b∈(1,2)．由lnπ∈(1,2)得a＝ln(lnπ)∈(ln1，ln2)，而ln2lne＝1，所以a∈(0,1)．类似地，c＝2lnπ2lne＝2，即c∈(2,4)．所以abc.故选A.解析答案A答案(2)若0ab1，则ab，logba，log1ab的大小关系是________．解析∵0a1，∴1a1.又∵0b1，∴log1ablog1a1＝0.∵0aba0＝1，logbalogbb＝1，∴log1abablogba.解析答案log1abablogba答案触类旁通1作差法的步骤：①作差；②变形；③定号；④结论.2作商法的步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论.3指数、对数函数值比较大小时，常借助于中间变量0或1破解.即时训练3.(2019·大庆模拟)设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则()A．abcB．acbC．bacD．bca解析∵a＝log3πlog33＝1，b＝log23log22＝1，∴ab，又bc＝12log2312log32＝(log23)21，∴bc，故abc.故选A.解析答案A答案4．(2019·金版创新)设α∈0，12，T1＝cos(1＋α)，T2＝cos(1－α)，则T1与T2的大小关系为________．解析T1－T2＝(cos1cosα－sin1sinα)－(cos1cosα＋sin1sinα)＝－2sin1sinα0，所以T1T2.解析答案T1T2答案5．已知a0，b0，且a≠b，试比较aabb与(ab)a＋b2的大小．答案考向三不等式性质的应用例5(1)若角α，β满足－π2αβπ2，则2α－β的取值范围是________．解析因为－π2αβπ2，所以－π2απ2，－π2βπ2，－π2－βπ2，而αβ，所以－πα－β0，所以2α－β＝(α－β)＋α∈－3π2，π2.解析答案－3π2，π2答案(2)已知－1x＋y4且2x－y3，则z＝2x－3y的取值范围是________(答案用区间表示)．解析解法一：设2x－3y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)y，对应系数相等，则λ＋μ＝2，λ－μ＝－3⇒λ＝－12，μ＝52.∴2x－3y＝－12(x＋y)＋52(x－y)∈(3,8)．解析答案(3,8)答案解法二：令a＝x＋y，b＝x－y，∴x＝a＋b2，y＝a－b2.∴2x－3y＝2a＋b2－3a－b2＝－a2＋52b∈(3,8)．解析触类旁通利用不等式性质求代数式的取值范围由af(x，y)b，cg(x，y)d，求F(x，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)(或其他形式)，通过恒等变形求得m，n的值，再利用不等式的同向可加和同向同正可乘的性质求得F(x，y)的取值范围．即时训练6.若实数x，y满足3≤xy2≤8,4≤x2y≤9，则x3y4的最大值是________．解析解法一：由3≤xy2≤8,4≤x2y≤9，可知x0，y0，且18≤1xy2≤13，16≤x4y2≤81，得2≤x3y4≤27，故x3y4的最大值是27.解析答案27答案解法二：设x3y4＝x2ym(xy2)n，则x3y－4＝x2m＋ny2n－m，所以2m＋n＝3，2n－m＝－4，即m＝2，n＝－1.又∵16≤x2y2≤81，18≤(xy2)－1≤13，∴2≤x3y4≤27，故x3y4的最大值为27.解析7．已知12a60,15b36，求a－b与ab的取值范围．解∵15b36，∴－36－b－15，∴12－36a－b60－15，即－24a－b45.∵15b36，∴1361b115，∴1236ab6015，∴13ab4.∴a－b和ab的取值范围分别是(－24,45)，13，4.答案