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第七篇立体几何(必修2)返回导航第3节空间点、直线、平面的位置关系最新考纲1．理解空间直线、平面位置关系的定义．2．了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.返回导航【教材导读】1．分别在两个平面内的直线就是异面直线吗？提示：不是．异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线，指的是找不出一个平面同时经过这两条直线，分别在两个平面内的直线可以平行、异面或相交．返回导航2．空间直线与平面、平面与平面的位置关系有哪些？提示：直线与平面的位置关系有：相交、平行、在平面内．平面与平面的位置关系有：平行、相交．返回导航1．平面的基本性质及相关公(定)理文字语言图形语言符号语言作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内判断直线在平面内返回导航公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α确定平面、直线共面返回导航公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线寻找两平面的交线；证明线共点公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行证明线线平行返回导航两角相等或互补的定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补判断或证明两角相等或互补返回导航2.空间中点、线、面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面图形语言符号语言a∥ba∥αα∥β平行关系交点个数000返回导航图形语言符号语言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l相交关系交点个数11无数个返回导航图形语言符号语言a，b是异面直线aα其他关系交点个数0无数个返回导航3.异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)；(2)范围：(0，π2]．返回导航【重要结论】经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线．返回导航1．以下四个命题中，正确命题的个数是()①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．(A)0(B)1(C)2(D)3返回导航B解析：①正确，若有三点共线，则四点必共面；②错误，当A、B、C共线时，A、B、C、D、E不一定共面；③错误，在正方体中，BC与AB共面，BC与CC1共面，但AB与CC1异面；④错误，也可以是空间四边形．返回导航2.如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A、B、C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过()(A)点A(B)点B(C)点C但不过点M(D)点C和点M返回导航D解析：通过A、B、C三点的平面γ，即是通过直线AB与点C的平面，M∈AB，∴M∈γ，而C∈γ.又∵M∈β，C∈β，∴γ和β的交线必通过点C和点M.返回导航3．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()(A)3(B)4(C)5(D)6答案：C返回导航4．正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BB1与AD1所成的角为()(A)π3(B)π4(C)π6(D)π2返回导航B解析：如图，因为BB1∥AA1，所以∠A1AD1为直线BB1与AD1所成的角，在Rt△AA1D1中，∠A1AD1＝π4.返回导航5．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________________．答案：b与α相交或b⊂α或b∥α返回导航考点一平面的基本性质及应用如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点．求证：返回导航(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．返回导航解析：(1)如图，连接EF，CD1，A1B.因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B.又A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所以E，C，D1，F四点共面．返回导航(2)因为EF∥CD1，EF＜CD1，所以CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理p∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，所以P∈直线DA.所以CE，D1F，DA三线共点．返回导航【反思归纳】(1)证明点共面或线共面的常用方法①直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．②同一法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．③辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．返回导航(2)证明空间点共线问题的方法①公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上．②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．(3)证明三线共点的方法先选取两线交于一点，再证明该点在第三条线上即可．返回导航【即时训练】如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊12AD，BE綊12FA，G，H分别为FA，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？返回导航(1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綊12AD.又∵BC綊12AD，∴GH綊BC，∴四边形BCHG为平行四边形．返回导航(2)解：C，D，F，E四点共面，证明如下：法一由BE綊12AF，G为FA的中点知BE綊FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH.∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．返回导航法二如图所示，延长FE，DC分别与AB的延长线交于点M，M′，∵BE綊12AF，返回导航∴B为MA的中点．∵BC綊12AD，∴B为M′A的中点．∴M与M′重合．即EF与CD相交于点M(M′)，∴C，D，F，E四点共面．返回导航考点二空间两直线的位置关系(1)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M∈AB1，N∈BC1，且AM＝BN≠2.有以下四个结论：返回导航①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1是异面直线．其中正确结论的序号是________．(注：把你认为正确命题的序号都填上)(2)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为________对．返回导航解析：(1)过N作NP⊥BB1于点P，连接MP，可证AA1⊥平面MNP，∴AA1⊥MN，①正确．过M、N分别作MR⊥A1B1、NS⊥B1C1于点R、S，则当M不是AB1的中点、N不是BC1的中点时，直线A1C1与直线RS相交；当M、N分别是AB1、BC1的中点时，A1C1∥RS，∴A1C1与MN可以异面，也可以平行，故②④错误．由①正确知，AA1⊥平面MNP，而AA1⊥平面A1B1C1D1，返回导航∴平面MNP∥平面A1B1C1D1，故③对．综上所述，其中正确的序号是①③.(2)平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．答案：(1)①③(2)3返回导航【反思归纳】(1)空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，常常利用线面垂直的性质来解决．(2)解决位置关系问题时，要注意几何模型的选取，如利用正(长)方体模型来解决问题．返回导航【即时训练】(1)下列四个结论：①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行．②两条直线没有公共点，则这两条直线平行．③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行．④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确的个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3返回导航(2)如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为()返回导航(A)AC⊥BD(B)AC∥截面PQMN(C)AC＝BD(D)异面直线PM与BD所成的角为45°答案：(1)A(2)C返回导航考点三异面直线所成的角问题(2017全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()(A)32(B)155(C)105(D)33返回导航解析：解法一如图所示，将直三棱柱ABC－A1B1C1补成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．因为∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AB1＝5，AD1＝2.在△B1D1C1中，∠B1C1D1＝60°，B1C1＝1，D1C1＝2，所以B1D1＝12＋22－2×1×2×cos60°＝3，返回导航所以cos∠B1AD1＝5＋2－32×5×2＝105，选择C.返回导航解法二如图，设M，N，P分别为AB，BB1，B1C1的中点，连接MN，NP，MP，则MN∥AB1，NP∥BC1，所以∠PNM或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．易知MN＝12AB1＝52，NP＝12BC1＝22.取BC的中点Q，连接PQ，MQ，可知△PQM为直角三角形，返回导航PQ＝1，MQ＝12AC.在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝4＋1－2×2×1×－12＝7，所以AC＝7，MQ＝72.在△MQP中，MP＝MQ2＋PQ2＝112，则在△PMN中，cos∠PNM＝MN2＋NP2－PM22·MN·NP＝522＋222－11222×52×22＝－105，所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为105.返回导航答案：C返回导航【反思归纳】(1)求异面直线所成角的常用方法及类型常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点、空间某特殊点)作平行线平移；补形平移．(2)求异面直线所成角的三个步骤①作：通过作平行线，得到相交直线．②证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角．③求：通过解三角形，求出该角．返回导航已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为________．返回导航解析：如图取A1B1的中点F，连EF，则EF∥BC，∠AEF是异面直线AE与BC所成的角，设正方体的棱长为a，可得AE＝32a，AF＝52a，在△AEF中，运用余弦定理得cos∠AEF＝23，即异面直线AE与BC所成角的余弦值为23.返回导航借助正方体判定线面位置关系下列命题正确的是()(A)若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行(B)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行(C)若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行(D)若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行返回导航解析：若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线不一定平行，还有可能相交，也可能异面，故A错．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面可能平行，也可能相交，故B错．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面可能平行，也可能垂直．故D错．正确的只有C.故选C.返回导航易错提醒：(1)盲目和平面内平行线的判定定理类比，从而误选A.(2)不会利用正方体作出判断，考虑问题不全面，从而误选B或D.