2020版高考数学一轮复习 第六章 数列 第3讲 等比数列及其前n项和课件 理 新人教A版

第3讲等比数列及其前n项和1．等比数列的有关概念(1)定义如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的，通常用字母q表示，定义的表达式为.□012□02同一常数□03公比□04an＋1an＝q(2)等比中项如果a，G，b成等比数列，那么叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒．2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝.□05G□06G2＝ab(ab≠0)□07a1qn－1等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a2k.(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn(λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.(5)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.(6)等比数列{an}满足a10，q1或a10，0q1时，{an}是递增数列；满足a10，0q1或a10，q1时，{an}是递减数列．1．(2019·四川成都检测)在等比数列{an}中，已知a3＝6，a3＋a5＋a7＝78，则a5＝()A．12B．18C．24D．36解析由题意，a3＋a5＋a7＝a3(1＋q2＋q4)＝78，所以1＋q2＋q4＝13，解得q2＝3，所以a5＝a3q2＝18.故选B.解析答案B答案2．已知{an}是等比数列，且an0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值为()A．5B．10C．15D．20解析根据等比数列的性质，得a2a4＝a23，a4a6＝a25，∴a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2.而a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，∴(a3＋a5)2＝25，∵an0，∴a3＋a5＝5.解析答案A答案3．(2019·广西柳州模拟)设等比数列{an}中，公比q＝2，前n项和为Sn，则S4a3的值为()A.154B.152C.74D.72解析S4＝a11－q41－q＝15a1，a3＝a1q2＝4a1，∴S4a3＝154.故选A.解析答案A答案4．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为()A．2B．4C．8D．16解析由anan＋1＝16n，得an＋1·an＋2＝16n＋1.两式相除得，an＋1·an＋2an·an＋1＝16n＋116n＝16，∴q2＝16.∵anan＋1＝16n，可知公比为正数，∴q＝4.解析答案B答案5．等比数列{an}的前n项和为Sn，若an0，q1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，则S5＝()A．31B．36C．42D．48答案A答案解析由等比数列的性质，得a3a5＝a2a6＝64，于是由a3＋a5＝20，a3a5＝64，且an0，q1，得a3＝4，a5＝16，所以a1q2＝4，a1q4＝16，解得a1＝1，q＝2.所以S5＝1×1－251－2＝31.故选A.解析6．(2019·长春模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，且a2＝－2，则a7＝()A．16B．32C．64D．128解析由题意得Sn＋2＋Sn＋1＝2Sn，得an＋2＋an＋1＋an＋1＝0，即an＋2＝－2an＋1，∴{an}从第二项起是公比为－2的等比数列，∴a7＝a2q5＝64.故选C.解析答案C答案核心考向突破考向一等比数列的基本运算例1(1)(2019·汕头模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝3a1＋a2，则S4S2＝()A．2B．3C．4D．5解析设等比数列的公比为q，由题意a1＋a2＋a3＝3a1＋a2得a3＝2a1(a1≠0)，∴q2＝a3a1＝2，∴S4S2＝1－q41－q2＝1＋q2＝3.故选B.解析答案B答案(2)(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.①求{an}的通项公式；②记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.解①设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.答案②若an＝(－2)n－1，则Sn＝1－－2n3.由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.解析触类旁通等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)所求问题可迎刃而解．解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程．即时训练1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2018＝3S2017＋2018，a2017＝3S2016＋2018，则公比q等于()A．3B．13C．4D．14解析由a2018＝3S2017＋2018，a2017＝3S2016＋2018，得a2017q－3S2017＝2018，a2017－3S2016＝2018，∴a2017q－3S2017＝a2017－3S2016，∴a2017(q－1)＝3(S2017－S2016)＝3a2017，∴q＝4.故选C.解析答案C答案2．等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a2＋a4＝30，则数列{an}的前5项和S5＝()A．81B．90C．100D．121解析∵等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a2＋a4＝30，∴公比q＝a2＋a4a1＋a3＝3010＝3，∴a1＋9a1＝10，解得a1＝1，∴数列{an}的前5项和S5＝1×1－351－3＝121.故选D.解析答案D答案3．(2019·安徽皖江名校联考)已知Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和，若a2·a4＝16，S3＝7，则a8＝________.答案128答案解析∵a2·a4＝a23＝16，∴a3＝4(负值舍去)，∵a3＝a1q2＝4，S3＝7，∴q≠1，S2＝a11－q21－q＝4q21＋q1－q1－q＝3，∴3q2－4q－4＝0，解得q＝－23或q＝2，∵an0，∴q＝－23舍去，∴q＝2，∴a1＝1，∴a8＝27＝128.解析考向二等比数列的性质角度1等比数列项的性质例2(1)(2019·四川绵阳模拟)等比数列{an}的各项均为正数，且a1＋2a2＝4，a24＝4a3a7，则a5＝()A.116B.18C．20D.40答案B答案解析设等比数列的公比为q.由a24＝4a3a7，得a24＝4a25，所以q2＝a5a42＝14，解得q＝±12.又因为数列的各项均为正数，所以q＝12.又因为a1＋2a2＝4，所以a1＋2a1q＝a1＋2a1×12＝4，解得a1＝2，所以a5＝a1q4＝2×124＝18.故选B.解析(2)在等比数列{an}中，公比a1＋am＝17，a2am－1＝16，且前m项和Sm＝31，则项数m＝________.解析由等比数列的性质知a1am＝a2am－1＝16，又a1＋am＝17，q1，所以a1＝1，am＝16，Sm＝a11－qm1－q＝a1－amq1－q＝1－16q1－q＝31，解得q＝2，am＝a1qm－1＝2m－1＝16.所以m＝5.解析答案5答案触类旁通在等比数列的基本运算问题中，一般是利用通项公式与前n项和公式，建立方程组求解，但如果灵活运用等比数列的性质“若m＋n＝p＋qm，n，p，q∈N*，则有aman＝apaq”，则可减少运算量，解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.即时训练4.(2019·福建三明模拟)已知数列{an}是各项均为正值的等比数列，且a4a12＋a3a5＝15，a4a8＝5，则a4＋a8＝()A．15B.5C．5D．25解析∵a4a12＋a3a5＝15，∴a24＋a28＝15，又a4a8＝5，∴(a4＋a8)2＝a24＋a28＋2a4a8＝25，又a4＋a80，∴a4＋a8＝5.故选C.解析答案C答案5．(2019·江西联考)在等比数列{an}中，若a2a5＝－34，a2＋a3＋a4＋a5＝54，则1a2＋1a3＋1a4＋1a5＝()A．1B．－34C．－53D．43答案C答案解析因为数列{an}是等比数列，a2a5＝－34＝a3a4，a2＋a3＋a4＋a5＝54，所以1a2＋1a3＋1a4＋1a5＝a2＋a5a2a5＋a3＋a4a3a4＝54－34＝－53.故选C.解析角度2等比数列和的性质例3(1)已知各项都是正数的等比数列{an}，Sn为其前n项和，且S3＝10，S9＝70，那么S12＝()A．150B．－200C．150或－200D．400或－50答案A答案解析解法一：由等比数列的性质知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，∴(S6－10)2＝10(70－S6)，解得S6＝30或－20(舍去)，又(S9－S6)2＝(S6－S3)·(S12－S9)，即402＝20(S12－70)，解得S12＝150.故选A.解法二：设等比数列前n项和为Sn＝A－Aqn，则A1－q9＝70，A1－q3＝10，两式相除得1＋q3＋q6＝7，解得q3＝2或－3(舍去)，∴A＝－10.∴S12＝－10(1－24)＝150.故选A.解析(2)已知等比数列{an}的前10项中，所有奇数项之和为8514，所有偶数项之和为17012，则S＝a3＋a6＋a9＋a12的值为________．解析设公比为q，由S偶S奇＝q＝2，S奇＝a1[1－q25]1－q2＝8514，得a1＝14，q＝2，∴S＝a3＋a6＋a9＋a12＝a3(1＋q3＋q6＋q9)＝a1q2(1＋q3)(1＋q6)＝585.解析答案585答案触类旁通1等比数列前n项和的性质主要是若Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列.(2)注意等比数列前n项和公式的变形．当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a11－q－a11－q·qn，即Sn＝A－Aqn(q≠1)．3利用等比数列的性质可以减少运算量，提高解题速度.解题时，根据题目条件，分析具体的变化特征，即可找到解决问题的突破口.即时训练6.(2019·云南玉溪模拟)等比数列{an}中，公比q＝2，a1＋a4＋a7＋…＋a97＝11，则数列{an}的前99项的和S99＝()A．99B．88C．77D．66解析解法一：由等比数列性质知a1，a4，a7，…，a97是等比数列且其公比为q3＝8，∴a11－8331－8＝11，∴a1(1－299)＝－77，∴S99＝a11－q991－q＝77.故选C.解析答案C答案解法二：令S0＝a1＋a4＋a7＋…＋a97＝11，S′＝a2＋a5＋a8＋…＋a98，S″＝a3＋a6＋a9＋…＋a99.由数列{an}为等比数列，q＝2易知S0，S′，S″成等比数列且公比为2，则S′＝2S0＝22，S″＝2S′＝44，所以S99＝S0＋S′＋S″＝11＋22＋44＝77.故选C.解析7．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于()A．80B．30C．26D．16答案B答案解析由题意知公比大于0，由等比数列性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍为等比数列．设S2n＝x，则2，x－2,14－x成等比数列．由(x－2)2＝2×(14－x)，解得x＝6或x