2020版高考数学一轮复习 第六篇 不等式 第4节 基本不等式课件 文 新人教A版

第六篇不等式(必修5)返回导航第4节基本不等式最新考纲1．了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.返回导航【教材导读】1．不等式a2＋b2≥2ab与a＋b≥2ab的应用条件是什么？提示：在a2＋b2≥2ab中，a，b∈R，而在a＋b≥2ab中要求a0，b0.返回导航2．函数y＝x＋1x的值域，以及函数y＝x＋1x(x≥2)的值域均能利用基本不等式求解吗？若能，请求出其值域．若不能请说明理由？提示：对于函数y＝x＋1x可以利用基本不等式求解．当x0时，y＝x＋1x≥2(当且仅当x＝1时取“＝”)；当x0时，y＝x＋1x＝－(－x＋1－x)≤－2(当且仅当x＝－1时取“＝”)；故其值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．返回导航而函数y＝x＋1x(x≥2)不能直接利用基本不等式求值域，因为取“＝”号的条件不成立，可利用函数的单调性求解，函数y＝x＋1x(x≥2)在[2，＋∞)上单调递增，故其值域为[52，＋∞)．返回导航1．基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件a0，b0.(2)等号成立的条件当且仅当a＝b时取等号．(3)其中a＋b2称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数．返回导航2．利用基本不等式求最值(1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b为正实数，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤M24，等号当且仅当a＝b时成立．(简记：和定积最大)(2)两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b为正实数，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2P，等号当且仅当a＝b时成立．(简记：积定和最小)返回导航3．几个常用的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)ab≤(a＋b2)2(a，b∈R)．(3)(a＋b2)2≤a2＋b22(a，b∈R)．(4)ba＋ab≥2(ab0)．(5)21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a0，b0)．返回导航1．已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是()(A)a＋b≥2ab(B)a2＋b2＞2ab(C)ab＋ba≥2(D)ab＋ba≥2返回导航D解析：对于A，当a，b为负数时，a＋b≥2ab不成立；对于B，当a＝b时，a2＋b2＞2ab不成立；对于C，当a，b异号时，ba＋ab≥2不成立；对于D.因为ba，ab同号，所以ba＋ab＝ba＋ab≥2ba·ab＝2(当且仅当|a|＝|b|时取等号)，即ba＋ab≥2恒成立．故选D.返回导航2．下列各函数中，最小值为2的是()(A)y＝x＋1x(B)y＝sinx＋1sinx，x∈(0，2π)(C)y＝x2＋2x2＋2(D)y＝x＋4x－2返回导航D解析：当x＝－1时，y＝x＋1x＝－2，排除A；当sinx＝－1时，y＝sinx＋1sinx＝－2，排除B；当x＝0时，y＝x2＋2x2＋2＝2，排除C；对于y＝x＋4x－2，利用基本不等式可得y≥24－2＝2，当且仅当x＝4时，等号成立，故D满足条件．返回导航3．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()(A)[0，2](B)[－2，0](C)[－2，＋∞)(D)(－∞，－2]D解析：因为1＝2x＋2y≥22x·2y，即2x＋y≤2－2，所以x＋y≤－2，当且仅当2x＝2y，即x＝y时取等号．故选D.返回导航4．若直线xa＋yb＝1(a0，b0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于()(A)2(B)3(C)4(D)5C解析：法一因为直线xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，所以1a＋1b＝1，所以1＝1a＋1b≥21a·1b＝2ab(当且仅当a＝b＝2时取等号)，所以ab≥2.又a＋b≥2ab(当且仅当a＝b＝2时取等号)，所以a＋b≥4(当且仅当a＝b＝2时取等号)，故选C.返回导航法二因为直线xa＋yb＝1(a0，b0)过点(1，1)，所以1a＋1b＝1，所以a＋b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ab＋ba≥2＋2ab·ba＝4(当且仅当a＝b＝2时取等号)，故选C.返回导航5．已知x＞0，y＞0且(x－1)(y－1)≥2，则x＋y的取值范围是________．解析：由(x－1)(y－1)≥2得xy－(x＋y)＋1≥2，所以x＋y≤xy－1.因为xy＝(xy)2≤x＋y22，所以x＋y≤（x＋y）24－1.令x＋y＝t(t＞0)，则原式可化为t2－4t－4≥0，所以t≥22＋2，即x＋y∈[22＋2，＋∞)．答案：[22＋2，＋∞)返回导航考点一利用基本不等式求最值(1)已知函数y＝alog2x－b(a＞0，b＞0)的图象过点14，－1，则2a＋1b的最小值为________．(2)求f(x)＝x2－2x＋6x＋1(x＞－1)的最小值．返回导航解析：(1)由函数y＝alog2x－b(a＞0，b＞0)的图象图象过点14，－1⇒2a＋b＝1，可得2a＋1b＝(2a＋b)2a＋1b＝4＋2ab＋1＋2ba≥5＋22ab·2ba＝9，即可详解：∵函数y＝alog2x－b(a＞0，b＞0)的图象过点14，－1，∴alog214－b＝－1⇒2a＋b＝1，返回导航∴2b＋1b＝(2a＋b)2a＋1b＝4＋2ab＋1＋2ba≥5＋22ab·2ba＝9，(当且仅当2ab＝2ba，即a＝b时取等号)．故答案为：9.(2)因为x＞－1，所以x＋1＞0，由f(x)＝x2－2x＋6x＋1＝（x＋1）2－4x＋5x＋1＝（x＋1）2－4（x＋1）＋9x＋1返回导航＝x＋1＋9x＋1－4.因为x＋1＋9x＋1≥2（x＋1）·9x＋1＝6，所以f(x)≥6－4＝2，当且仅当x＋1＝9x＋1，即x＝2时，f(x)有最小值2.返回导航【反思归纳】(1)利用基本不等式求最值需注意以下三个方面：①各数(式)均为正；②和或积为定值；③等号能否成立．这三个条件缺一不可，为便于记忆简述为“一正、二定、三相等”．(2)合理拆分项或配凑因式或“1”代换是常用技巧，目的是构造出基本不等式的框架形式．(3)当多次使用基本不等式时，要保证等号能同时取得．返回导航【即时训练】(1)已知x＜54，求f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值；(2)函数f(x)＝1＋logax(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－2＝0上，其中mn＞0，求1m＋1n的最小值．解析：(1)因为x＜54，所以5－4x＞0，则f(x)＝4x－2＋14x－5＝－5－4x＋15－4x＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为1.返回导航(2)因为loga1＝0，所以f(1)＝1，故函数f(x)的图像恒过定点A(1，1)．又点A在直线mx＋ny－2＝0上，所以m＋n－2＝0，即m＋n＝2.而1m＋1n＝121m＋1n×(m＋n)＝122＋nm＋mn，因为mn＞0，所以nm＞0，mn＞0.返回导航由基本不等式，可得nm＋mn≥2nm×mn＝2(当且仅当m＝n时等号成立)，所以1m＋1n＝12×2＋nm＋mn≥12×(2＋2)＝2，即1m＋1n的最小值为2.返回导航考点二利用基本不等式证明不等式已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：(1x－1)(1y－1)(1z－1)＞8.返回导航解析：因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，所以1x－1＝1－xx＝y＋zx＞2yzx，①1y－1＝1－yy＝x＋zy＞2xzy，②1z－1＝1－zz＝x＋yz＞2xyz，③又x，y，z为正数，由①×②×③，得1x－11y－11z－1＞8.返回导航【反思归纳】利用基本不等式证明不等式的策略(1)若要证明的不等式不能直接使用基本不等式，则考虑利用拆项、配凑等方法对要证不等式进行变形，使之达到能使用基本不等式的条件．(2)若题目中还有已知条件，则首先观察已知条件和要证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换．(3)解题时要时刻注意取得等号的条件能否成立．返回导航【即时训练】设a，b均为正实数，求证：1a2＋1b2＋ab≥22.证明：由于a，b均为正实数，所以1a2＋1b2≥21a2·1b2＝2ab，当且仅当1a2＝1b2，即a＝b时等号成立，又因为2ab＋ab≥22ab·ab＝22，当且仅当2ab＝ab时等号成立，返回导航所以1a2＋1b2＋ab≥2ab＋ab≥22，当且仅当1a2＝1b2，2ab＝ab即a＝b＝42时取等号．返回导航考点三基本不等式的实际应用首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝12x2－200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．返回导航(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？返回导航解：(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为yx＝12x＋80000x－200≥212x·80000x－200＝200，当且仅当12x＝80000x，即x＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．返回导航(2)不获利．设该单位每月获利为S元，则S＝100x－y＝100x－12x2－200x＋80000＝－12x2＋300x－80000＝－12(x－300)2－35000，因为x∈[400，600]，所以S∈[－80000，－40000]．故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损．返回导航【反思归纳】应用基本不等式解决实际问题的基本步骤(1)理解题意，设出变量，建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(2)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(3)还原为实际问题，写出答案．返回导航【即时训练】某人准备在一块占地面积为1800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图阴影部分所示)，大棚占地面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2.返回导航(1)试用x，y表示S；(2)若要使S的值最大，则x，y的值各为多少？解析：(1)由题意可得，xy＝1800，b＝2a，则y＝a＋b＋3＝3a＋3，所以S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a＝(3x－8)y－33＝1808－3x－83y(x＞3，y＞3)．返回导航(2)解法一S＝1808－3x－83×1800x＝1808－3x＋4800x≤1808－23x×4800x＝1808－240＝1568，当且仅当3x＝4800x，即x＝40时等号成立，S取得最大值，此时y＝1800x＝45，所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值．返回导航解法二设S＝f(x)＝1808－(3x＋4800x)(x＞3)，则f′(x)＝4800x2－3＝3（40－x）（40＋x）x2，令f′(x)＝0，则x＝40，当0＜x＜40时，f′(x)＞0；当x＞40时，f′(x)＜0.所以当x＝40时，S取得最大值，此时y＝45，所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值．