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第六篇不等式(必修5)返回导航第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题最新考纲1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.返回导航【教材导读】1．目标函数z＝ax＋by(ab≠0)中z有什么几何意义？其最值与b有何关系？返回导航提示：目标函数z＝ax＋by可转化为y＝－abx＋zb，其中zb是直线y＝－abx＋zb的截距．当b0时，截距zb取最大值时，z也取得最大值；截距zb取最小值时，z也取最小值；当b0时，截距zb取最大值时，z取最小值；截距zb取最小值时，z取最大值．返回导航2．最优解一定唯一吗？提示：不一定．当线性目标函数对应的直线与可行域多边形的一条边平行时，最优解可能有多个甚至无数个．返回导航1．二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．返回导航2．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)在平面直角坐标系中二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C0不包括边界Ax＋By＋C≥0直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)包括边界不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分返回导航(2)平面区域的确定对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可断定Ax＋By＋C0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．返回导航3．线性规划的有关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数返回导航线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题返回导航1．不等式组2x－y＋1≥0x－2y－1≤0x＋y≤1表示的平面区域为()(A)四边形及其内部(B)等腰三角形及其内部(C)在第一象限内的一个无界区域(D)不包含第一象限内的点的一个有界区域返回导航B解析：画出不等式组表示的平面区域如图，易知2x－y＋1＝0与x－2y－1＝0关于y＝x对称，与x＋y＝1所成角相等，故不等式组表示的平面区域为等腰三角形及其内部．返回导航2．在平面直角坐标系xOy中，不等式组1≤x＋y≤3，－1≤x－y≤1表示图形的面积等于()(A)1(B)2(C)3(D)4返回导航B解析：不等式组对应的平面区域如图，返回导航即对应的区域为正方形ABCD，其中A(0，1)，D(1，0)，边长AD＝2，则正方形的面积S＝2×2＝2.返回导航3．下列命题①二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域是直线Ax＋By＋C＝0的上方区域．②点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＜0.返回导航③线性目标函数取得最值的点一定在区域的顶点或者边界上．④第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy＜0表示．其中正确的命题个数是()(A)1(B)2(C)3(D)4C解析：当A0，B＜0时，Ax＋By＋C＞0表示的平面区域是直线Ax＋By＋C＝0的下方区域，故①不正确，②、③、④均正确．返回导航4．(2018全国Ⅰ卷)若x，y满足约束条件x－2y－2≤0，x－y＋1≥0，y≤0，则z＝3x＋2y的最大值为________．返回导航解析：作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．返回导航由z＝3x＋2y得y＝－32x＋z2.作直线l0：y＝－32x.平移直线l0，当直线y＝－32x＋z2过点(2，0)时，z取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.答案：6返回导航5．某实验室需购买某种化工原料106千克，现有市场上该原料的两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元，在满足需要的条件下，最少需花费______元．返回导航解析：把实际问题转化为数学问题，设需要35千克的x袋，24千克的y袋，最少需花费z元，由题意，得35x＋24y≥106，x∈N，y∈N.求z＝140x＋120y的最小值．当x＝0时，则y≥5312，返回导航则y＝5时，z＝600，当x＝1，y＝3时，z＝500，当x＝2，y＝2时，z＝520，当x＝3，y＝1时z＝540，当x＝4，y＝0时z＝560，综上得当x＝1，y＝3时，花费最少．答案：500返回导航考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)已知M(－4，0)，N(0，－3)，F(x，y)的坐标x，y满足x≥0y≥03x＋4y≤12，则△PMN面积的取值范围是()(A)[12，24](B)[12，25](C)[6，12](D)6，252返回导航(2)若满足条件x－y≥0x＋y－2≤0y≥a的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为()(A)－3(B)－2(C)－1(D)0返回导航解析：(1)作出不等式组x≥0y≥03x＋4y≤12表示的平在区域如图中阴影部分所示．返回导航又过点M(－4，0)，N(0，－3)的直线的方程为3x＋4y＋12＝0，而它与直线3x＋4y＝12平行，其距离d＝|12＋12|32＋42＝245，所以当P点在原点O处时，△PMN的面积最小，其面积为△OMN的面积，此时S△OMN＝12×3×4＝6；当P点在线段AB上时，△PMN的面积最大，为12×32＋42×245＝12，故选C.返回导航返回导航(2)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a＝0时，只有4个整点(1，1)，(0，0)，(1，0)，(2，0)；当a＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点，故选C.返回导航【反思归纳】(1)特殊点法(常用方法)在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正负即可判断Ax＋By＋C＞0表示直线哪一侧的平面区域．特别地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点．当C＝0时，常取(1，0)或者(0，1)作为此特殊点．使不等式成立的就是含取点的一侧；不成立时是另一侧．返回导航(2)变量系数法①对于直线y＝kx＋b.y＞kx＋b表示直线y＝kx＋b上方的平面区域；y＜kx＋b表示直线y＝kx＋b下方的平面区域．返回导航②对于直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0).Ax＋By＋C＞0表示的平面区域与直线Ax＋By＋C＝0的位置关系Ax＋By＋C＜0表示的平面区域与直线Ax＋By＋C＝0的位置关系A＞0在直线右侧在直线左侧A＜0在直线左侧在直线右侧B＞0在直线上方在直线下方B＜0在直线下方在直线上方简记为“A符号同右异左，B符号同上异下”。返回导航【即时训练】若不等式组x－y≥0，2x＋y≤2，y≥0，x＋y≤a表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是()(A)a≥43(B)0＜a≤1(C)1≤a≤43(D)0＜a≤1或a≥43返回导航解析：不等式组x－y≥0，2x＋y≤2，y≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．由y＝x，2x＋y＝2，得A(23，23)；由y＝0，2x＋y＝2，得B(1，0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x＋y＝a中的a的取值范围是0＜a≤1或a≥43.故选D.返回导航返回导航考点二目标函数的最值问题(高频考点)考查角度1：求线性目标函数的最值．已知x，y满足约束条件y－5≤0x＋y－4≥02x－y－5≥0，则z＝2x＋y的最小值为()(A)1(B)3(C)5(D)7返回导航解析：根据约束条件画出可行域，如图所示，返回导航由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，画出直线y＝－2x，之后向上移动，可以发现当其过A点时，截距最小，即z取得最小值，由2x－y－5＝0x＋y－4＝0可得A(3，1)，此时z＝2＋5＝7，故选D.返回导航【反思归纳】(1)利用线性规划求目标函数最值的步骤①画出约束条件对应的可行域；②将目标函数视为动直线，并将其平移经过可行域，找到最优解对应的点；③将最优解代入目标函数，求出最大值或最小值．返回导航考查角度2：求非线性目标函数的最值．(1)设x，y满足约束条件x≥0，y≥x，4x＋3y≤12，则x＋2y＋3x＋1的取值范围是()(A)[1，5](B)[2，6](C)[3，11](D)[3，10]返回导航(2)设x，y满足约束条件x－y＋3≥0，x＋y≥0，x≤2，则z＝x2＋y2的最大值为________．返回导航解析：(1)画出约束条件x≥0，y≥x，4x＋3y≤12的可行域，返回导航x＋2y＋3x＋1＝x＋1＋2y＋2x＋1＝1＋2×y＋1x＋1，y＋1x＋1的几何意义为过点(x，y)和(－1，－1)的直线的斜率．由可行域知y＋1x＋1的取值范围为[1，5]，所以x＋2y＋3x＋1的取值范围是[3，11]．返回导航(2)根据约束条件x－y＋3≥0，x＋y≥0，x≤2，画出可行域，z＝x2＋y2表示点(0，0)到可行域的距离的平方，当在区域内点A时，距离最大，x－y＋3＝0，x＝2，可得A(2，5)最大距离为29，x2＋y2的最大值为29.答案：(1)C(2)29返回导航【反思归纳】求解非线性规划问题的基本方法是利用目标函数的几何意义求解．常见非线性目标函数类型及其几何意义．(1)x2＋y2表示点(x，y)与原点(0，0)的距离，（x－a）2＋（y－b）2表示点(x，y)与点(a，b)的距离．(2)yx表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率，y－bx－a表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．(3)|Ax＋By＋C|A2＋B2表示点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离．返回导航考查角度3：由目标函数的最值求参数．已知变量x，y满足约束条件x＋4y－13≤0，2y－x＋1≥0，x＋y－4≥0，且有无穷多个点(x，y)使目标函数z＝x＋my取得最小值，则m＝________．返回导航解析：作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示．返回导航若m＝0，则z＝x，目标函数z＝x＋my取得最小值的最优解只有一个，不符合题意．若m≠0，则目标函数z＝x＋my可看作斜率为－1m的动直线y＝－1mx＋zm，若m＜0，则－1m＞0，数形结合知使目标函数z＝x＋my取得最小值的最优解不可能有无穷多个；返回导航若m＞0，则－1m＜0，数形结合可知，当动直线与直线AB重合时，有无穷多个点(x，y)在线段AB上，使目标函数z＝x＋my取得最小值，即－1m＝－1，则m＝1.综上可知，m＝1.返回导航【反思归纳】对于已知目标函数的最值，求参数问题，把参数当作已知数，找出最优解代入目标函数．由目标函数的最值求得参数的值．返回导航考点三线性规划的实际应用某人有楼房一幢，室内面积共180m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积为18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，则他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大收益？返回导航解析：设隔出大房间x间，小房间y间，获得收益为z元，则18x＋15