2020版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第6讲 双曲线课件 理 新人教A版

第6讲双曲线基础知识整合1．双曲线的概念平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做_________．这两个定点叫做双曲线的_________，两焦点间的距离叫做双曲线的_________．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a0，c0：□01双曲线□02焦点□03焦距(1)当___________时，M点的轨迹是双曲线；(2)当_________时，M点的轨迹是两条_________；(3)当_________时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质□04ac□05a＝c□06射线□07ac双曲线中的几个常用结论(1)焦点到渐近线的距离为b.(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(3)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a.(5)双曲线的离心率公式可表示为e＝1＋b2a2.1．(2018·浙江高考)双曲线x23－y2＝1的焦点坐标是()A．(－2，0)，(2，0)B．(－2,0)，(2,0)C．(0，－2)，(0，2)D．(0，－2)，(0,2)答案B答案解析因为双曲线方程为x23－y2＝1，所以焦点坐标可设为(±c,0)，因为c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，c＝2，所以焦点坐标为(±2,0)，选B.解析2．(2019·宁夏模拟)设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于()A．1B．17C．1或17D．以上均不对答案B答案解析根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8⇒|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17，故选B.解析3．(2019·湖北模拟)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为()A.73B.54C.43D.53答案D答案解析由已知可得双曲线的渐近线方程为y＝±bax，点(3，－4)在渐近线上，∴ba＝43，又a2＋b2＝c2，∴c2＝a2＋169a2＝259a2，∴e＝ca＝53.故选D.解析4．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.x220－y25＝1B.x25－y220＝1C.x280－y220＝1D.x220－y280＝1答案A答案解析∵点P(2,1)在曲线C的渐近线y＝bax上，∴1＝2ba，∴a＝2b.又∵a2＋b2＝102＝5，即4b2＋b2＝25，∴b2＝5，a2＝20，故选A.解析5．(2018·北京高考)若双曲线x2a2－y24＝1(a0)的离心率为52，则a＝________.答案4答案解析在双曲线中，c＝a2＋b2＝a2＋4，且e＝ca＝52，∴a2＋4a＝52，a2＋4a2＝54，a2＝16，∵a0，∴a＝4.解析6．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(5，0)，则a＝________；b＝________.答案12答案解析由题可知双曲线焦点在x轴上，故渐近线方程为y＝±bax，又一条渐近线为2x＋y＝0，即y＝－2x，∴ba＝2，即b＝2a.又∵该双曲线的一个焦点为(5，0)，∴c＝5.由a2＋b2＝c2可得a2＋(2a)2＝5，解得a＝1，b＝2.解析核心考向突破考向一双曲线的定义例1(1)(2019·山西模拟)已知双曲线C：x2a2－y24＝1(a0)的一条渐近线方程为2x＋3y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝2，则|PF2|＝()A．4B．6C．8D．10答案C答案解析由题意得2a＝23，解得a＝3.因为|PF1|＝2，所以点P在双曲线的左支上．所以|PF2|－|PF1|＝2a，解得|PF2|＝8.故选C.解析(2)(2019·河南濮阳模拟)已知双曲线x2－y2＝4，F1是左焦点，P1，P2是右支上的两个动点，则|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是()A．4B．6C．8D．16答案C答案解析设双曲线的右焦点为F2，∵|F1P1|＝2a＋|F2P1|，|F1P2|＝2a＋|F2P2|，∴|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|＝2a＋|F2P1|＋2a＋|F2P2|－|P1P2|＝8＋(|F2P1|＋|F2P2|－|P1P2|)≥8(当且仅当P1，P2，F2三点共线时，取等号)，∴|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是8.故选C.解析触类旁通双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是不是双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.即时训练1.虚轴长为2，离心率e＝3的双曲线的两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线的一支于A，B两点，且|AB|＝8，则△ABF2的周长为()A．3B．16＋2C．12＋2D．24答案B答案解析由于2b＝2，e＝ca＝3，∴b＝1，c＝3a，∴9a2＝a2＋1，∴a＝24.由双曲线的定义知，|AF2|－|AF1|＝2a＝22，①|BF2|－|BF1|＝22，②解析①＋②得|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝2，又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝8，∴|AF2|＋|BF2|＝8＋2，则△ABF2的周长为16＋2，故选B.解析2．已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．答案9答案解析设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图象，可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，|AF1|即|PF1|＋|PA|的最小值．又|AF1|＝5，故所求的最小值为9.解析考向二双曲线的标准方程例2(1)(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝52x，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，则C的方程为()A.x28－y210＝1B.x24－y25＝1C.x25－y24＝1D.x24－y23＝1答案B答案解析由y＝52x可得ba＝52.①由椭圆x212＋y23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a2＋b2＝9.②由①②可得a2＝4，b2＝5.所以C的方程为x24－y25＝1.故选B.解析(2)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，离心率为2.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()A.x24－y24＝1B.x28－y28＝1C.x24－y28＝1D.x28－y24＝1答案B答案解析由题意可得ca＝2，即c＝2a.又左焦点F(－c,0)，P(0,4)，则直线PF的方程为y－04－0＝x＋c0＋c，化简即得y＝4cx＋4.解析结合已知条件和图象易知直线PF与y＝bax平行，则4c＝ba，即4a＝bc.故c＝2a，4a＝bc，a2＋b2＝c2，解得a2＝8，b2＝8，故双曲线方程为x28－y28＝1.故选B.解析触类旁通利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．即时训练3.(2019·西安模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A.x25－y220＝1B.x220－y25＝1C.3x225－3y2100＝1D.3x2100－3y225＝1答案A答案解析依题意，双曲线的渐近线为y＝2x，故ba＝2①；在直线y＝2x＋10中，令y＝0，故x＝－5，所以a2＋b2＝25②.联立①②，解得a2＝5，b2＝20.解析4．(2018·天津高考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()A.x24－y212＝1B.x212－y24＝1C.x23－y29＝1D.x29－y23＝1答案C答案解析设双曲线的右焦点坐标为F(c,0)(c0)，则xA＝xB＝c，由c2a2－y2b2＝1可得，y＝±b2a，不妨设Ac，b2a，Bc，－b2a，双曲线的一条渐近线方程为bx－ay＝0，据此可得，d1＝|bc－b2|a2＋b2＝bc－b2c，d2＝|bc＋b2|a2＋b2＝bc＋b2c，则d1＋d2＝2bcc＝2b＝6，则b＝3，b2＝9，双曲线的离心率e＝ca＝1＋b2a2＝1＋9a2＝2，据此可得，a2＝3，则双曲线的方程为x23－y29＝1.解析考向三双曲线的几何性质角度1双曲线离心率问题例3(1)(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为32c，则其离心率的值是________．答案2答案解析因为双曲线的焦点F(c,0)到渐近线y＝±bax，即bx±ay＝0的距离为|bc±0|a2＋b2＝bcc＝b，所以b＝32c，因此a2＝c2－b2＝c2－34c2＝14c2，a＝12c，e＝2.解析(2)(2016·山东高考)已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．答案2答案解析由已知得|AB|＝|CD|＝2b2a，|BC|＝|AD|＝|F1F2|＝2c.因为2|AB|＝3|BC|，所以4b2a＝6c，又b2＝c2－a2，所以2e2－3e－2＝0，解得e＝2，或e＝－12(舍去)．解析触类旁通求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2＝c2－a2和e＝转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.即时训练5.双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2⊥x轴，则双曲线的离心率为()A.6B.3C.2D.33答案B答案解析如图所示，在Rt△MF1F2中，∠MF1F2＝30°，F1F2＝2c，∴MF1＝2ccos30°＝433c，MF2＝2c·tan30°＝233c，∴2a＝MF1－MF2＝433c－233c＝233c⇒e＝ca＝3.解析6．已知点F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是()A．(1，3)B．(3，22)C．(1＋2，＋∞)D．(1,1＋2)答案D答案解析依题意，0∠AF2F1π4，故0tan∠AF2F11，则b2a2c＝c2－a22ac1，即e－1e2，e2－2e－10，(e－1)22，所以1e1＋2，故选D.解析角度2双曲线的渐近线问题例4(1)(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为3，则其渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±3xC．y＝±22xD．y＝±32x答案A答案解析∵e＝ca＝