2020版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 理 新人教

第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系基础知识整合1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)2．圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2半径r1，r2，d＝|O1O2|)1．直线与圆相交时，关注一个直角三角形．由弦心距(圆心到相交弦的距离)，弦长的一半及半径构成一个直角三角形．2．过切点M(x0，y0)的圆x2＋y2＝r2的切线方程为：x0x＋y0y＝r2.3．两圆相交时相交弦所在直线方程设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0①圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0②若两圆相交，则有一条相交弦，且相交弦所在直线方程可由①－②得到，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.注：若两圆相外切时，其内公切线方程亦由此法求得．1．(2019·温州十校联考)对任意的实数k，直线y＝kx－1与圆C：x2＋y2－2x－2＝0的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．以上三个选项均有可能答案C答案解析直线y＝kx－1恒经过点A(0，－1)，圆x2＋y2－2x－2＝0的圆心为C(1,0)，半径为3，而|AC|＝23，点A在圆内，故直线y＝kx－1与圆x2＋y2－2x－2＝0相交．故选C.解析2．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a等于()A．－12B．1C．2D.12答案C答案解析圆心为C(1,0)，由于P(2,2)在圆(x－1)2＋y2＝5上，∴P为切点，CP与过点P的切线垂直．∴kCP＝2－02－1＝2.又过点P的切线与直线ax－y＋1＝0垂直，∴a＝kCP＝2.故选C.解析3．(2019·山东省实验中学模拟)圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝4和圆C2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的位置关系是()A．相离B．相交C．内切D．外切答案B答案解析易得圆C1的圆心为C1(－2,2)，半径r1＝2，圆C2的圆心为C2(2,5)，半径r2＝4，圆心距|C1C2|＝[2－－2]2＋5－22＝52＋4＝r1＋r2，∵|C1C2|＞4－2，所以两圆相交．解析4．若直线l：y＝kx＋1(k＜0)与圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定答案A答案解析因为圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝2，所以其圆心坐标为(－2,1)，半径为2，因为直线l与圆C相切．所以|－2k－1＋1|k2＋1＝2，解得k＝±1，因为k0，所以k＝－1，所以直线l的方程为x＋y－1＝0.圆心D(2，0)到直线l的距离d＝|2＋0－1|2＝223，所以直线l与圆D相交．解析5．(2019·浙江镇海中学模拟)若无论实数a取何值时，直线ax＋y＋a＋1＝0与圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0都相交，则实数b的取值范围为()A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(－∞，－6)D．(－6，＋∞)答案C答案解析∵x2＋y2－2x－2y＋b＝0表示圆，∴8－4b0，即b2.∵直线ax＋y＋a＋1＝0过定点(－1，－1)，∴点(－1，－1)在圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0的内部．∴6＋b0，解得b－6，∴b的取值范围是(－∞，－6)．故选C.解析6．(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.答案22答案解析根据题意，圆的方程可化为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆的圆心为(0，－1)，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得圆心到直线的距离d＝|0＋1＋1|12＋－12＝2，所以|AB|＝24－2＝22.解析核心考向突破考向一直线与圆的位置关系例1(1)(2019·安徽黄山模拟)若曲线x2＋y2－6x＝0(y0)与直线y＝k(x＋2)有公共点，则k的取值范围是()A.－34，0B.0，34C.0，34D.－34，34答案C答案解析∵x2＋y2－6x＝0(y0)可化为(x－3)2＋y2＝9(y0)，∴曲线表示圆心为(3,0)，半径为3的上半圆(不包括圆与x轴的交点)，它与直线y＝k(x＋2)有公共点的充要条件是圆心(3,0)到直线y＝k(x＋2)的距离d≤3，且k0，∴|3k－0＋2k|k2＋1≤3，且k0，解得0k≤34.故选C.解析(2)(2018·深圳模拟)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定答案B答案解析因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b21，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝|a·0＋b·0－1|a2＋b2＝1a2＋b21.故选B.解析触类旁通判断直线与圆的位置关系常见的两种方法(1)代数法：――→判别式Δ＝b2－4ac0⇔相交，＝0⇔相切，0⇔相离.2几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr⇔相交，d＝r⇔相切，dr⇔相离.即时训练1.(2019·福建漳州八校联考)已知点P(a，b)(ab≠0)是圆x2＋y2＝r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，直线l的方程为ax＋by＝r2，那么()A．m∥l，且l与圆相交B．m⊥l，且l与圆相切C．m∥l，且l与圆相离D．m⊥l，且l与圆相离答案C答案解析∵点P(a，b)(ab≠0)在圆内，∴a2＋b2r2.因圆x2＋y2＝r2的圆心为O(0,0)，故由题意得OP⊥m，又kOP＝ba，∴km＝－ab，∵直线l的斜率为kl＝－ab＝km，圆心O到直线l的距离d＝r2a2＋b2r2r＝r，∴m∥l，l与圆相离．故选C.解析2．(2019·陕西渭南模拟)已知△ABC的三边长为a，b，c，且满足直线ax＋by＋2c＝0与圆x2＋y2＝4相离，则△ABC是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上情况都有可能答案C答案解析由已知得圆心(0,0)到直线ax＋by＋2c＝0的距离d＝|2c|a2＋b22，所以c2a2＋b2，在△ABC中，cosC＝a2＋b2－c22ab0，所以C为钝角，故△ABC为钝角三角形．解析考向二直线与圆的综合问题角度1圆的切线问题例2(1)(2019·武汉模拟)已知直线l：y＝k(x－1)－3与圆x2＋y2＝1相切，则直线l的倾斜角为()A.π6B.π2C.2π3D.5π6答案D答案解析由题意知，|k＋3|k2＋1＝1，∴k＝－33.∴直线l的倾斜角为5π6.解析(2)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为________．答案4π5答案解析因为∠AOB＝90°，所以点O在圆C上．设直线2x＋y－4＝0与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线2x＋y－4＝0的距离，所以点C在以O为焦点，以直线2x＋y－4＝0为准线的抛物线上，所以当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD|＝|2×0＋0－4|5＝45，所以圆C的最小半径为25，所以圆C面积的最小值为π252＝4π5.解析触类旁通圆的切线方程的求法(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.2代数法：设切线方程为y－y0＝kx－x0，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.即时训练3.(2019·太原模拟)“m＝0”是“直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案B答案解析若m＝0，则圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的圆心(1,1)到直线x＋y＝0的距离为2，等于半径，此时圆与直线相切，充分性成立；若直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切，则圆心到直线的距离为|1＋1－m|2＝2，解得m＝0或4，故必要性不成立．解析4．(2019·西安模拟)过点P(－2,4)作圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线l1：ax＋3y＋2a＝0与l平行，则l1与l间的距离是()A.285B.125C.85D.25答案B答案解析由题意知，直线l1的斜率为k＝－a3，设直线l的方程为y－4＝－a3(x＋2)，即ax＋3y＋2a－12＝0，由l与圆C相切，得|2a＋3＋2a－12|a2＋9＝5，解得a＝－4，故l：4x－3y＋20＝0，l1：4x－3y＋8＝0，则两直线间的距离d＝|20－8|42＋32＝125，故选B.解析角度2圆的弦长问题例3(1)过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为()A．5x＋12y＋20＝0B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0C．5x－12y＋20＝0D．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0答案B答案解析圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝25，由|AB|＝8知，圆心(－1,2)到直线l的距离d＝3.当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝－4时，符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.则有|3k－2|k2＋1＝3，∴k＝－512.此时直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.解析(2)(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝23，则|CD|＝________.答案4答案解析由题意可知直线l过定点(－3，3)，该定点在圆x2＋y2＝12上，不妨设点A(－3，3)，由于|AB|＝23，r＝23，所以圆心到直线AB的距离为d＝232－32＝3，又由点到直线的距离公式可得d＝|3m－3|m2＋1＝3，解得m＝－33，所以直线l的斜率k＝－m＝33，即直线l的倾斜角为30°.如图，过点C作CH⊥BD，垂足为H，所以|CH|＝23，在Rt△CHD中，∠HCD＝30°，所以|CD|＝23cos30°＝4.解析触类旁通求直线与圆相交弦长的常用方法(1)几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2r2－d2.2代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB|＝1+k2|x1－x2|.)即时训练5.(2019·天津南开中学模拟)若3a2＋3b2－4c2＝0，则直线ax＋by＋c＝0被圆O：x2＋y2＝1所截得的弦长为()A.23B．1C.12D.34答案B答案解析因为a2＋b2＝43c2，所以圆心O(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝|c|a2＋b2＝32，所以直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为212－d2＝2×12＝1，故选B.解析6．(2019·福建模拟)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0被直线ax＋y－1＝0所截的线段长为23，则a＝()A．－43B．－34C.3D.2答案A答案解析圆的方程可化为(x－1)2＋(y－4)2＝4，∴圆心的坐标是(1,4)，半径为2.由点到直线的距离公式得d＝|a＋4－1|a2＋1＝1，解得a＝－43.故选A.解析考向三两圆的位置关系例4(1)(2019·河北衡水模拟)圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4与圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的公切线的条数是()A．1B．2C．3D．4答案C答案解析圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心为(－1，2)，半径为2，圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的圆心为(3,2)，半径为2，两圆的圆心距|C1C2|＝－1－32＋2－22＝4＝2＋2，即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，故两圆相外切，故公切