2020版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第2讲 两直线的位置关系课件 理 新人教A版

第2讲两直线的位置关系基础知识整合1．两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直①两条直线平行(ⅰ)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔.(ⅱ)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.□01k1＝k2②两条直线垂直(ⅰ)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔.(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.□02k1k2＝－1(2)两条直线的交点直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．□03A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝02．几种距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝.(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝.□04x2－x12＋y2－y12□05|Ax0＋By0＋C|A2＋B2□06|C1－C2|A2＋B21．与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：Bx－Ay＋m＝0；(2)平行：Ax＋By＋n＝0.2．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．1．(2019·广东惠阳模拟)点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为()A．25B.55C.5D.255答案C答案解析点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为d＝|2－10＋3|1＋4＝5.故选C.解析2．已知直线l1：ax＋2y＋1＝0与直线l2：(3－a)x－y＋a＝0，若l1∥l2，则a的值为()A．1B．2C．6D．1或2解析∵直线l1：ax＋2y＋1＝0与直线l2：(3－a)x－y＋a＝0的斜率都存在，且l1∥l2，∴k1＝k2，即－a2＝3－a，解得a＝6.故选C.解析答案C答案3．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0解析因为所求直线与直线x－2y－2＝0平行，所以设直线方程为x－2y＋c＝0，又经过点(1,0)，得出c＝－1，故所求方程为x－2y－1＝0.解析答案A答案4．(2019·重庆模拟)光线从点A(－3,5)射到x轴上，经x轴反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的距离为()A．52B．25C．510D．105解析点B(2,10)关于x轴的对称点为B′(2，－10)，由对称性可得光线从A到B的距离为|AB′|＝－3－22＋[5－－10]2＝510.故选C.解析答案C答案5．(2019·陕西黄陵模拟)不论m为何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过定点()A.1，－12B．(－2,0)C．(2,3)D．(9，－4)答案D答案解析∵直线方程为(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5，∴直线方程可化为(x＋2y－1)m＋(－x－y＋5)＝0.∵不论m为何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过定点，∴x＋2y－1＝0，－x－y＋5＝0，∴x＝9，y＝－4.故选D.解析6．(2018·金华模拟)经过两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________．解析由方程组x－2y＋4＝0，x＋y－2＝0，得x＝0，y＝2，即交点P(0,2)．因l3的斜率为34，且l⊥l3，故l的斜率为－43.故直线l的方程为y＝－43x＋2，即4x＋3y－6＝0.解析答案4x＋3y－6＝0答案核心考向突破考向一平行与垂直问题例1(1)设不同直线l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案C答案解析当m＝2时，将m＝2代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立；当l1∥l2时，显然m≠0，从而有2m＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不符合要求，故必要性成立，故选C.解析(2)(2019·湖北武汉调研)已知b0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0互相垂直，则ab的最小值为()A．1B．2C．22D．23解析由已知两直线垂直得b2＋1－ab2＝0，即ab2＝b2＋1，根据b0，两边同时除以b得ab＝b＋1b≥2b·1b＝2，当且仅当b＝1时等号成立，故选B.解析答案B答案触类旁通两直线位置关系问题的解题策略(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决此类试题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是否存在一定要特别注意．2设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.即时训练1.“m＝3”是“直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析由l1⊥l2，得2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，∴m＝3或m＝－2，∴m＝3是l1⊥l2的充分不必要条件．解析答案A答案2．(2019·宁夏模拟)若直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行，则实数m的值为________．解析因为直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行，则斜率相等或者斜率不存在，－12m＝3m－1m或者m＝0，所以m＝16或0.解析答案0或16答案考向二距离公式的应用例2(1)(2019·四川绵阳模拟)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为()A.95B.185C.2910D.295解析因为36＝48≠－125，所在两直线平行，由题意可知，|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ|的最小值为2910.解析答案C答案(2)已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则a2＋b2的最小值为________．解析∵M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，∴3a＋4b＝15，而a2＋b2的几何意义是a，b坐标平面内原点到直线3a＋4b＝15上任意一点的距离，所以(a2＋b2)min＝1532＋42＝3.解析答案3答案触类旁通1点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式去求，注意直线方程应为一般式.2运用两平行直线间的距离公式d＝|C1－C2|A2＋B2的前提是两直线方程中的x，y的系数对应相等.即时训练3.P点在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为2，则P点坐标为()A．(1,2)B．(2,1)C．(1,2)或(2，－1)D．(2,1)或(－1,2)解析设P(x,5－3x)，则d＝|x－5＋3x－1|12＋－12＝2，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，解得x＝1或x＝2，故点P的坐标为(1,2)或(2，－1)．解析答案C答案4．(2019·河南中原联考)已知直线l的方程为x－y＋2＝0，抛物线为y2＝2x，若点P是抛物线上任一点，则点P到直线l的最短距离是________．答案324答案解析设与直线l平行的抛物线y2＝2x的切线方程为x－y＋k＝0，由y2＝2x，x－y＋k＝0消去x，得y2－2y＋2k＝0，所以Δ＝(－2)2－8k＝0，解得k＝12.所以切线方程为x－y＋12＝0.当点P为切点时，点P到直线l的距离是最短距离，最短距离为直线l到切线x－y＋12＝0的距离，所以最短距离为d＝2－1212＋－12＝324.解析考向三对称问题角度1点关于点的对称例3过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．解设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.答案角度2点关于直线的对称例4若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.答案345答案解析由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是3＋n2＝2×7＋m2－3，n－3m－7＝－12，解得m＝35，n＝315，故m＋n＝345.解析角度3直线关于直线的对称例5光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．解由x－2y＋5＝0，3x－2y＋7＝0，答案得x＝－1，y＝2.∴反射点M的坐标为(－1,2)．又取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5,0)，设P关于直线l的对称点P′(x0，y0)，由PP′⊥l可知，kPP′＝－23＝y0x0＋5.而PP′的中点Q的坐标为x0－52，y02，答案Q点在l上，∴3·x0－52－2·y02＋7＝0.由y0x0＋5＝－23，32x0－5－y0＋7＝0.得x0＝－1713，y0＝－3213.根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0.答案触类旁通解决对称问题的方法(1)中心对称①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足x′＝2a－x，y′＝2b－y.②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．(2)轴对称①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为A′(m，n)，则有n－bm－a×－AB＝－1，A·a＋m2＋B·b＋n2＋C＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．即时训练5.已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程．解(1)设A′(x，y)，由已知条件得y＋2x＋1×23＝－1，2×x－12－3×y－22＋1＝0，解得x＝－3313，y＝413.∴A′－3313，413.答案(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设对称点M′(a，b)，则2×a＋22－3×b＋02＋1＝0，b－0a－2×23＝－1，得M′613，3013.设直线m与直线l的交点为N，则由2x－3y＋1＝0，3x－2y－6＝0，得N(4,3)．又∵m′经过点N(4,3)，∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.答案(3)解法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如M(1,1)，N(4,3)，则M，N关于点A(－1，－2)的对称点M′，N′均在直线l′上，易得M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，再由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.解法二：∵l∥l′，∴设l′的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1)．∵点A(－1，－2)到两直线l，l′的距离相等，答案∴由点到直线的距离公式，得|－2＋6＋C|