2020版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件 理 新

第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程基础知识整合1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：x轴与直线的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为.②倾斜角的范围为.□01正向□02向上□030°□040°≤α180°(2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝，倾斜角是90°的直线斜率不存在．②过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.□05正切值□06tanα□07y2－y1x2－x12．直线方程的几种形式直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系θ0°0°θ90°90°90°θ180°k0k0不存在k0牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．1．已知直线过A(2,4)，B(1，m)两点，且倾斜角为45°，则m＝()A．3B．－3C．5D．－1答案A答案解析∵直线过A(2,4)，B(1，m)两点，∴直线的斜率为m－41－2＝4－m.又∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率为1，即4－m＝1，∴m＝3.故选A.解析2．直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是()A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析由直线的方程得直线的斜率k＝－33，设倾斜角为α，则tanα＝－33，所以α＝5π6.解析答案D答案3．(2019·青海模拟)倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是()A．x－y＋1＝0B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝0解析直线的斜率为k＝tan135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.解析答案D答案4．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A．1B．－1C．－2或－1D．－2或1解析当a＝0时，直线方程为y－2＝0，不满足题意，所以a≠0，直线在x轴上的截距为2＋aa，在y轴上的截距为2＋a，则由2＋a＝2＋aa，得a＝－2或a＝1.解析答案D答案5．(2019·沈阳模拟)直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足()A．ab0，bc0B．ab0，bc0C．ab0，bc0D．ab0，bc0解析由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－abx－cb.易知－ab0且－cb0，故ab0，bc0.解析答案A答案6．(2019·海淀区模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是()A．－1＜k＜15B．k＞1或k＜12C．k＞15或k＜1D．k＞12或k＜－1解析设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－2k，令－3＜1－2k＜3，解不等式可得．也可以利用数形结合．解析答案D答案核心考向突破考向一直线的倾斜角与斜率例1(1)(2019·重庆巴蜀中学诊断)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是()A.0，π4B.3π4，πC.0，π4∪π2，πD.π4，π2∪3π4，π解析依题意，直线的斜率k＝－1a2＋1∈[－1,0)，因此其倾斜角的取值范围是3π4，π.]解析答案B答案(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．解析如图，∵kAP＝1－02－1＝1，kBP＝3－00－1＝－3，∴k∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．解析答案(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案触类旁通直线倾斜角的范围是[0，π，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分0，π2与π2，π两种情况讨论.由正切函数图象可以看出，当α∈0，π2时，斜率k∈[0，＋∞；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈π2，π时，斜率k∈－∞，0.即时训练1.(2019·南昌模拟)直线2xcosα－y－3＝0α∈π6，π3的倾斜角的变化范围是()A.π6，π3B.π4，π3C.π4，π2D.π4，2π3答案B答案解析直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα.由于α∈π6，π3，所以12≤cosα≤32，因此k＝2cosα∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，3]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈π4，π3，即倾斜角的变化范围是π4，π3.解析2．设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是()A.－∞，－52∪43，＋∞B.－43，52C.－52，43D.－∞，－43∪52，＋∞答案B答案解析易知直线ax＋y＋2＝0过定点P(0，－2)，kPA＝－52，kPB＝43，因为直线ax＋y＋2＝0的斜率为－a，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，根据图象(图略)可知－52＜－a＜43，解得－43＜a＜52，故选B.解析考向二求直线的方程例2根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)与直线3x－4y－5＝0关于y轴对称．解(1)由题设知该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sinα＝1010(0απ)，从而cosα＝±31010，则k＝tanα＝±13，故所求直线方程为y＝±13(x＋4)，即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.答案(2)由题设知截距不为0，设直线方程为xa＋y12－a＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a＋412－a＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.(3)直线3x－4y－5＝0与y轴的交点为A0，－54，所求直线过A0，－54，且斜率k＝－34，所求直线方程为y＝－34x－54，即3x＋4y＋5＝0.答案触类旁通根据各种形式的方程，采用待定系数的方法求出其中的系数，在求直线方程时凡涉及斜率的要考虑其存在与否，凡涉及截距的要考虑是否为零截距以及其存在性．即时训练3.已知△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直平分线DE的方程．解(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，由两点式得BC的方程为y－13－1＝x－2－2－2，即x＋2y－4＝0.答案(2)设BC边的中点D的坐标为(x，y)，则x＝2－22＝0，y＝1＋32＝2.BC边的中线AD过点A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线方程为x－3＋y2＝1，即2x－3y＋6＝0.(3)由(1)知直线BC的斜率k1＝－12，则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.由(2)知点D的坐标为(0,2)．可求出直线的点斜式方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.答案考向三直线方程的应用角度1直线方程与不等式的结合例3已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，当△ABO的面积取最小值时，求直线l的方程．解解法一：设A(a,0)，B(0，b)(a0，b0)，则直线l的方程为xa＋yb＝1.因为l过点P(3,2)，所以3a＋2b＝1.因为1＝3a＋2b≥26ab，整理得ab≥24，所以S△ABO＝12ab≥12.当且仅当3a＝2b，即a＝6，b＝4时取等号．此时直线l的方程是x6＋y4＝1，即2x＋3y－12＝0.答案解法二：依题意知，直线l的斜率k存在且k0，可设直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k0)，则A3－2k，0，B(0,2－3k)，S△ABO＝12(2－3k)3－2k＝1212＋－9k＋4－k≥1212＋2－9k·4－k＝12×(12＋12)＝12，当且仅当－9k＝4－k，即k＝－23时，等号成立．所以所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.答案角度2直线方程与函数的结合例4为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100m，BC＝80m，AE＝30m，AF＝20m，应如何设计才能使草坪面积最大？解如图所示，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则E(30,0)，F(0,20)，∴直线EF的方程为x30＋y20＝1(0≤x≤30)．易知当矩形草坪的一个顶点在EF上时，可取最大值，在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)．又m30＋n20＝1(0≤m≤30)，∴n＝20－23m.答案∴S＝(100－m)80－20＋23m＝－23(m－5)2＋180503(0≤m≤30)．∴当m＝5时，S有最大值，这时|EP||PF|＝5∶1.所以当草坪矩形的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分有向线段EF成5∶1时，草坪面积最大．答案触类旁通直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决．2与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等来解决.即时训练4.已知直线l过点M(1,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：(1)当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程；(2)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程．解(1)设A(a,0)，B(0，b)(a0，b0)．设直线l的方程为xa＋yb＝1，则1a＋1b＝1，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ab＋ba≥2＋2ab·ba＝4，当且仅当“a＝b＝2”时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.答案(2)设直线l的斜率为k，则k0，直线l的方程为y－1＝k(x－1)，则A1－1k，0，B(0,1－k)，所以|MA|2＋|MB|2＝1－1＋1k2＋12＋12＋(1－1＋k)2＝2＋k2＋1k2≥2＋2k2·1k2＝4，当且仅当k2＝1k2，即k＝－1时，|MA|2＋|MB|2取得最小值4，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.答案