2020版高考数学一轮复习 第二章 函数与基本初等函数 第5讲 指数与指数函数课件 理 新人教A版

第5讲指数与指数函数基础知识整合一、指数及指数运算1．根式的概念2．分数指数幂(1)amn＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)；(2)a－mn＝＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)；(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．□06nam□071amn□081nam3．有理数指数幂的运算性质(1)ar·as＝ar＋s(a0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a0，b0，r∈Q)．二、指数函数及其性质1．指数函数的概念函数叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．说明：形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a0且a≠1)的函数叫做指数型函数．□09y＝ax(a0且a≠1)2．指数函数的图象和性质1．(na)n＝a(n∈N*且n1)．2.nan＝a，n为奇数且n1，|a|＝a，a≥0，－a，a＜0，n为偶数且n1.3．底数对函数y＝ax(a0，且a≠1)的函数值的影响如图(a1a2a3a4)，不论是a1，还是0a1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．4．当a0，且a≠1时，函数y＝ax与函数y＝1ax的图象关于y轴对称．1．化简4a23·b－13÷－23a－13b23的结果为()A．－2a3bB．－8abC．－6abD．－6ab解析原式＝4÷－23＝－6ab－1＝－6ab，故选C.解析答案C答案2．(a2－a＋2018)－x－1(a2－a＋2018)2x＋5的解集为()A．(－∞，－4)B．(－4，＋∞)C．(－∞，－2)D．(－2，＋∞)解析∵a2－a＋20181，∴－x－12x＋5，∴x－2，选D.解析答案D答案3．(2019·德州模拟)已知a＝3525，b＝2535，c＝2525，则()A．abcB．cbaC．cabD．bca解析因为y＝25x在R上为减函数，3525，所以bc.又因为y＝x25在(0，＋∞)上为增函数，3525，所以ac，所以bca.故选D.解析答案D答案4．若2x2＋1≤14x－2，则函数y＝2x的值域是()A.18，2B.18，2C.－∞，18D．[2，＋∞)解析因2x2＋1≤14x－2＝24－2x，则x2＋1≤4－2x即x2＋2x－3≤0，所以－3≤x≤1，所以18≤y≤2.解析答案D答案5．(2019·蒙城月考)已知0a1，b－1，则函数y＝ax＋b的图象必定不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案A答案解析y＝ax＋b的图象如图．由图象可知，y＝ax＋b的图象必定不经过第一象限．解析6．(2018·重庆模拟)若函数f(x)＝a|x＋1|(a0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是()A．f(－4)f(1)B．f(－4)＝f(1)C．f(－4)f(1)D．不能确定解析由题意知a1，∴f(－4)＝a3，f(1)＝a2，由指数函数的单调性知a3a2，∴f(－4)f(1)．解析答案A答案核心考向突破考向一指数幂的化简与求值例1求值与化简：答案触类旁通指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．2先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.3底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数.4若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.5运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一.答案答案3．化简：56a13·b－2·(－3a－12b－1)÷(4a23·b－3)12(a0，b0)．解原式＝－52a－16b－3÷(4a23·b－3)12＝－54a－16b－3÷(a13b－32)＝－54a－12·b－32＝－54·1ab3＝－5ab4ab2.答案4．已知a－1a＝3(a0)，求a2＋a＋a－2＋a－1的值．解∵a－1a＝3，∴a2＋1a2＝a－1a2＋2·a·1a＝9＋2＝11，而a＋1a2＝a2＋1a2＋2＝13，∴a＋1a＝13，∴a2＋a＋a－2＋a－1＝11＋13.答案考向二指数函数的图象及应用例2(1)(2019·山西模拟)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a1，b0B．a1，b0C．0a1，b0D．0a1，b0答案D答案解析由图象知f(x)是减函数，所以0a1，又由图象在y轴上的截距小于1可知a－b1，即－b0，所以b0.故选D.解析(2)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．答案0，12答案解析①当0a1时，y＝|ax－1|的图象如图1.因为y＝2a与y＝|ax－1|的图象有两个交点，所以02a1.所以0a12.②当a1时，y＝|ax－1|的图象如图2，而y＝2a1不可能与y＝|ax－1|有两个交点．综上，0a12.解析触类旁通1研究指数函数y＝axa0，且a≠1的图象要抓住三个特殊点：1，a，0，1，－1，1a.2与指数函数有关的函数图象问题的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.3一些指数方程、不等式问题的求解，往往结合相应的指数型函数图象，利用数形结合求解.即时训练5.函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是()答案A答案解析将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．解析6．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．答案[－1,1]答案解析曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]．解析考向三指数函数的性质及其应用角度1比较指数幂的大小例3(1)(2019·南昌模拟)下列不等关系正确的是()A．3－233－432B．32131333C．2.60122.622.6D.122.62.6022.6答案D答案解析因为y＝3x是增函数，所以3－43－2332，1313＝3－133233，故排除A，B；因为y＝2x是增函数，所以122.6＝2－2.620＝2.6022.6，故选D.解析(2)(2019·金版创新)已知实数a，b满足等式2018a＝2019b，下列五个关系式：①0ba；②ab0；③0ab；④ba0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案B答案解析在同一坐标系下画出y＝2018x与y＝2019x的图象，结合图象可知①②⑤正确，所以不可能成立的有2个，选B.解析触类旁通比较指数式大小的方法比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指．1当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小.2当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小.3当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较.即时训练7.(2019·山东实验中学月考)已知12m12n1，则有()A．0nmB．nm0C．0mnD．mn0答案A答案解析因为指数函数y＝12x在R上递减，所以由12m12n1＝120，得mn0，故选A.解析8．已知0a1，xy1，则下列各式中正确的是()A．xayaB．axayC．axayD．axya答案B答案解析对于A，∵xy1，∴xaya＝xyaxy0＝1，∴xaya，∴A错误；∵0a1，∴f(x)＝ax为减函数，又xy1，∴axay，∴B正确，C错误；对于D，∵axa0＝1，而yay0＝1，∴axya，∴D错误．故选B.解析角度2解简单的指数不等式例4(1)(2019·宜昌调研)设函数f(x)＝12x－7，x0，x，x≥0，若f(a)1，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－3)B．(1，＋∞)C．(－3,1)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)答案C答案解析当a0时，不等式f(a)1为12a－71，即12a8，即12a12－3，因为0121，所以a－3，此时－3a0；当a≥0时，不等式f(a)1为a1，所以0≤a1.故a的取值范围是(－3,1)，故选C.解析(2)(2018·洛阳模拟)若对于任意x∈(－∞，－1]，都有(3m－1)2x1成立，则m的取值范围是()A.－∞，13B.－∞，13C．(－∞，1)D．(－∞，1]答案C答案解析∵2x0，∴不等式(3m－1)2x1对于任意x∈(－∞，－1]恒成立，等价于3m－112x＝12x对于任意x∈(－∞，－1]恒成立．∵x≤－1，∴12x≥12－1＝2.∴3m－12，解得m1，∴m的取值范围是(－∞，1)．故选C.解析触类旁通解指数不等式的思路方法对于形如axab的不等式，需借助函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，则需分a1与0a1两种情况讨论；而对于形如axb的不等式，需先将b转化为以a为底的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解．即时训练9.已知函数f(x)＝－12x，a≤x0，－x2＋2x，0≤x≤4的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－3]B．[－3,0)C．[－3，－1]D．{－3}答案B答案解析当0≤x≤4时，f(x)∈[－8,1]，当a≤x0时，f(x)∈－12a，－1，∴－12a，－1－8，1]，即－8≤－12a－1，即－3≤a0，∴实数a的取值范围是[－3,0)．故选B.解析10．设函数f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝3x－9，则f(x－3)0的解集是()A．{x|x－2或x2}B．{x|x－2或x4}C．{x|x0或x6}D．{x|x1或x5}答案D答案解析当x≥0时，由f(x)＝3x－90得x2，所以f(x)0的解集为{x|x2或x－2}．将函数f(x)的图象向右平移3个单位，得到函数f(x－3)的图象，所以不等式f(x－3)0的解集为{x|x1或x5}．故选D.解析角度3与指数函数有关的复合函数问题例5已知函数f(x)＝13ax2－4x＋3.(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．解(1)当a＝－1时，f(x)＝13－x2－4x＋3，令g(x)＝－x2－4x＋3，答案由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝13t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝