2020版高考数学一轮复习 第二章 函数与基本初等函数 第2讲 函数的单调性与最值课件 理 新人教A

第2讲函数的单调性与最值基础知识整合1．函数的单调性(1)增函数与减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：①如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是．②如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是．□01任意两个□02增函数□03任意两个□04减函数(2)单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)，区间D叫做y＝f(x)的．□05单调性□06单调区间2．函数的最值(1)最大值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有；②存在x0∈I，使得.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．□07f(x)≤M□08f(x0)＝M(2)最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有；②存在x0∈I，使得.那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值．□09f(x)≥N□10f(x0)＝N1．对勾函数y＝x＋ax(a0)的增区间为(－∞，－a]和[a，＋∞)；减区间为[－a，0)和(0，a]，且对勾函数为奇函数．2．设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则①x1－x20(0)，f(x1)－f(x2)0(0)⇔f(x)在D上单调递增；x1－x20(0)，f(x1)－f(x2)0(0)⇔f(x)在D上单调递减；②fx1－fx2x1－x20(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0)⇔f(x)在D上单调递增；③fx1－fx2x1－x20(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0)⇔f(x)在D上单调递减．1．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是()A．y＝1－x2B．y＝x2＋xC．y＝－－xD．y＝xx－1解析选项D中，y＝xx－1＝1＋1x－1.易知其在(－∞，1)上为减函数．故选D.解析答案D答案2．(2019·信阳模拟)函数y＝－2x2－4ax＋3在区间[－4，－2]上是单调函数，则a的取值范围是()A．(－∞，1]B．[4，＋∞)C．(－∞，2]∪[4，＋∞)D．(－∞，1]∪[2，＋∞)解析函数y＝－2x2－4ax＋3的图象的对称轴为x＝－a，由题意可得－a≤－4或－a≥－2，解得a≤2或a≥4，故选C.解析答案C答案3．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为()A．－2B．2C．－6D．6解析由图象易知函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是－a2，＋∞，令－a2＝3，所以a＝－6.故选C.解析答案C答案4．已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．解析由已知可得a2－a0，a＋30，a2－aa＋3，解得－3a－1或a3，所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．解析答案(－3，－1)∪(3，＋∞)答案5．(2019·衡水模拟)函数f(x)＝xx－1(x≥2)的最大值为________．解析f(x)＝xx－1＝x－1＋1x－1＝1＋1x－1，∵x≥2，∴x－1≥1,01x－1≤1，∴1＋1x－1∈(1,2]，故当x＝2时，函数f(x)＝xx－1取得最大值2.解析答案2答案6．(2019·浙江模拟)已知函数f(x)＝x＋2x－3，x≥1，lgx2＋1，x1，则f[f(－3)]＝________，f(x)的最小值是________．答案022－3答案解析∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg10＝1，∴f[f(－3)]＝f(1)＝1＋2－3＝0.当x≥1时，x＋2x－3≥2x·2x－3＝22－3，当且仅当x＝2x，即x＝2时等号成立，此时f(x)min＝22－30；当x1时，lg(x2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f(x)min＝0.所以f(x)的最小值为22－3.解析核心考向突破考向一确定函数的单调区间例1求下列函数的单调区间：(1)y＝－x2＋2|x|＋1；(2)y＝log12(x2－3x＋2)．解(1)由于y＝－x2＋2x＋1，x≥0，－x2－2x＋1，x0，答案即y＝－x－12＋2，x≥0，－x＋12＋2，x0.画出函数图象如图所示．由图象可知，函数的单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．(2)令u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作y＝log12u与u＝x2－3x＋2的复合函数．令u＝x2－3x＋20，则x1或x2.∴函数y＝log12(x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．答案又∵u＝x2－3x＋2的对称轴x＝32，且开口向上，∴u＝x2－3x＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．而y＝log12u在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y＝log12(x2－3x＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．答案触类旁通确定函数单调性的方法(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法或导数法．2复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”.3图象法，图象不连续的单调区间一般不能用“∪”连接.即时训练1.求出下列函数的单调区间：(1)f(x)＝|x2－4x＋3|；(2)f(x)＝13－2x－x2.解(1)先作出函数y＝x2－4x＋3的图象，由于绝对值的作用，把x轴下方的部分翻折到上方，可得函数y＝|x2－4x＋3|的图象．如图所示．答案由图可知f(x)在(－∞，1]和[2,3]上为减函数，在[1,2]和[3，＋∞)上为增函数，故f(x)的增区间为[1,2]，[3，＋∞)，减区间为(－∞，1]，[2,3]．(2)∵3－2x－x20，∴－3x1.由二次函数图象(图略)可知f(x)的递减区间是(－3，－1]，递增区间为[－1,1)．答案考向二函数单调性的应用角度1利用函数的单调性比较大小例2(1)(2019·长沙模拟)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，则f(－1)与f(a2－2a＋3)的大小关系是()A．f(－1)≥f(a2－2a＋3)B．f(－1)＝f(a2－2a＋3)C．f(－1)f(a2－2a＋3)D．f(－1)f(a2－2a＋3)答案D答案解析a2－2a＋3＝(a－1)2＋2≥2，由偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，可得f(－1)＝f(1)f(a2－2a＋3)，故选D.解析(2)(2019·大同模拟)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a0)满足f(m)0，则()A．f(m＋1)＝0B．f(m＋1)≤0C．f(m＋1)0D．f(m＋1)0答案C答案解析∵f(x)图象的对称轴为x＝－12，f(0)＝f(－1)＝a，∴f(x)的大致图象如图所示．结合图象，由f(m)0，得－1m0，∴m＋10，∴f(m＋1)f(0)0.故选C.解析角度2利用函数的单调性解不等式例3(1)(2019·长春模拟)f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是()A．(8，＋∞)B．(8,9]C．[8,9]D．(0,8)答案B答案解析2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有x0，x－80，xx－8≤9.解得8x≤9.解析(2)函数y＝f(x)是R上的增函数，且y＝f(x)的图象经过点A(－2，－3)和B(1,3)，则不等式|f(2x－1)|3的解集为________．答案－12，1答案解析因为y＝f(x)的图象经过点A(－2，－3)和B(1,3)，所以f(－2)＝－3，f(1)＝3.又|f(2x－1)|3，所以－3f(2x－1)3，即f(－2)f(2x－1)f(1)．因为函数y＝f(x)是R上的增函数，所以－22x－11，即2x－1－2，2x－11，即x－12，x1，所以－12x1.解析角度3利用函数的单调性求参数例4(1)(2019·太原模拟)若f(x)＝－x2＋4mx与g(x)＝2mx＋1在区间[2,4]上都是减函数，则m的取值范围是()A．(－∞，0)∪(0,1]B．(－1,0)∪(0,1]C．(0，＋∞)D．(0,1]答案D答案解析函数f(x)＝－x2＋4mx的图象开口向下，且以直线x＝2m为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m≤2，解得m≤1；g(x)＝2mx＋1的图象由y＝2mx的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2,4]上是减函数，则2m0，解得m0.综上可得，m的取值范围是(0,1]．故选D.解析(2)已知f(x)＝3a－1x＋4a，x1，logax，x≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是()A．(0,1)B.0，13C.17，13D.17，1答案C答案解析由f(x)在R上单调递减，则有3a－10，0a1，3a－1＋4a≥0，解得17≤a13.解析触类旁通函数单调性应用问题的解题策略(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．2在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时，应特别注意函数的定义域.3利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.解决分段函数的单调性问题，要注意上、下段端点值的大小关系.即时训练2.(2019·商丘模拟)若f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且对任意的x1，x2∈[0，＋∞)且x1≠x2，有fx2－fx1x2－x10，则()A．f(3)f(1)f(－2)B．f(3)f(－2)f(1)C．f(－2)f(1)f(3)D．f(1)f(－2)f(3)答案B答案解析∵对任意的x1，x2∈[0，＋∞)且x1≠x2，有fx2－fx1x2－x10，∴当x≥0时，函数f(x)为减函数，∴f(3)f(2)f(1)，又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，∴f(3)f(－2)f(1)．故选B.解析3．(2019·曲阜师大附中质检)已知函数f(x)＝logax(a0且a≠1)满足f(a＋1)f(a＋2)，则f(2x－3)0的解集是()A．(－∞，2)B.23，1C.32，2D．(2，＋∞)答案C答案解析因为函数f(x)＝logax(a0且a≠1)满足f(a＋1)f(a＋2)，所以0a1，则函数f(x)＝logax(0a1)是减函数，所以f(2x－3)0可化为02x－31，求解可得32x2，故选C.解析4．(2018·山东泰安模拟)已知函数f(x)＝ax，x1，4－a2x＋2，x≤1是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是()A．(1，＋∞)B．[4,8)C．(4,8)D．(1,8)答案B答案解析由f(x)在R上单调递增，则有a1，4－a20，4－a2＋2≤a，解得4≤a8.解析考向三函数的最值(值域)问题例5(1)函数y＝1－x21＋x2的值域是________．答案(－1,1]答案解析(分离常数法)因为y＝1－x21＋x2＝－1＋21＋x2，又因为1＋x2≥1，所以021＋x2≤2，所以－1－1＋2x