2020版高考数学一轮复习 第二篇 函数、导数及其应用 第11节 导数在研究函数中的应用（第1课时）

第二篇函数、导数及其应用(必修1、选修1-2)返回导航第11节导数在研究函数中的应用最新考纲1．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．3．会用导数解决实际问题.返回导航【教材导读】1．若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)0吗？f′(x)0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f′(x)≥0，f′(x)0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件．返回导航2．f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取极值的什么条件？提示：必要不充分条件，因为当f′(x0)＝0且x0左右两端的导数符号变化时，才能说f(x)在x＝x0处取得极值．反过来，如果可导函数f(x)在x＝x0处取极值，则一定有f′(x0)＝0.返回导航1．函数的单调性与导数(1)函数y＝f(x)在某个区间内可导①若f′(x)0，则f(x)在这个区间内单调递增；②若f′(x)0，则f(x)在这个区间内单调递减；③如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)为常函数．(2)单调性的应用若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调，则f′(x)≥0，f′(x)≤0(f′(x)不恒等于0)在(a，b)上恒成立．返回导航2．函数的极值与导数(1)函数极小值的概念①函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小；②f′(a)＝0；③在点x＝a附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0；则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．返回导航(2)函数极大值的概念①函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大；②f′(b)＝0；③在点x＝b附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0；则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值；极小值点与极大值点统称为极值点，极小值与极大值统称为极点．返回导航3．函数的最值与导数求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤：(1)求y＝f(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．返回导航4．利用导数解决实际生活中的优化问题(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式y＝f(x)并确定定义域；(2)求导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)判断使f′(x)＝0的点是极大值点还是极小值点；(4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答．返回导航【重要结论】1．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]内一定有最值．2．若函数f(x)在[a，b]内是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．3．若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值．返回导航1．函数f(x)＝3＋xlnx的单调递减区间是()(A)(1e，e)(B)(0，1e)(C)(－∞，1e)(D)(1e，＋∞)B解析：f′(x)＝lnx＋x·1x＝lnx＋1，令f′(x)＝lnx＋10得0x1e.所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1e)．返回导航2．函数f(x)＝3x2＋lnx－2x的极值点的个数是()(A)0(B)1(C)2(D)无数个A解析：f′(x)＝6x＋1x－2＝6x2－2x＋1x，由f′(x)＝0得6x2－2x＋1＝0，方程无解，因此函数无极值点．返回导航3．(2017全国卷)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为()(A)－1(B)－2e－3(C)5e－3(D)1返回导航A解析：因为f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，所以f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.因为x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，所以－2是x2＋(a＋2)x＋a－1＝0的根，所在a＝－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)ex－1.令f′(x)＞0，解得x＜－2或x＞1，令f′(x)＜0，解得－2＜x＜1，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，f(x)取得极小值，且f(x)极小值＝f(1)＝－1，选择A.返回导航4．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是________．解析：f′(x)＝3x2－a≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，所以a≤3.答案：3返回导航5．给出下列命题：①f′(x)0是f(x)为增函数的充要条件．②函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的．③函数的极大值不一定比极小值大．④对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．⑤函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)返回导航解析：①错误．f′(x)0能推出f(x)为增函数，反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.所以f′(x)0是f(x)为增函数的充分条件，但不是必要条件．②错误．一个函数在某区间上或定义域内的极大值可以不止一个．返回导航③正确．一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系，极大值可能比极小值大，也可能比极小值小，还可能与极小值相等．④错误．对可导函数f(x)，f′(x0)＝0只是x0点为极值点的必要条件，如y＝x3在x＝0时f′(0)＝0，而函数在R上为增函数，所以0不是极值点．⑤正确．当函数仅在区间端点处取得最值时，这时的最值不是极值．答案：③⑤返回导航第一课时利用导数研究函数的单调性返回导航考点一判断或证明函数的单调性已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋ax2＋bx，其中g(x)的函数图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴．(1)确定a与b的关系；(2)若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性．返回导航解：(1)依题意得g(x)＝lnx＋ax2＋bx，则g′(x)＝1x＋2ax＋b.由函数g(x)的图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴得：g′(1)＝1＋2a＋b＝0，∴b＝－2a－1.返回导航(2)由(1)得g′(x)＝2ax2－（2a＋1）x＋1x＝（2ax－1）（x－1）x.∵函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，∴当a＝0时，g′(x)＝－x－1x.由g′(x)＞0得0＜x＜1，由g′(x)＜0得x＞1，即函数g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；返回导航当a＞0时，令g′(x)＝0得x＝1或x＝12a，若12a＜1，即a＞12，由g′(x)＞0得x＞1或0＜x＜12a，由g′(x)＜0得12a＜x＜1，即函数g(x)在0，12a，(1，＋∞)上单调递增，在12a，1上单调递减；若12a＞1，即0＜a＜12，由g′(x)＞0得x＞12a或0＜x＜1，由g′(x)＜0得1＜x＜12a，即函数g(x)在(0，1)，12a，＋∞上单调递增，在1，12a上单调递减；返回导航若12a＝1，即a＝12，在(0，＋∞)上恒有g′(x)≥0，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增．综上可得：当a＝0时，函数g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当0＜a＜12时，函数g(x)在(0，1)上单调递增，在1，12a上单调递减，在12a，＋∞上单调递增；返回导航当a＝12时，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞12时，函数g(x)在0，12a上单调递增，在12a，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．返回导航【反思归纳】导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)求f′(x)；(2)确定f′(x)在(a，b)内的符号；(3)作出结论：f′(x)0时为增函数；f′(x)0时为减函数．返回导航【即时训练】(2015高考重庆卷)已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－43处取得极值．(1)确定a的值．(2)若g(x)＝f(x)ex，讨论g(x)的单调性．返回导航解析：(1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x.因为f(x)在x＝－43处取得极值，所以f′－43＝3a×169＋2×－43＝16a3－83＝0，解得a＝12.经检验满足题意．返回导航(2)由(1)知g(x)＝12x3＋x2ex，所以g′(x)＝32x2＋2xex＋12x3＋x2ex＝12x3＋52x2＋2xex＝12x(x＋1)(x＋4)ex.令g′(x)＝0，解得x＝0，x＝－1或x＝－4.当x＜－4时，g′(x)＜0，故g(x)为减函数；当－4＜x＜－1时，g′(x)＞0，故g(x)为增函数；返回导航当－1＜x＜0时，g′(x)＜0，故g(x)为减函数；当x＞0时，g′(x)＞0，故g(x)为增函数；综上知，g(x)在(－∞，－4)和(－1，0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数．返回导航考点二求函数的单调区间(1)已知函数f(x)＝ax＋lnx，则当a＜0时，f(x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________．(2)已知函数f(x)＝x4＋ax－lnx－32，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x，求函数f(x)的单调区间．返回导航(1)(0，－1a)(－1a，＋∞)(2)解析：对f(x)求导得f′(x)＝14－ax2－1x，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x，知f′(1)＝－34－a＝－2，解得a＝54.所以f(x)＝x4＋54x－lnx－32，则f′(x)＝x2－4x－54x2，返回导航令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5，因x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去，当x∈(0，5)时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．所以f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区间为(0，5)．返回导航【反思归纳】用导数求函数的单调区间的“三个方法”(1)当不等式f′(x)0或f′(x)0可解时，确定函数的定义域，解不等式f′(x)0或f′(x)0求出单调区间．(2)当方程f′(x)＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出实数根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从小到大的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间．返回导航(3)不等式f′(x)0或f′(x)0及方程f′(x)＝0均不可解时求导数并化简，根据f′(x)的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，得单调区间．返回导航【即时训练】已知函数f(x)＝ln(ex＋1)－ax(a＞0)．(1)若函数y＝f(x)的导函数是奇函数，求a的值；(2)求函数y＝f(x)的单调区间．解：(1)函数f(x)的定义域为R.由已知得f′(x)＝exex＋1－a.∵函数y＝f(x)的导函数是奇函数，∴f′(－x)＝－f′(x)，即e－xe－x＋1－a＝－exex＋1＋a，解得a＝12.返回导航(2)由(1)f′(x)＝exex＋1－a＝1－1ex＋1－a.①当